이시이도시아키
1965년도쿄에서태어나도쿄대학교건축학과를졸업한후도쿄공업대학에서수학과석사학위를취득했다.어른을위한수학교실<화和>의강사이다.다양한수학도서를집필하고편집하는한편,중학교시험,대학교시험,수학(數學)능력검정시험을대비한수학부터다변량해석의기초로서선형대수,보험계리사를위한수학,확률통계,금융공학(Black-Scholesequation)에이르기까지폭넓은분야에서수학을어려워하는사람들을대상으로강의하고있다.
저서로는《중학입시,계산명인의비법전수》,《중학입시,카드로단련하는도형의필승작전》,《수학을결정하는논증력-대학으로가는수학》(이상도쿄출판),《일단이책부터,의미를알수있는선형대수》,《일단이책부터,의미를알수있는통계학》,《일단이책부터,의미를알수있는다변량해석》(이상베레출판)이있다.
조윤동
서울대학교수학교육과,서강대학교교육대학원을졸업하고한국교원대학교에서수학교육으로박사학위를받았다.공항고,경동고,서초전자공고,여의도고를거쳐현재한국교육과정평가원에재직하고있다.
저서로『수학파티1,2』가있고,번역서로『수학사고력을키우는20가지이야기』,『수학의역사상,하』,『마술같은수학』,『무한,한없이커져가는마법의수』,『되살아나는천재아르키메데스』,『직관수학기초편』,『직관수학』,『직관미·적분』등이있다.
머리말
제1장정수
1.최대공약수를구하기
-유클리드의호제법
……정리1.1호제법의원리
……정리1.21차부정방정식
……정리1.31차부정방정식
2.나머지계산
-잉여류
……정의1.1합동식
……정의1.2합동식
……정리1.4합동식의성질
3.정육각형을회전시키기
-순환군
……정의1.3군의정의
4.군이같다는것
-군의동형
……정의1.4군의동형
5.일부의원소로도군이된다
-부분군
……정리1.5순환군의부분군
6.두개의군으로군을만들기
-군의직적
……정의1.5군의직적
……정리1.6중국나머지정리
……정리1.7중국나머지정리:3개의수
……정리1.8ℤ/nℤ의분해
7.곱하여도군이된다!
-기약잉여류군
……정의1.6기약잉여류군
8.(ℤ/p^nℤ)^*는직적으로쓸수있는가?
-기약잉여류군의구조분석
……정리1.9기약잉여류의분해
……정의1.7오일러함수
……정리1.10기약잉여류의원소의개수
9.(ℤ/pℤ)^*는순환군이다
-원시근으로생성
……정리1.11F_p위의1차방정식
……정리1.12F_p위에서의나머지정리
……정리1.13F_p위에서의인수정리
……정리1.14F_p위의방정식의해의개수
10.소수p의원시근은분명히있다
-원시근의존재증명
……정리1.15a가생성하는순환군
……정리1.16원시근의존재
……정리1.17(ℤ/pℤ)^*는순환군
11.기약잉여류군을해부하기
-(ℤ/pℤ)*의구조
……정리1.18(ℤ/2^nℤ)^*의구조
……정리1.19(ℤ/p^nℤ)^*의구조
……정리1.20기약잉여류군의구조
제2장군
1.정삼각형의대칭성알아보기
-이면체군
……정리2.1g에의한교체
……정리2.2g가부분집합에작용
……정의2.1이면체군
2.부분군으로부터잉여군만들기
-일반잉여군
……정리2.3잉여류
……정리2.4라그랑주의정리
……정리2.5위수제곱은항등원
……정리2.6페르마의소정리,오일러의정리
……정리2.7잉여군의항등원
3.정육면체의대칭성을알아보기
-S(P_6)
……정리2.8잉여군
……정리2.9순환군의잉여군은순환군
……정리2.10절반의부분군은정규부분군
4.동형사상이아니래도!
-준동형사상
……정의2.2군의준동형사상
……정리2.11Imf는군
……정리2.12Kerf는군
……정리2.13준동형정리
5.동형을만들기
-제2동형정리,제3동형정리
……정리2.14부분군이기위한조건
……정리2.15부분군의연산
……정리2.16제2동형정리
……정리2.17제3동형정리
6.사다리타기가만드는군
-대칭군S_6
……정리2.18치환은호환의곱
……정리2.19대칭군의생성원
……정리2.20치환의홀짝성질
……정리2.21교대군
……정리2.22교대군과대칭군
……정리2.23교대군은삼환의곱
……정리2.24교대군의생성원
7.크기순서로포함되는구조를갖는순환군
-가해군
……정의2.3가해군
……정리2.25순환군의직적은가해군
……정리2.26교대군의비가해성
……정리2.27가해군의부분군도가해군
……정리2.28대칭군의비가해성
……정리2.29준동형사상의상도가해군
……정리2.30잉여군도가해군
제3장다항식
1.기본대칭식으로나타내기
-대칭식
……정리3.1대칭식의기본정리
2.다항식에서소수
-기약다항식
……정리3.2F_p위의다항식은정역
……정리3.3유리수계수다항식의기약성
……이것의대우
……정리3.4아이젠슈타인의판정조건
3.정수와다항식의유사성
-다항식의합동식
……정리3.5다항식의1차부정방정식
……정리3.6기약다항식의정질
4.기약다항식으로나누어도체
-Q[x]/(f(x))
……정리3.7기약다항식에의한체
제4장복소수
1.2차방정식에서복소수가나온다
-복소수
……정리대수학의기본정리
……정리4.1켤레복소수의계산법칙
……정리4.2켤레복소수끼리더하거나곱하면실수
……정리4.3켤레복소수도해
2.복소수가활약하는무대
-복소평면
……정리4.4복소수의곱셈에서절댓값과편각
……정리4.5복소수의나눗셈에서절댓값과편각
……정리4.6복소수의n제곱
3.원을n등분하는점
-1의n제곱근
……정리4.71의n제곱근
……정리4.8복소수의n제곱근
……정리4.91의원시n제곱근
4.1의원시n제곱근을해로갖는방정식
-원분다항식
……정의4.1원분다항식
……정리4.10소수차수의원분다항식
……정리4.111의n제곱근의합의공식
5.n차방정식에는반드시해가있다
-대수학의기본정리
……정리4.12대수학의기본정리
……정리4.13복소수계수2차방정식의해의존재
……정리4.14실수계수다항식의해의존재
……정리4.15복소수계수방정식의해의존재
……정리4.16대수학의기본정리:인수분해버전
6.n이합성수이어도원분다항식은기약
-phi(x)의기약성의증명
……정리4.17modp에서p제곱
……정리4.18해로부터해를만들기
……정리4.19원분다항식의기약성
제5장체와자기동형사상
1.무리수의계산을간단하게하기
-Q(루트3)의대칭성
……정의5.1체의정의
……정의5.2체의동형사상
……정리5.1유리수는동형사상에의하여불변
2.이계산,어디선가보았는데!
-Q[x]/(f(x))congQ(alpha)
……정리5.2최소다항식과기약다항식
……정리5.3단순확대체Q(alpha)의원소표현의일의성
……정리5.4다항식의잉여류군과단순확대체
3.동형은n개
-Q(alpha_1)congQ(alpha_2)cong…congQ(alpha_n)
……정리5.5f(x)가만들어내는동형
……정리5.6동형사상과유리함수는순서를바꿀수있음
……정리5.7동형사상은해를켤레인해로옮긴다
……정리5.8동형사상은해를치환시킨다:해의치환
……정리5.9Q(alpha)의동형
……정리5.10Q(alpha)에작용하는동형사상은n개
4.체의차원을파악하기
-선형대수의보충설명
……정의5.3선형공간
……정의5.4일차독립,일차종속의정의
……정리5.11일차독립,일차종속
……정의5.5기저의정의
……정리5.12표현의일의성
……정리5.13기저의완전성
……정리5.14Q(alpha)의기저
……정리5.15선형공간의차원
……정의5.6차원
……정리5.16선형공간의일치
5.방정식의해를포함하는체
-최소분해체Q(alpha_1,alpha_2,…alpha_n)
……정의5.7최소분해체
……정리5.17동형사상이자기동형사상으로되는조건
……정리5.18자기동형사상의곱도자기동형사상
……정리5.19자기동형군
6.4차방정식의예
-중간체
7.2단확대
-Q(alpha,beta)
……정리5.20차원의곱셈공식
……정리5.21동형사상의연장
……정리5.22Q(alpha,beta)에작용하는동형사상
8.불변부분군과불변체가대응하고있다!
-갈루아대응
……정리5.23불변체
……정리5.24불변부분군
9.확대체는모두단순확대체
-Q(alpha_1,…,alpha_n)=Q(theta)
……정리5.25원시원의존재
……정리5.26대수적확대체는단순확대체
……정리5.27최소분해체는단순체확대
10.동형사상에의해서벗어나지않는다
-갈루아확대체
……정리5.28(최소분해체의차수)=(갈루아군의위수)
……정의5.8갈루아확대체
……정리5.29Q(alpha)가갈루아확대체가되는조건
11.2단확대이론으로증명하기
-갈루아대응의증명
……정리5.30최소분해체의정규성
……정리5.31M의갈루아군
……정리5.32차수공식
……정리5.33갈루아대응:M으로부터시작하기
……정리5.34갈루아대응:H로부터
12.M/Q는갈루아확대인가?
-중간체가갈루아확대체로되는조건
……정리5.35sigma(M)과sigmaHsigma^-1의대응
……정리5.36중간체가갈루아확대체가되는조건
제6장근호로나타내기
1.1의n제곱근을거듭제곱근으로나타내기
-원분방정식의가해성
……정리6.11의제곱근의거듭제곱근표현
2.3차방정식을거듭제곱근으로풀기
-3차방정식의근의공식
3.3차방정식의갈루아대응을구하기
-거듭제곱근확대
4.4차방정식을거듭제곱근으로풀기
-4차방정식의근의공식
5.4차방정식의갈루아대응을알아보자
-거듭순환확대체
……정리6.2가해군과거듭순환확대의대응
6.1의거듭제곱근을만드는체
-원분확대체의갈루아군
……정리6.3원분확대체의갈루아군
7.x^n-a=0이만드는확대체
-쿠머확대
……정리6.4거듭제곱근확대로부터순환확대를만든다
8.순환확대는x^n-a=0으로만들수있다
-순환확대에서거듭제곱근확대로
……정리6.5순환확대로부터거듭제곱근확대를만든다
……정리6.6데데킨트의보조정리
……정리6.7거듭제곱근확대를만드는거듭제곱근의존재
9.피크정리에서자!
-거듭제곱근으로풀수있는방정식의조건
피크정리
……정리6.8가해군일때,해는거듭제곱근으로표현된다
……정리6.9누차거듭제곱근확대체의갈루아폐포
……정리6.10해가거듭제곱근으로표현될때는가해군
10.5차방정식의근의공식은없다
-갈루아군이가해군이아닌방정식
……정리6.11위수p인원소의존재-코시의정리
맺음말
찾아보기
▼에바리스트갈루아
1811년프랑스에서태어난갈루아는불과열두살에르장드르의『기하학원론』을비롯해라그랑주와아벨의논문을탐독할정도로수학에두각을드러내는천재였다.그러나성격이다소과격하고,때로자신감이과도하게넘쳐자신의능력을타인에게설득할인내심이부족했던갈루아는,고등교육기관인에콜폴리테크니크입학시험에서뛰어난실력에도불구하고탈락하거나,학회에기고하는논문이무시당하고,그중일부는심지어유실되는등청년시절연이은불운을겪었다.갈루아는당대의수학자들에게인정받지못한채공화주의자로프랑스혁명에가담하여옥살이를하기도하며고초를겪다가,20세인1832년권총결투에의한부상으로사망했다.
갈루아는결투가벌어지기전날밤죽음을직감한듯친구오귀스트슈발리에게그동안연구한수학이론을간략히편지에담아보내며,자신에게는남은시간이얼마없으니정리의참과거짓보다는중요성에대한평가를야코비와가우스에게부탁한다는말을남겼다.그가생전에내놓은세편의논문은11년후인1843년《수학저널(JounalofMathemastigues)》의편집인리우빌에의해세상에소개되었고1870년조르당이《대입론과대수방정식론》에서그이론을완전하게정리하였다.이후클라인과리가갈루아의군론을기하학에응용하여기하,대칭과군론이서로불가피하게관련되어있다는사실이드러나게되었고,갈루아의이론은수학의전분야에서기존의관점을뒤엎는많은연구를생산해내게되었다.
갈루아가정립한군론이지니는통합적힘이너무도강력했기때문에19세기말이되자군론의포괄영역이곧순수수학의경계를넘을것임이분명해졌다.특히물리학자들이군론에주목하기시작하였고아인슈타인은일반상대성이론에군론을이용하면서앞으로군론이자연을기술하는강력한언어가될것임을보여주었다.1970년부터는갈루아이론을중심으로수학의각분야를통합하려는시도인랭글랜즈프로그램이진행되고있다.
▼물리학에서의응용
현대의수학자들과물리학자들에게필수불가결한도구이자심오한아름다움을가진‘대칭’은바로갈루아의군이론에서나온대수학의개념이다.대칭이라는개념은높은추상성과광범위한응용범위를가지는,상당히흥미로운탐구주제이다.
대칭을기술하는군론이오늘날가장빛을발하는분야는현대물리학이다.일상의상식을뛰어넘는초미시영역을다루는현대물리학은수학적예측에의해연구되며,특히근본단위에서자연은대칭으로규정된다.물질의가장깊숙한구조를조사하고미시적거리와찰나의시간을탐구하는현대물리학의연구들은대칭이어떻게이세계를결정하는물리적과정을지배하는지직접우리눈앞에증거를펼쳐보이고있다.
오늘날물리학의과제는자연에존재하는네가지힘을더근본적인하나의힘또는대칭체계로설명하는것이다.이러한접근은힘을하나로통합한다는뜻에서통일장이론이라불린다.20세기의물리학자들은갈루아가창안한군론을이용해세힘인약력,전자기력,강력을통합했고그것이오늘날의표준모형이다.군론은이론의뼈대를이루는게이지불변과더불어표준모형의살을이룬다.군론은입자들의상호작용을규정하는매개입자들을그성질에따라몇개의집합으로고르고묶어내는데사용된다.표준이론에서유력한통일장이론의후보인M이론에이르기까지대칭과군론에대한이해없이는더이상최신물리학의성과를이해할수없게되었다.
▼이책의특징
갈루아이론은수학과양자물리학에흥미를느끼는독자들이보다심도있는독서를이어나가고자할때꼭알아야할내용이지만,이론을이해하는데먼저짚고넘어가야할정리와개념의양이많고또어려워흥미만으로쉽게다가갈수없었다.갈루아이론을다룬교양서는증명이충실히적혀있지않아갈루아이론의전모를파악하기에부족했고,전공도서의경우독자가선형대수의기본사항을알고있다고간주하여많은정리의증명을건너뛰는경우가많아,수학전공자가아닌독자는쉽게좌절할수밖에없었다.
이책은독자가고등학교수준의수학적지식만을갖추었다고가정하고,그밖의내용은처음접한다는생각으로갈루아이론의증명에이르는과정을처음부터끝까지친절하게설명한다.등장하는모든정리에증명과정을해설해두었기때문에선형대수학을모르는독자여도다른책을참고하지않고마지막까지읽을수있다.수학책가운데는초보자에게는어려울수있는문제도연습문제의형태로남겨두고넘어가는책이많으나,이책에등장하는'문제'에는그아래곧바로해설이이어진다.책상앞에서펜을들어문제를풀지않더라도언제어디서나편하게책을읽는데무리가없도록독자를배려했다.
《갈루아이론의정상을딛다》는그동안승산이출간한일곱권의대칭시리즈가다뤘던내용에수학적이해를보다견고히보강하기위해출간되었다.갈루아이론을다루는흥미로운교양서적과보다전문적인전공교재사이에서이책이훌륭한징검다리역할을해줄것이라기대한다.