허수 (시인의 마음으로 들여다본 수학적 상상의 세계)

배리마주르

마주르는1937년뉴욕에서태어났다.MIT에입학한마주르는2년만에졸업요건을거의마쳤지만당시MIT의필수졸업요건이었던학군단(ROTC)평가가좋지않아졸업하지못했다.다행히마주르의이런사정을이해한프린스턴대학교에서그를대학원과정에받아들였다.프린스턴대학교에서박사학위를받은마주르는1년동안프린스턴고등과학원에머물렀다.
1959년22세에하버드대학교에온마주르는1962년조교수,1965년부교수를거쳐1969년에수학과교수가되었고,1982년에윌리엄페첵(WilliamPetschek)수학교수로임명되었다.1998년에는GerhardGadeUniversityProfessor로임명되었는데,1935년에처음만들어진하버드대학교의UniversityProfessor는자신의분야에서최상의업적을남긴이들에게수여되는명예로운직함이며,UniversityProfessor에임명되면하버드대학교의어느학과에서나가르칠수있다.
국제적으로저명한수학자인마주르는위상수학과수론에서탁월한업적을남겨AMS(AmericanMathematicalSociety)로부터Veblen상(1965)과Cole상(1982)을,MAA(MathematicalAssociationofAmerica)로부터Chauvenet상(1994)을받았다.마주르는FAS(FacultyofArtsandSciences)와NAS(NationalAcademyofSciences)의멤버이기도하다.

서문8
옮긴이서문12

1부17

1장상상력과제곱근19
1.상상해보자19
2.상상력27
3.읽는것을상상하기30
4.수학적문제들과제곱근32
5.수학적문제란무엇인가?35

2장제곱근과상상력38
6.제곱근이란무엇인가?38
7.제곱근이란무엇인가?43
8.2차방정식의근의공식44
9.음수의제곱근은어떤종류의수인가?48
10.지롤라모카르다노49
11.정신적고문51

3장숫자들여다보기55
12.상상의세계는어떻게표현될수있는가?55
13.지성적인,상상의,불가능한58
14.똑바로보기와곁눈질로보기59
15.이중부정61
16.튤립은노란색인가?65
17.단어,사물,그림66
18.직선위에숫자표시하기68
19.실수와소피스트74

4장허락과법칙77
20.허락77
21.강요된관습인가아니면정의인가?82
22.분배법칙은어떤종류의‘법칙’인가?84

5장간결한표현88
23.평면의도해88
24.성질의기하학94
25.여분의상상력97

6장법칙정당화하기100
26.법칙을믿는이유100
27.곱셈의정의102
28.분배법칙과그영향107
29.소득이있는원과헛수고에불과한원109
30.그렇다면음수에음수를곱하면왜양수가되는가?110

2부113

7장봄벨리의수수께끼115
31.카르다노와타르탈리아의논쟁115
32.봄벨리의대수학120
33.“나는기존의해와전혀다른새로운종류의세제곱근을구했다.”124
34.알고리듬의관점에서본수131
35.미지수의이름132
36.미지수와수134

8장이미지잡아늘이기137
37.수직선의신축성137
38.‘상상하기’와‘그리기’143
39.글쓰기의발명가들146
40.허수의계산148
41.시간이누락된수학153
42.의심스러운해답154
43.봄벨리의수수께끼로되돌아가서155
44.봄벨리와의대화157

9장수로표현되는기하학160
45.여러개의손160
46.을곱한다는것은무슨의미인가?:대수학과기하학의혼합162
47.글쓰기와노래하기164
48.표기법의위력165
49.수평면170
50.조용히,내면의소리로생각하기174
51.복소평면176
52.솔직한고백178

10장수의기하학적속성181
53.위대한발견의순간들181
54.하나의대상과다른대상을연결짓는방법182
55.노래와이야기183
56.복소평면에서의곱셈.의기하학적의미185
57.나의추측이옳다는것을어떻게확신할수있을까?187
58.수의정체는과연무엇인가?189
59.복소평면에서의곱셈을어떻게시각화할수있는가?190

3부195

11장수에내재되어있는기하학적의미197
60.“이방정식들은그성질은다르지만코사인방정식과동일한형태이다.”197
61.새로운발견에대한평가204

12장기하학을통한대수학의이해211
62.쌍둥이211
63.봄벨리의세제곱근:알고리듬에입각한달페로의공식213
64.형식과내용218
65.그러나…220

부록2차방정식의근의공식223
후주225
더읽을책256
감사의글259
찾아보기261

‘상상의수’없는수학은상상할수없다

그후나는대학물리학과에진학하여현대물리학에서양자역학(QuantumMechanics)이라는과목을처음접하게되었고,담당교수님으로부터“지금까지배운물리학은모두잊어라.올바른물리학은양자역학뿐이다.그리고양자역학의수학체계는모두허수로이루어져있다”는또한번의충격선언을들어야했다.모든연산자와파동함수,그리고가장중요한슈뢰딩거의파동방정식에한결같이허수(복소수)가개입되어있다는것이다.-옮긴이서문중에서

이처럼이름부터미심쩍은수인허수는의외로수학과과학에서매우중요한위치를차지한다.역설적이지만현실세계를만족스럽게설명하려면‘상상의수’인허수가반드시필요하다.그렇다면수학자들은허수라는상상하기어려운수를어떻게수학에도입하게되었을까?이책은우여곡절많았던그수용과정을추적하면서독자들을수학적상상의세계로안내한다.

제곱해서음수가되는수?

학창시절에“자신을제곱하여음수가되는수를허수(虛數)라고한다”는수학선생님의충격적인선언을듣고커다란배신감을느꼈던경험이있을것이다.초등학교와중학교에서는“모든수의제곱은양수이다”,“음수를두번곱하면양수가된다”라고말해놓고이제와서딴소리를하다니!

‘제곱해서음수가되는수’라니,과연이런수가존재할까?허수에관한설명을처음들은사람이라면누구나이런의문을떠올렸을법하다.초등학교와중학교에서배우는수,곧자연수,정수,유리수,실수는,양수이건음수이건,모두제곱하면양수가되기때문이다.

다행히우리는혼자가아니다.과거수학자들도사정은마찬가지였다.허수를“불가능한”수라고단정지었던15세기이탈리아수학자니콜라스슈케(NicolasChuquet,1445~1488)의주장은유럽의수학자들사이에널리수용되었다.그러나허수는나름의효용성을입증하며끈질기게살아남았고,대수학의계산을수행하는데매우강력한도구임이밝혀졌다.그렇지만허수의수용과정이순탄했던것만은아니다.허수가마침내만족스러운‘이미지’를얻고,수학자들이허수를편안하게사용하기까지는무려300여년이걸렸다.

상상의수,허수

음수의제곱근인허수의수용과정이그토록험난했던이유는무엇일까?여러이유가있지만무엇보다과거수학자들이허수를눈으로볼수없었기때문이다.기존의수들은수직선이나좌표평면위에표현할수있었지만허수는그럴수없었다.그들에게시각화할수없다는것은현실세계에존재하지않는다는의미였으며,그리하여이괴상한제곱근에는ImaginaryNumbers,곧‘상상의수’라는이름이붙었다.허수를나타내는기호i는바로Imaginary의첫글자i에서유래했다.

시인의마음으로들여다본수학적상상의세계

하버드대학교의수학교수이며문학에도조예가깊은배리마주르(BarryMazur)는이‘상상의수’를설명하는방편의하나로문학을선택했다.수학과문학,일견완전히동떨어진분야인것같지만둘다‘상상력’과‘발상의전환’이중요하다는공통점이있다.마주르는이책을“수학적상상력을경험해보고싶고,그러한경험을시구(詩句)를읽고이해하는데쓰이는상상력과비교해보고자하는”독자들을위해썼다.따라서수학애호가들뿐만아니라평소수학을어렵게느꼈던문학애호가들까지수학적상상의변천사를문학적으로설명하는이책을읽으면서상상하는즐거움을누릴수있을것이다.