불완전성 : 쿠르트 괴델의 증명과 역설

레베카 골드스타인

저자 레베카 골드스타인(Rebecca Goldstein)은 『영육의 문제 (The Mind-Body Problem)』와 『빛의 성질(Properties of Light)』을 비롯한 다섯 권의 소설을 썼으며 단편 모음집『스 트레인지 어트렉터(Strange Attractor)』를 펴냈다. 맥아더 연 구원(MacArthur Fellow)이자 철학 교수인 그녀는 소설과 학 술의 두 분야에서 여러 상을 받았다.

들어서면서
망명객들

제1장 실증주의자들 중의 플라톤주의자
첫사랑 / 혼돈의 과거를 벗어나 새 터전을 찾는 도시 / 빈서클 / 빈서클의 주역들 /
재선포: 인간은 만물의 척도 / 비트겐슈타인과 빈서클 / 말할 수 없는 것 /
빈서클의 괴델: 침묵의 반대자 / 괴델과 비트겐슈타인

제2장 힐베르트와 형식주의자들
수학자의 직관 / 형식화되는 수학 /
힐베르트의 둘째 문제: 산술의 무모순성(있을 수 없는 가장 중요한 증명)

제3장 불완전성의 증명
쾨니히스베르크의 괴델 / 간과된 괴델의 위대한 첫 순간: 사소하지 않은 사소함 /
가장 조용한 폭발: 괴델이 그의 결과를 발표하다 / 폰 노이만이 암시를 붙잡다 /
제1불완전성정리: 전반적 전략 / 제1단계: 형식체계의 수립 / 제2단계: 괴델기수법 /
제3단계: 증명불능이라 하기 때문에 참인 명제 만들기 / 제2불완전성정리 /
비트겐슈타인과 불완전성 / 퍼져 가는 불완전성

제4장 괴델의 불완전성
홍학 / 커피가 맛을 잃다 / 구제불능의 논리 / “나는 부정적 결정밖에 할 수 없다” /
불완전성(모두 다시 한 번)

참조 자료
참고 문헌
감사의 글
옮긴이의 글
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역사상 가장 흥미로운 증명에 대한 꼭 읽어야 할 책!

20세기 초, 고전물리학과 수학의 토대를 이루는 가정들에 몇 번의 타격이 가해졌다. 상대성이론은 그때까지 확립되어 있던 시간과 공간의 개념을 뒤엎었으며, 양자역학의 연구들은 결정론과 인과율에 관한 기본적 인식을 송두리째 흔들었다. 또한 집합론에서도 러셀의 패러독스 등 여러 가지 모순들이 나타났다. 특히 모든 과학에 대한 수학의 중요성에 비춰 볼 때 가장 폭발적인 것은 수학적 추론을 체계화하고자 하는 모든 시도에 메울 길 없는 틈이 있음을 밝혀낸 불완전성정리인데, 언뜻 거의 모순적으로 보이지만 참으로 놀라운 결론이다. 이 발견의 배경에 자리 잡은 천재 쿠르트 괴델은 그 자신이 모순적인 인간이었다. 아리스토텔레스 이후 가장 위대한 논리학자였던 그는 만년의 아인슈타인에게 가장 가까운 지적 동료이기도 했다. 한편 그는 괴벽스러운 기질이 있었으며 편집증적 논리에 빠져 살았고 결국 이 때문에 비극적인 죽음을 맞았다. 이처럼 비이성적인 삶을 살았음에도 불구하고 그는 이성을 굳게 믿었다. 독창적인 증명을 통해 그는 충분히 복잡한 체계, 요컨대 수학자들이 사용하고자 하는 체계라면 어떤 것이든 참이면서도 증명불가능한 명제가 반드시 존재한다는 사실을 밝혀냈다. 이 결과에 절망하는 사상가들이 있는가 하면 거목 비트겐슈타인과 같은 사람들은 결코 받아들이려 하지 않았다. 심지어 어떤 사람들은 오해에 빠진 나머지 이를 합리성이란 배에 정면으로 돌진하는 어뢰로 여겼다. 하지만 괴델이 보기에 이는 인간의 마음으로는 오직 불완전하게 헤아릴 수밖에 없는, 인간과 독립적으로 존재하는 영원불멸의 객관적 진리에 대한 증거였다. 레베카 골드스타인은 소설가로서의 기교와 과학철학자로서의 통찰을 결합하여 괴델의 정리와 그 현란한 귀결들을 이해하기 쉽도록 펼쳐 보임은 물론 괴팍스럽고도 처절한 천재의 삶을 생생히 그려 나간다. 『불완전성』은 괴델의 삶과 세계, 그리고 그의 업적에 바쳐진 새롭고도 중요한 찬양이다.

?『불완전성』에 대한 찬사

골드스타인은 엄청난 일을 해낸다.
앤터니 도어(Anthony Doerr), 〈보스톤 글로브(Boston Globe)〉

속임수처럼 마음을 빼앗는다. …『불완전성』은 독자들의 가슴속에 홀리는 듯한 목소리로 수수께끼와 같은 과학적 천재를 그린 또 다른 책 『경도(Longitude)』처럼 마음에 와 닿는다. …골드스타인은 드높은 이론적 탐구를 낮은 땅으로 안착시키는 데에 뛰어난 재주를 가졌다. …우리는 괴델의 탁월함은 물론 그가 나중에 겪는 처절한 신경증을 절감하면서 『불완전성』을 덮게 된다.
데이빗 키펜(David Kipen), 〈샌프란시스코 크로니클(San Francisco Chronicle)〉

대단하다. …골드스타인의 책은 노턴출판사의 〈GREAT DISCVERIES〉를 빛낼 뛰어난 선택이다. 그녀의 철학적 배경은 바탕을 이루는 아이디어에 대한 믿을 만한 안내자이며, 성격과 분위기에 대한 소설적 깊이를 지닌 묘사는 논리적 패턴을 향한 쉴 새 없는 탐구 속에서 고통 받다가 점차 어두운 편집증으로 빠져 드는 논리학자의 심상에 공감하는 자세를 잘 드러내 준다.
〈퍼블리셔스 위클리(Publishers Weekly)〉

골드스타인은 괴델의 머릿속으로 들어가 어찌 돌아가는지 보여 준다. 그녀는 괴델의 수학을 그의 넓은 철학적 탐사의 한 귀결로 그린다. 그녀가 보기에 괴델은 우선적으로 철학자이며, 수학을 통해 그의 생각을 펼칠 따름이다. 중요하지만 잘 알려지지 않았던 괴델과 라이프니츠 사이의 강한 연대는 특히 잘 묘사되어 있다. 극력 추천할 만하다.
그레고리 채틴(Gregory J. Chaitin), 『초수학: 오메가의 의문』의 저자

이것은 인간 지식의 변경을 탐색하는 어려운 주제다. 지은이는 괴델, 비트겐슈타인, 아인슈타인의 작품과 우정, 그리고 그 셋의 차이를 교묘하게 인간적으로 그려 내고 있다. 아마 소설가만이 이런 일을 해낼 수 있을 텐데, 어쨌든 골드스타인은 탁월하게 해냈다.
-존 더비셔(John Derbyshire), 『리만 가설』의 저자, 〈뉴욕선(New York Sun〉

골드스타인의 가벼운 터치는 독자들이 충분히 즐길 만하다.
-마틴 데이비스(Martin Davis), 〈네이처(Nature)〉

"이 책은 보석이다. 그 안에는 기념비적 아이디어와 이를 발견한 사람, 그리고 부상(浮上)의 배경이 되는 다채로운 시대에 관한 매력적인 이야기가 담겨 있다. 역량 있는 소설가이자 철학자인 레베카 골드스타인은 정신적 창조물에 대한 명료한 설명은 물론 그 아이디어 및 이를 다룬 사람들에 대해 만족스럽고도 독창적이 해설을 내놓는다. 우아함과 열정으로 쓰인 『불완전성』은 인류 사상사의 가장 위대한 순간 가운데 하나에 대한 잊혀지지 않을 작품이다.”
-스티븐 핑커, 하버드 대학교 존스턴 심리학 교수, 『마음은 어떻게 작동하는가』『빈 서판』의 저자

『불완전성』은 지난 세기 가장 위대한 수학적 지성 가운데 한 사람을 정교하고도 철저하게 파헤친 매혹적인 이야기이다. 쿠르트 괴델의 삶에서 잘 추려 낸 에피소드들을 교묘하게 엮어서 그의 가장 경이로운 위업, 곧 참이면서도 증명불가능한 명제가 존재한다는 사실에 대한 증명을 세밀하면서도 놀랍도록 쉽게 풀어낸다. 이 이야기를 통해 골드스타인은 괴델의 고뇌와 천재성을 동시에 드러내고 있다. 책을 덮을 무렵 우리 모두는 왜 아인슈타인이 ‘괴델과 함께 다니는 특권’을 고대했는지 깊이 이해하게 되며, 우리 또한 그들과 함께 하고 싶은 소망을 억누를 수 없게 된다.
-브라이언 그린, 『엘러건트 유니버스』와 『우주의 구조』의 저자
통찰력 있는 안목으로 쉽고도 아름답게 쓴 이 책에서 레베카 골드스타인은 가장 위대한 수학자 가운데 한 사람의 위업과 함께 인간 지성과 이를 둘러싼 세계 사이의 관계를 탐구하고 나선다.
-앨런 라이트맨, 『아인슈타인의 꿈』의 저자

아마존 독자 서평

일반인을 위한 괴델 이야기
내가 가르치는 ‘지식의 이론’이란 강좌에서 나는 해마다 괴델의 불완전성에 대해 다루려고 했다. 그 큰 이유는, 괴델의 업적이 매우 중요하다는 점을 잘 알기는 하지만, 그것에 대해 나 스스로부터 썩 잘 이해하지 못하기 때문이었다. 그런데 괴델의 증명에 대한 골드스타인의 비유는 바로 내가 이해할 수 있는 종류의 것이었다. -Peter Payne

좋은 책이다!
나는 수학자도 논리학자도 철학자도 아니지만 이 세 분야에 모두 관심이 있는 평범한 사람이다. 컴퓨터를 전공했기에 괴델이 나중에 튜링이 나아갈 길의 기초를 닦았다는 사실을 이미 알고는 있었다. 그러나 괴델의 정리와 그 의의에 대해서는 잘 몰랐는데, 이 주제를 다룬 것으로 처음 읽은 이 책은 흥미로울 뿐 아니라 이해하기에도 편했다. …골드스타인은 괴델의 증명을 명료한 필치로 끈질기게 설명하고 있다. 비록 그 요체를 모두 확연히 이해했다고는 못하겠지만 더욱 깊이 공부해야겠다는 동기를 얻기에 충분했다. -Srikanth Meenakshi (Virginia, USA)

이제 괴델을 알겠다!
1999년 〈타임〉지가 20세기에 가장 많은 영향을 끼친 100인 가운데 한 사람으로 쿠르트 괴델을 꼽을 때까지 심지어 지식인들 중에서도 그는 생소한 인물이었다. 더글러스 호프스태터가 『괴델, 에셔, 바흐』를 통해 할 말을 마치고 떠난 자리에서 레베카 골드스타인은 우아하고도 편안하게, 때로 어쩔 수 없이 심원해지기는 하지만, 이 위대한 수학자이자 논리학자의 생애와 업적을 차분히 그려 내고 있다.
-A.R. Cellura (Abbeville, SC)

역사상 가장 흥미로운 증명에 대한 꼭 읽어야 할 책
정신을 홀리는 이 책은 탁월하지만 기이한 수학자에 대한 전기로서 또 다른 『뷰티풀 마인드』라고 말할 수 있다. 이 책은 수학 역사상, 나아가 어쩌면 인류의 지성사 가운데 가장 중요한 발견에 내포된 심오한 의미를 찾는 길로 우리를 안내해 준다. -Cogs


?출간에 덧붙여

19세기 산업은 전기 기술 시대, 20세기는 전자 기술 즉 반도체가 주도하는 시대였다면 21세기는 양자 기술 시대입니다. 21세기의 양자 컴퓨터, 양자 암호, 양자 정보, 양자 철학 등의 양자 기술 시대를 대비하기 위해서는 지금의 청소년 세대부터 수학과 물리학의 근본원리를 뿌리부터 본질적으로 이해하고 공부해야 합니다. 이를 위해서는 의미 있는 수학 및 양자 물리학 서적들이 충분히 출간되어야 합니다.
『불완전성』은 이런 생각을 바탕으로 좋은 컨텐츠를 내놓겠다는 일념으로 만들어 낸 역작입니다. 수학, 과학, 컴퓨터는 물론 모든 학문의 기초라고 여겨지는 논리학을 이끈 대부로 평가되는 괴델의 천재적인 업적과 삶을 다룬 이 책이 미래의 주역인 청소년에게 좋은 선물이 되길 바랍니다.


?“놀라운 지적 교향곡”
-나는 증명될 수 없다

모든 오류는 (감정이나 교육과 같은) 외부 요인 때문이다. 이성 자체는 오류를 범하지 않는다.
-쿠르트 괴델(Kurt Godel), 1972년 11월 29일

괴델의 불완전성정리, 아인슈타인의 상대성이론, 하이젠베르크의 불확정성원리. 이 이론들의 이름에서 왠지 인간적인 요소가 느껴지지 않는가? 객관성을 포용하는 주관성, 곧 “모든 것은 생각에서 나온다”라든지 “인간은 만물의 척도”라는 사고방식은 20세기의 지성과 문화의 장에서 뚜렷한 지배적 흐름이었다. 누구나 혁명적으로 여기며 시사적인 이름이 붙여진 괴델과 아인슈타인의 업적은 하이젠베르크의 불확정성원리와 함께 ‘객관성의 신화’를 물리칠 가장 강력한 현대적 근거로 한데 엮어졌다. 나아가 이러한 삼위일체식 해석은 그 자체가 현대적, 더 정확히 말하면