푸리에 해석과 응용

19세기 초 푸리에(J. Fourier)가 고체 중의 열전도 문제를 해석하기 위해 제안한 이론에서 시작된 푸리에 해석은 오늘날 푸리에 급수, 푸리에 변환, 그리고 라플라스 변환까지 발전하였다. 푸리에 해석을 이용하면 복잡한 주기함수나 비주기 함수를 간편하게 기술하고 해석하는 것이 가능하므로 푸리에 해석은 물리학과 공학의 많은 분야에서 필수적인 수학적 도구가 되고 있다. 이 책은 수학으로서의 엄밀성을 중요하게 여기면서도 다양한 문제에의 응용을 염두에 두고 가능한 한 구체적인 예를 풍부하게 제시함으로써 학생들이 푸리에 및 라플라스 해석을 깊이 있게 이해하는 것을 목표로 하고 있다. 이 책을 읽기 위한 예비 지식으로는 대학 1, 2학년 수준의 미분방정식과 복소함수론에 대한 기초지식이 있으면 충분하다.
이 책은 총 네 개의 장으로 구성되어 있다. 처음 세 개의 장은 기초적이고 표준적인 이론을 제공하고 마지막 장에서는 다양한 응용을 다룬다. 제1장에서는 삼각함수와 복소 지수함수에 대한 기초적인 사항을 소개하고, 삼각함수를 이용한 푸리에 급수의 도입, 급수의 수렴성, 함수의 연속성 및 불연속성에 대하여 설명한다. 또한 깁스 현상과 같은 불연속점에서의 푸리에 급수의 성질을 논할 것이다. 제1장의 마지막 절에서는 앞서 배운 이론을 보충하고 푸리에 급수에 대한 개념을 확립할 수 있도록 18가지 주제를 엄선하여 상세한 해설을 제시한다.
제2장에서는 제1장에서 배운 주기함수의 푸리에 급수를 무한 구간의 함수로 확장하는 과정에서 정의된 푸리에 변환을 소개한다. 다양한 형태의 함수를 푸리에 변환하는 방법을 연습하며, 특히 디랙 델타함수, 물리에서 나타나는 주요 적분의 계산, 파동함수의 규격화, 그리고 합성곱에 대하여 배운다. 또한 푸리에 변환을 이용한 미분방정식의 해법을 배우고, 응용으로서 파동방정식과 확산방정식의 해법에 대하여 알아본다.
제3장에서는 푸리에 해석의 발전이라고 할 수 있는 라플라스 변환에 대하여 학습한다. 기본 함수의 라플라스 변환과 합성곱을 배울 것이다. 푸리에 변환과는 달리 라플라스 변환의 경우, 그 역변환은 특별한 조건을 만족하여야 하는데 이를 위해 복소공간에서의 브롬위치 적분에 대하여 자세히 소개하고 있다.
마지막으로 제4장에서는 지금까지 학습한 푸리에 급수, 푸리에 변환, 라플라스 변환의 응용에 대해 다루고자 한다. 이 장은 푸리에 해석과 관련한 세상의 많은 책들과 구별하기 위하여 저자들이 가장 역점을 두고 집필하였으며 본서의 가장 많은 분량을 차지하는 부분이기도 하다. 고전역학, 양자역학, 전자기학, 응집물질물리학 분야를 중심으로 푸리에 해석이 사용된 다양한 예를 소개하고 있으므로 이 장을 잘 학습하면 이공계에서 접하는 대부분의 문제를 여기서 만날 수 있을 것이다.