대수기하학 입문

김영훈,최진원

저자:김영훈

저자:최진원
서울대학교경제학부학사,석사
UniversityofIllinoisatUrbana-Champaign수학과박사
현재,숙명여자대학교수학과교수

들어가며

CHAPTER0.대수기하학의역사
0.1근대이전
0.2데카르트
0.3데자르그
0.4리만
0.5힐버트
0.6그로텐딕
0.7아티야
0.8다른분야와의상호작용
0.9위기또는도약
0.10학생의관점

CHAPTER1.아핀다양체와사영다양체
1.1아핀공간과아핀다양체
1.2사영공간과사영다양체
1.3선형다양체
1.4자리스키위상과유한집합

CHAPTER2.초곡면과곡선
2.1초곡면과2차곡선
2.2베주정리와변곡점.
2.33차평면곡선
2.4뒤틀린3차곡선과유리정규곡선

CHAPTER3.힐버트영점정리와대수적사상
3.1힐버트영점정리
3.2기약다양체와기약분해
3.3대수적다양체상의보통함수
3.4대수적사상
3.4.1준아핀다양체로가는대수적사상
3.4.2준사영다양체로가는대수적사상
3.4.3베로네세사상
3.4.4세그레사상
3.4.5그래프사상

CHAPTER4.사영과그라스만다양체
4.1뿔과사영
4.1.1뿔
4.1.2사영
4.1.3닫힌사상
4.1.4구성가능집합
4.2무리와매개변수공간
4.3그라스만다양체

CHAPTER5.유리함수와유리사상
5.1유리함수와유리사상
5.1.1유리함수
5.1.2유리사상
5.1.3유리사상의그래프
5.2쌍유리사상
5.3유리사상의차수
5.4뻥튀기
5.5할선다양체

CHAPTER6.차원
6.1차원의정의
6.2위로연속
6.3힐버트다항식

CHAPTER7.접평면과매끈함
7.1접평면
7.2사영적접평면과가우스사상
7.3그라스만다양체의접평면과베르티니정리
7.3.1그라스만다양체의접평면
7.3.2내쉬뻥튀기
7.3.3베르티니정리

CHAPTER8.차수
8.1사영다양체의차수
8.2베주정리
8.3차수계산
8.3.1베로네세다양체
8.3.2세그레다양체
8.3.3뿔과이음(join)
8.3.4베주정리의증명
8.3.5그라스만다양체의차수

CHAPTER9.대수적군과불변량
9.1대수적군과작용
9.2고전적군작용
9.2.1PGL2(k)의작용
9.2.2PGL3(k)의작용
9.2.3POn(k)의작용
9.2.4PGLn(k)의P(∧rkn)에의작용
9.3몫

CHAPTER10.그뢰브너기저
10.1아이디얼소속문제
10.2그뢰브너기저
10.2.1단항식순서
10.2.2나누기알고리즘과그뢰브너기저
10.3부흐베르거알고리즘
10.4그뢰브너기저의계산및응용
10.4.1컴퓨터를통한계산
10.4.2방정식의풀이
10.4.3소거와사영
10.4.4다항식표현

부록
참고문헌
찾아보기

대수와기하의상호작용을다룬대수기하학입문서

이책은학부과정의선형대수학,추상대수학,위상수학,미분기하학,복소함수론에대한지식이있는학생들을대상으로대수기하학의기초를소개하는입문서다.학부생및대수기하에관심있는대학원생과교수를위한책이므로스킴(scheme)대신다양체(variety)를통해풍부한직관을개발하고핵심아이디어에대한통찰을기를수있도록구성하고,독자의이해를돕고구체적인계산을보여주기위하여대수기하계산프로그램인Macaulay2를이용한계산도다룬다.대수기하학의역사와대수적다양체,대수적사상,유리사상,차원,접평면,차수등대수기하학의기본개념을살펴보고,현대모듈라이이론의바탕이되는대수적군과작용의기초와대수기하와관련된계산에사용되는그뢰브너기저를다룬다.