8일간의 선형대수학

박부성

자지:박부성
경남대학교수학교육과교수이며,자타공인국내최고의수학퍼즐전문가이다.어려서부터수학의아름다움에매혹되어,간결하면서도명쾌한수학적원리를함축한‘퍼즐’에관심을가졌다.중.고등학생때는딱딱한교과서보다퍼즐에숨은수학적원리를발견하는데서더큰즐거움을느끼곤했다.1989년서울대수학교육과에입학하였고,졸업후서울대대학원수학과에서정수론을전공했다.대학생무렵부터는통신과인터넷의퀴즈게시판에서‘퍼즐고수’로이름을떨쳤으며,수학자,대학교수등내로라하는세계의퍼즐‘지존’들이포진한인터넷뉴스그룹(rec.puzzles)에자신의퍼즐을선보여호평을받았다.퍼즐을푸는것뿐아니라직접만들고해석과해설을덧붙이기를즐겼고,퍼즐을개발하여소개하거나잘알려진퍼즐에해설을더해퍼즐웹사이트를운영했다.
지은책으로는『천재들의수학노트』,감수한책으로는『수학의도레미』(전7권),『고스트수학』등이있다.

서문v
몇가지기호들ix

첫째날연립일차방정식1
1.1중요한것은계수!.1
1.2가우스소거법.2
1.3연립일차방정식의근의공식.3
1.4사상의합성과행렬의곱.4
1.5가우스소거법다시보기.6
1.6역사상의행렬표현.8

둘째날행렬식13
2.1역행렬의존재성.13
2.2행렬식의기하적의미.14
2.3행렬식을구하는여러가지방법.19
2.4야코비행렬식.25

셋째날벡터공간27
3.1물리학적벡터.27
3.2수학적벡터.28
3.3추상화.29
3.4유클리드공간.32
3.5내적공간.34
3.6외적?.36

넷째날벡터공간의기저41
4.1일차결합과생성.41
4.2일차독립.42
4.3기저.43
4.4직교기저.45
4.5벡터의성분표현.47
4.6푸리에급수?.48

다섯째날선형사상과행렬51
5.1선형사상.51
5.2차원정리.55
5.3계수정리.57
5.4기저변환.59
5.5유클리드공간과선형사상.62
5.6최소제곱법.63
5.7쌍대공간과미분형식?.66

여섯째날고유값과고유벡터73
6.1행렬의대각화.73
6.2대각화가능성.76
6.3이차형식.78
6.4케일리-해밀턴정리.83
6.5최소다항식.85
6.6마르코프과정?.91

일곱째날복소벡터공간95
7.1스칼라.95
7.2복소내적공간.96
7.3복소행렬의대각화.99

여덟째날분해정리103
8.1조르당표준형.103
8.2제1분해정리.107
8.3제2분해정리.111

연습문제풀이117
찾아보기137

선형대수학(linearalgebra)은방정식,정확히는연립일차방정식(systemoflinearequations)을푸는방법과그에관련된이론을연구하는학문이다.“선형(linear)”은일차식을뜻하며,“대수(algebra)”는기호를조작하여답을구하는방법을뜻한다.그러나현대적의미의선형대수학은크게세가지이론이융합되어있다고할수있다.첫째,선형대수학의역사적근원이기도한연립일차방정식의해법,둘째,행렬의조작,셋째,추상적인벡터공간의이론이다.연립일차방정식은행렬을이용하여나타내고풀수있으며,연립일차방정식의해집합은벡터공간이된다.

한편,벡터공간사이에정의되는“좋은함수”는행렬을이용하여나타낼수있다.이처럼,선형대수학의세요소인연립일차방정식,행렬,벡터공간은서로밀접한관련을맺고있으며,하나의문제를서로다른세가지관점에서다룰수있게한다.이세요소가서로얽혀있다는관점에서바라본다면수학의여러분야를이해하는데큰도움이될것이다.이책은경남대학교에서추진했던학과역량강화사업의산물이다.선형대수학은수학거의모든분야의기초가되는과목임에도단순계산에매몰되어전체적인구조를파악하지못한학생들이적지않았다.

이런학생들을위해선형대수학의여러주제를통합적인관점에서바라볼수있는교재가필요하였으나,목적에맞는교재를찾기가쉽지않았다.무엇보다도대부분의책들이한학기또는두학기정도의수업에맞추어져있어,짧은기간에선형대수학을정리하기에는너무양이많았다.이에꼭필요한내용만다루면서도쉽게읽을수있는교재를개발할필요가있었다.이책은총8개의장(chapter)으로이루어져있으며,한장당10여쪽정도로구성하였다.

되도록쉽게풀어쓰려하였으나,분량의한계로설명이다소부족한부분도없지않으며,구체적인설명을대신하여연습문제로돌린것도많다.무엇보다도직접손으로일일이계산해보는“손맛”을느낄수있는문제가별로없다는점은이책의단점가운데하나이다.몇개의장에는마지막절의제목에별표(?)가붙어있다.이것은선형대수학의응용에해당하는주제로,아직선형대수학을많이공부하지못한학생이라면생략해도된다.집필목적을뒤집어생각하면,이책은선형대수학을공부하는교재로쓰기에많이부족하다.

주교재로공부하다가이해하기어려운부분을다시한번살펴보거나,이전에학습한부분을요약정리하는보충교재로사용하는것이적절할것이다.선형대수학교재가수백수천종이있지만,이책의기본은이인석선생님께서쓰신《선형대수와군》이라할수있다.물론이책의목표가그리높지도않고,무엇보다저자의능력이부족하다보니이인석선생님의책처럼화려하면서도심오한수학의세계를보여주는경지에는미치지못한다.그저선형대수학이라는,수학의근본이되는학문의한자락이나마느껴볼수있다면이책은그목적을다했다하겠다.