푸앵카레가 들려주는 위상수학 이야기

백석윤

백석윤
서울대학교사범대학수학교육학과를졸업하고동대학원에서석사학위를받았으며,미국템플유니버시티대학원에서수학교육학(Ed.D)을전공했다.현재서울교육대학교에서초등교사육성을위한수학교육학을강의중이다.

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푸앵카레의개념체크

1교시_위상과위상기하
2교시_위상공간
3교시_위상동형사상
4교시_위상기하의적용(1)
5교시_위상기하의적용(2)
6교시_위상기하의적용(3)

세상을바라볼때그본질을더정확히꿰뚫어볼수있게해주는
푸앵카레의‘위상수학’이야기

우리가안다고곧이곧대로믿어왔던것을조금다른시각으로비틀어보거나정반대의논리로뒤집어생각해보는‘역발상’의사고가점차강조되고있는요즘이다.이처럼다양해지는사고를수학이라는학문에대입시켜본다면어떨까?
지금까지우리는수학을철저히참인내용으로만이루어진,때문에의심의여지가없는학문이라여겨왔다.그러나위상기하의관점에서비롯된위상수학은이와는다른관점을제시한다.푸앵카레가들려주는위상수학은지금까지배웠던수학과는다른개념의수학적틀로,비교적간단하지만수학의본질에보다쉽게접근해갈수있는새로운관점을보여주는분야라할수있다.
불변의법칙이라고믿어의심치않았던개념을다른시각으로전환해바라보게하고,지금까지한번도접해보지못했던위상,위상공간,위상동형등의조금은낯선수학적개념과이론을실생활에서어렵지않게찾아볼수있도록제시하고있다.이책을통해새로운위상수학적관점을알아두는것은현대를살아가는데꼭필요한,매우가치있고실용적인일이될것이다.

역발상의수학을통해재미와자유로움을배운다!
집합론의시조인칸토어는“수학의본질은그자유에있다.”라는말을남겼다.이말은본래주어진수학적틀을잘이해만한다면그안에서무한정자유로울수있는수학의본질적속성을가리킨말이다.그리고그런면에서《푸앵카레가들려주는위상수학이야기》는칸토어의이론을가장잘뒷받침하고있는책이라할수있다.즉,일상생활에서어떤대상을바라볼때단한가지의시각만존재하지않듯이,수학에서도충분히다양한관점과시각이존재한다는것을보여줌으로서수학적재미와자유로움을극대화시키고있는것이다.
이책에서푸앵카레선생님은실생활에서우리가쉽게접할수있는다양한물체나널리알려져있는퀴즈문제를이용하여처음접하는위상기하의세계를쉽고재미있게설명한다.이를통해수학은어느하나의틀에고정된것이아니라는것,그렇기때문에보다다양하고기발한분야로응용되고발전될수있으며,더나아가우리가살고있는세상을새롭고유연한관점에서바라보고이해할수있게해준다는것을알려주고있다.

이책의구성및장점
―우리가기존에알고있던유클리드기하와는다른위상기하를서로비교해보고어떤차이점을갖는지이해함으로써수학이라는학문에서도충분히다양한관점이존재함을깨닫고,자칫범하기쉬운고정관념을탈피할수있도록도와준다.
―공,빨대,도넛,머그잔,벨트,지도등우리가수없이많이접하는물건을가지고알기쉽게위상기하의내용을증명하여실생활에서활용되고있는수학의힘을느끼게한다.

추천사


학생들이수학을어려워하는요인중하나는‘추상성이강한수학적사고의특성과구체
적인것을좋아하는학생의사고방식의차이때문이다.이런차이를줄이기위해서수학의추상성을희석시키고수학개념과원리의설명에구체성을부여하여쉽게받아들이도록하는것이필요하다.이책은수학교과서의내용을친숙하고생동감있게재구성함으로써수학을접근하기만만한교과목으로변모시켜놓았다.또한중간중간에곁들여진수학자들의에피소드는자칫무료해지기쉬운수학공부에윤활유역할을해주고있다.
―《수학콘서트》저자,홍익대학교수학교육과교수박경미

우리가알고있는기하의세계에서는어떤삼각형이든그내각의합이언제나180°이고,어느두점을연결하는선분과곡선은분명히서로다른것으로구별하고있다.그리고지금까지이러한기하가단하나만존재하는것으로굳게믿어왔다.하지만그것이고정관념에불과하다면?삼각형의내각의합은꼭180°가아니어도되고,두점을연결하는선이직선이든곡선이든서로같은것이라여기는,신기하고도재미있는기하의세계를이책을통해발견하게될것이다.
―서울교육대학교수학교육과교수박만구

접시에담긴링도넛과공모양의도넛을손잡이가하나달린머그잔의우유와함께먹을때를잠시생각해보자.분명접시와공모양의도넛은서로완전히다른모양이라생각될것이고,링도넛과손잡이가하나달린머그잔역시서로완전히다른것이라여겨질것이다.그런데이두가지모양을같은것으로보는또다른기하의세계가있다면어떨까?이책을통해이것이결코이상하거나잘못된생각이아니라는것을깨닫게되기바란다.
―서울교육대학교수학교육과교수오영열

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