김미연
14년차수학교사이자초등학생쌍둥이남매의엄마입니다.성균관대학교사범대학수학교육과를졸업하고중학교에서5년,고등학교에서9년간수학교사로근무했습니다.현재시흥고등학교에서재직중입니다.
그동안수학이두렵고수학교육이어려운엄마들을수없이만났습니다.또문제풀이와점수올리기에지쳐수학과멀어지는학생도많이보았습니다.저자는아이들이수학과친해지려면먼저엄마들의수학자존감이높아져야한다는사실을깨달았습니다.그래서수학공부에서손을뗀지오래된엄마들의눈높이에맞춰기초수학개념을설명하고,더나아가수학이라는과목을통해얻을수있는삶의지혜를공유하고자이책을썼습니다.그리고이책의그림은저자의남편이그렸습니다.부디《엄마의수학책》이엄마와자녀가수학과다시친해지는계기가되었으면좋겠습니다.
들어가는말:엄마의수학자존감이올라야아이의수학성적이오른다
1부오늘도수학성적으로내아이를다그친엄마들에게
1장잔소리대신수학공부하는모습보여주기
2장암기대신개념과배경이해하기
3장조급함을버리면아이의수준과눈높이가보인다
4장수학은더큰세상과소통하기위한언어
2부수와연산:엄마에게숫자머리가필요한순간
1장진법:누가십진법을당연하다고했는가?
2장소수:수를만드는재료가있을까?
3장분수:0과1사이에는어떤수가있을까?
4장무리수:분수로도표현할수없는수가있다?
5장음수:고정관념에갇혀보이지않았던수
6장실수:진짜수들의세상이완성되다
3부문자와식:숫자가없어도얼마든지수학이다
1장미지수와문자:문자라는베일에가려진수
2장등호:세상의균형과조화를담은기호
3장식:수학이라는언어로말하는방‘식’
4장방정식:억지와문제해결능력의끝판왕
5장이항:항을넘기다보면문제가간단해진다
6장근의공식:너만알고있어야했던비밀
4부도형:늘리고줄이고쪼개고겹치는재미
1장삼각형과원:도형세계를구성하는2개의DNA
2장특별한삼각형들:삼각형세상의인싸3형제
3장직각삼각형과삼각비:수학자들이가장사랑하는삼각형
4장원주율:영원히도달할수없는원의신비
5장원과직선:둥근것과곧은것의컬래버레이션
6장원주각과탈레스의정리:원둘레어디서나같은원주각의비밀
7장내심과외심:평범한삼각형도원을만나면특별해진다?
8장무게중심:도형세계에서흔들리지않고무게중심찾는법
5부함수와좌표평면:공간과위치를숫자로표현하기
1장데카르트좌표계:실수의연속성을시각화하다
2장극좌표계:어느방향으로얼마나떨어져있을까?
3장함수와좌표평면:수학식을그림으로그려보자
4장호도법:각도를단위없는실수로표현하는법
6부기하:수학적사고력과논리력으로쌓은탑
1장기하학:토지측량에서시작된기하학
2장기하학의바탕:평면에서는맞고곡면에서는틀리다
3장유클리드기하학:수학증명의시초
4장공준:결코부정할수없는기하학명제의근본
5장눈금없는자와컴퍼스:기하세상의유일한도구
6장유클리드기하학의명제들:공준위에쌓아올린논리의탑
7장피타고라스의정리:유클리드만의스타일로증명하다
7부확률과통계:합리적인결정을위한최고의무기
1장확률과수학:동전던지기가수학이된사연
2장기댓값:로또구입보다신을믿는게더이득?
3장평균의함정:진실을왜곡하는사악한수단
4장분산과표준편차:불확실한세상을설명하는숫자
5장상관관계:통계너머진실을보는통찰
나가는말:수학이라는풀장에서겁내지않고풍덩뛰어들기
“우리애가기초문제는제법푸는데항상응용문제에서약하더라고요.”
“옆집애는벌써고2과정까지다마쳤다는데우리애는어떡하죠?”
“우리애는대체누굴닮아서저렇게수학을싫어할까요?저는수학과담쌓고살았지만아이는수학에흥미를가졌으면좋겠어요.”
14년차현직수학교사이자초등학생쌍둥이엄마인저자는교육현장에서수많은수포자학생과엄마를상담하면서한가지깨달은것이있다.엄마가수학과친하지않으면서아이는수학우등생이되기를바라는건어불성설이라는사실이다.수학의‘수’자만들어도인상을찌푸리는엄마옆에서지겹도록공식을달달외우고문제풀이만반복하다보면아이는도저히수학과친해질수없다.그래서저자는자녀의수학교육을고민하는엄마들에게항상이렇게당부했다.엄마가먼저수학에한발다가가라고,그러면수학을대하는아이의태도도달라진다고말이다.하지만그럴때마다엄마들은입을모아하소연했다.
“중고등학교를졸업한지수년이지난엄마들도쉽게이해할수있는친절한수학책이있으면좋겠어요.재밌으면더좋고요!”
그래서저자는직접엄마들을위한수학책을쓰기로결심했다.수와연산,문자와식,도형,함수와좌표평면,기하학,확률과통계등중학교교과과정을따라가며꼭알아야할필수개념들을엄마의눈높이에맞춰설명했다.이해를돕는시각자료는그림그리기취미를가진남편에게도움을청했다.그렇게마련된200컷이넘는일러스트는읽는재미를더하고있는데,서울대학교수학교육과최영기교수는“아기자기한손그림들곳곳에숨은개그코드덕분에몇번을미소지으면서이책을읽었다”며감탄하기도했다.
엄마가수학을두려워하지않으면그자신감은그대로아이에게전해지고아이는수학을편안하게대할수있다.그런의미에서이책은“자녀가수학과좋은관계를맺도록엄마가먼저읽는수학교육의첫단추같은책”이다.(15쪽)아이가수학문제를물어오면숨부터턱막히고아이수준에맞게설명해주고싶지만학창시절에배웠던것들이도무지기억나지않아서답답하고아이에게미안했던엄마라면,그동안문제풀이와점수올리기에연연해무작정아이를다그친엄마라면꼭이책을읽어보길바란다.
엄마의수학자존감을높이고
아이를수학우등생으로키우는필수특강
초등학생일때수학을꽤하던아이들이중학교,고등학교에올라가면뒤처지는이유는개념과공식을이해하기보다암기해서문제를푸는데급급하기때문이다.고등수학은기초내용을서로연결하고응용하는과정인데(16쪽)제대로된이해가바탕이되지않으면그저문제푸는기계가될뿐이다.그러면아이는수학에대한흥미를완전히잃어버리고만다.이것은많은엄마가학창시절에똑같이겪었던문제이기도하다.
하지만“어떤수학개념도태고부터존재한것이아니라누군가에의해정의되거나발견된것들이다.그러므로수학책을펴면공식부터외울것이아니라그공식을만든수학자들의이야기에귀를기울이고왜이런개념이생겨났는지”(25쪽)들여다봐야한다.무작정외워서풀기보다는공식이탄생하게된배경과뒷이야기,세계적인수학자들의에피소드,일상에서접할수있는수학이야기등을통해접근하면필수개념과핵심원리를한층더깊이이해하고더넓은범위를파악할수있다.
여기이책에수록된에피소드몇가지를소개한다.엄마와아이가함께읽어보고이야기를나눠보자.쪽지시험과학습지채점결과가아닌,색다른수학이야기를주고받는경험은엄마와아이를더흥미진진한수학의세계로이끄는마중물이될것이다.수학우등생이되는첫걸음도바로여기서시작된다.
방정식문제는3800년전부터‘노잼’이었다?
서로다른방향으로공원을걷는철수와영희의속력을구하거나,작년과올해의수확량으로토지면적을구하는것처럼방정식문제들은하나같이억지스럽다.그런데놀라운점은약3800년전고대바빌로니아의점토판에도이런‘노잼’문제가발견되었다는사실이다.그럼에도불구하고우리가방정식을배우는이유는방정식이‘문제해결력’을높여주는최고의방법이기때문이다.(117쪽)
알파벳26자중에서왜하필‘x’가미지수의대표가되었을까?
‘나는생각한다,고로존재한다’라는명언으로유명한프랑스의철학자르네데카르트는훌륭한수학자이기도했다.그는자신의수학논문을인쇄하기위해인쇄소를방문했는데,그논문에는숫자보다문자가더많았다.‘알지못하는수’즉,미지수를문자로표기했기때문이다.인쇄소주인은활자재고가가장많았던‘x’로미지수를표기했고이후부터미지수‘x’가널리쓰이기시작했다.(86쪽)
근의공식이수학자들의부와명예의수단이된배경은?
르네상스시기의유럽에서는이자복리계산이나무역세금계산때문에근의공식을아는수학자가큰인기를얻었고,상인자녀를대상으로수학과외도성행했다.그러다보니당시수학자들에게근의공식은부와명예를거머쥘수있는보물이자무기와같았고그들사이에서는삼차방정식문제를푸는대결이벌어지기도했다.(132쪽)
동전던지기는어쩌다수학의한분야가되었을까?
1494년이탈리아의수학자루카파치올리가쓴책에는내기도중에중단되어버린동전던지기이야기가나온다.17세기수학자블레즈파스칼은동시대수학자인페르마와함께이중단된게임의해법이무엇인지에관해편지를주고받았다.그리고이내용은훗날확률론탄생의밑거름이되었으니,확률이도박장을떠나수학의세계에들어온순간이었다.(283쪽)
땅바닥에그린원이목숨보다소중했던수학자는?
기원전200년경아르키메데스는다각형의둘레길이를이용해원둘레를계산하려고했다.원과접하는다각형의각이많아질수록원둘레길이의범위를좁혀나갈수있고,보다정확한근삿값을얻을수있기때문이다.그렇게그는무려96각형까지계산하는데성공했다.그러던중로마가그의고향을침략했고,로마병사는그의집까지쳐들어왔다.아르키메데스는자신이땅바닥에그린원을로마병사가짓밟자‘내원을망치지말라’며호통을쳤고,화가난병사는그자리에서그를베어버리고말았다.(161쪽)이는위대한수학자의안타까운죽음이지만,한편으로는자신의연구를지키겠다는집념이돋보이는숭고한죽임이라고도할수있겠다.
<책속에서>
암기대신개념과배경이해하기
규칙을이해하기위해서는어떻게해야할까요?답은간단합니다.왜이런규칙이나왔는지묻는거예요.수학책을펴면공식부터외울것이아니라그공식을만든수학자들의이야기에귀기울여야하는거죠.
‘원주율π(파이)는3.1415926…’을외우기전에적국병사에게죽임을당하는순간에도‘내원을망치지말라’고했다는아르키메데스의절실함을엿봐야합니다.‘무리수는유리수가아닌수’라는말장난을외우기전에무리수의가능성을논했다가살해당한히파소스(Hippasus)의억울함에공감해야하지요.어떤수학개념도태고부터존재하지않았습니다.누군가에의해정의되거나발견된것들이에요.이규칙을왜만들었는지한번쯤그들에게물어봐야하지않을까요?-<본문25~26쪽>
누가십진법을당연하다고했는가?
바빌로니아인들의육십진법은나누기에서그위력을발휘하죠.예를들어사과한상자가10개포장인경우와60개포장인경우를각각비교하면알수있어요.사과한상자를열어사람들에게나누어준다고하면10은나누기가어렵지만60은쉽게나누어지거든요.예를들어4명에게나누는상황을생각해보면10개포장은2.5개씩나누어줘야하지만60개포장은15개씩나누어줄수있는거죠.
물론분수의개념을알면사과를잘라서나눠줄수도있겠지요.하지만현실에서분수는쉽지않아요.저도분수를알지만딸과아들에게사과를반으로나눠주기는포기했거든요.어떻게나누어도공평하지않더라고요.-<본문38~39쪽>
수를만드는재료가있을까?
음식에관심이있는사람이라면으레재료와레시피가궁금해지기마련이지요.수학자들도마찬가지입니다.‘수(數)’의발견뒤에궁금했던것은재료였습니다.수는어떤재료로만들어졌을까요?수를쪼개고쪼개면더는쪼개지지않는수의재료가있지않을까요?어떤수의근본이되는수가바로‘소수(素數)’입니다.
소수는근본이되는수이기에더는쪼개지지않습니다.쪼개지지않는다는표현을조금더수학적으로표현하면‘1과자기자신외에는나누어지지않는다’라고하지요.예를들어2는1과자기자신2로만나누어지기때문에소수입니다.반면에4는1과자기자신4로나눌수있지만2로도나눌수있으므로소수가아니에요.즉,2가음식의재료라면4는2를재료로삼아만들어낸요리와같습니다.재료는소수,요리는합성수에해당하지요.-<본문43~44쪽>
정체불명의수를문자가대신하다
알파벳은26개나되는데왜그중x가미지수의대표가된걸까요?x를처음사용했던사람은1600년경프랑스의르네데카르트입니다.‘나는생각한다,고로존재한다’라는명언으로유명한분이지요.어느날데카르트는자신의수학논문을인쇄소에맡기러갔습니다.논문을받아든인쇄소주인은숫자보다문자가더많은수학논문을보고의아했어요.
“수학논문인데문자가많네요?”
“알지못하는수를문자로표기해서그렇소.”
“그렇군요.그럼혹시그문자를x로바꿔도될까요?”
“왜그러시오?”
“같은문자가계속사용되니활자수량이부족할것같아서요.지금인쇄소에x가가장많이남는데모르는수를x로표기해도괜찮을까요?”-<본문87~88쪽>
방정식은3800년전부터‘노잼’이었다
수학교육의반이상은방정식이라는말이있습니다.교과과정전반에걸쳐방정식은어디에나등장하니까요.심지어초등학교1학년도방정식을배워요.‘친구에게사과2개를줬는데3개남아있으면원래몇개를가지고있었나?’식의문제가모두방정식이니까요.(중략)
약3800년전의방정식문제도지금과크게다르지않게억지스러웠다는사실이놀라울뿐입니다.이점토판의기록이어떤용도인지는모르겠습니다.당시교과서일수도있고귀족들이노예들앞에서잘난체하려고만든것일수도있겠죠.확실한것은아주오래전부터방정식은억지스럽고쓸모없어보인다는거예요.-<본문115~119쪽>
너만알고있어야했던비밀
아무리졸업한지오래되었어도이차방정식근의공식은기억하고계실거예요.학창시절마치한편의시를암송하듯입에달고살아야했으니까요.그다지아름다운운율의시는아니었지만요.
이차방정식근의공식은역사가꽤깊어요.고대바빌로니아시절에도이차방정식의해법이논의되었다고하니까요.이차방정식은영어로‘QuadraticEquation’이라고하는데,사전을찾아보면‘quadratic’은사각형과관련된용어입니다.이름이주는의미처럼사각형의넓이와관련된문제들이이차방정식으로표현되는경우가많거든요.넓이하면가장먼저떠오른것이있지요?바로땅입니다.땅이돈이되는농경사회부터토지의넓이를구하는문제는중요한관심사가되었고이차방정식해법도자연스레등장하게된거지요.-<본문131~132쪽>
탈레스의정리로뻥튀기자르기
원주각이중심각의절반이라는법칙에서탈레스의정리가나옵니다.반원의중심각은180°,따라서반원의원주각은90°가되죠.이것이탈레스의정리입니다.
탈레스의정리를이용하면아이들에게동그란모양의물건을반으로잘라줄때좋아요.동그란뻥튀기같은것들말이에요.만약여러분의자녀가절반의뻥튀기에의문을제기한다면공책처럼직각의모서리를가진물건을대보세요.만약공책이뻥튀기의양끝과둥근부분,총세부분에서닿으면뻥튀기는정확히반으로나눈것이맞아요.그렇지않고뻥튀기의한끝이닿지않거나둥근부분에공책모서리가닿지않으면정확한절반의뻥튀기가아닌거예요.-<본문178쪽>
원을닮은마음으로아이들품어주기
평범한삼각형안에서특별한가치를발견하는것,그것이내심과외심의핵심입니다.일반적인예각,둔각삼각형들은특징을찾기쉽지않아수학자들의관심밖에있었지만,원을만나면서그동안보이지않던자신만의새로운가치를드러내게되었어요.어느누가평범한삼각형안에서그많은직각삼각형을발견하리라생각했겠어요?
마치우리아이들을키우는과정과비슷한것같아요.아이에게특별한재능을바라는것은어느부모나마찬가지겠지요.그래서조급해지는것도사실이고요.기대만큼재능을보여주지못하면실망도하겠지요.하지만그럴수록부모가할수있는것은그저둥근마음으로아이들을안아주고그들의말에귀기울여주는것일거예요.그러면아이들은스스로자신의특별한가치를발견하게되겠지요.이세상에특별함을품지않은아이는없거든요.-<본문187~188쪽>
기하세상의유일한도구
기하학시험이있는날,도형의길이를구하는문제를내면꼭이런학생이있습니다.일단시험지의끝을길게찢어요.그리고그위에인간이그릴수있는가장정교한눈금을연필로그리죠.그러고나서시험지위에대고직접길이를잽니다.삼각형이나원의성질따위몰라도직관적으로문제를풀수있는참창의적인학생들입니다.
여기서더발전한학생은각도를묻는문제도가볍게해결해냅니다.시험지의모퉁이를접어‘모서리각도기’를만드니까요.시험지모서리가직각이라는사실과도형의닮음을응용한학생들이죠.이학생들의전략은어느정도효과가있습니다.-<본문261~262쪽>
불확실한세상을설명하는숫자
평균과분산은다른의미로‘기대치’와‘불확실성’으로해석할수있어요.다시두맛집의경우를예로들어보겠습니다.A가게와B가게모두평균별점은3점이었어요.그뜻은우리가두가게에서기대하는음식맛이3점이라는의미죠.
그런데분산이큰A가게는변량의분포가넓어서맛도복불복이에요.3점짜리맛을기대했지만어느날은5점짜리맛을,어느날은1점짜리맛을봐야할수도있거든요.반면에분산이작은B가게는예상했던맛에서크게벗어나지않을가능성이높아요.따라서분산은기대하는정도(평균)에대한‘불확실성’으로정의할수있습니다.-<본문312쪽>
<추천의말>
이책은독자를보다쉽고편안한마음으로수학과수학교육에다가갈수있도록이끌어줍니다.그리고수학이어떻게‘엄마의무기’가될수있는지진솔하고명쾌하게알려주고있지요.그래서수학잘하는아이로키우고싶은엄마들을위한필독서로손색이없다는생각이듭니다.누구에게나기쁜마음으로추천할수있는책을만나저도무척반갑습니다._최영기,서울대수학교육과교수,《이런수학은처음이야》저자
