1. 수학에 대한 오해와 선입견을 말끔히 씻어주는 책!
우리는 흔히 수학이라는 말만 들어도, 어렵다, 재미없다, 왜 배우는지 모르겠다 등 머리를 절레절레 흔든다. 더하기 빼기, 곱하기 나누기만 하면 사는 데 아무 지장도 없는데 왜 그리 어렵고 이상한 부호들로 가득한 이상한 학문을 배워야 하는가?
하지만 이 책을 읽어보면 우리의 생각이 얼마나 잘못되었는지 금방 알 수 있다. 이 책은 흔히 생각하는 그런 ‘수학책’이 아니다. 이 책 어디에서도 수학 공식이나 복잡한 연습 문제는 발견할 수 없다. 애초에 수학 문제 풀기 요령을 가르쳐주려는 목적으로 집필한 책이 아니기 때문이다.
그 대신 수학이 전에 생각했던 것과는 전혀 다르다는 사실을 알게 될 것이다. 그리고 수학이, 보통은 자신의 모습을 살짝 감춘 채로, 우리 일상생활의 거의 모든 측면에서 매우 중요한 역할을 수행하고 있다는 사실을 확실히 깨닫게 될 것이다.
지은이는 머리말에서 이 책을 읽어야 할 사람에 대해 이렇게 얘기한다.
●만일 누군가 수학이란 우리의 일상과 무관하다고 생각한다면, 이 책이야말로 그런 사람을 위한 책이다.
●만일 누군가 수학이란 단지 숫자에 대한 학문이라고 생각한다면, 이 책이야말로 그런 사람을 위한 책이다.
●만일 누군가 수학이란 이미 몇 세기 전에 다 끝난 얘기라고 생각한다면, 이 책이야말로 그런 사람을 위한 책이다.
●만일 누군가 우리의 일상생활에 호기심을 갖고 있다면, 이를테면 스포츠, 오락, 미술, 음악, 도박, 여러 종류의 직업, 컴퓨터, 동물의 세계, 바닷속 탐험, 사랑과 결혼 등, 그러니까 간단히 말해 태양 아래 우리 세상에서 벌어지고 있는 모든 일과 거기에 태양 너머에서 벌어지는 모든 일까지 모두 궁금하다면, 이 책이야말로 그런 사람을 위한 책이다.
우리는 흔히 수학을 단지 셈이나 하는 학문이라고 생각한다. 그러나 그것은 수학의 극히 일부분에 지나지 않는다. 수학은 질서에 관한, 패턴과 구조에 관한, 그리고 논리적인 관계에 관한 학문이다. 즉, 우리가 살고 있는 세상에 관한 것이며, 우리의 사유에 관한 것이다. 그리고 흔히 얘기하는 것처럼 지루하고 흥미 없기는커녕 온갖 유형의 창조성으로 가득 차 있다.
2. 일상에서 보는 모든 사물, 현상 등 그 배후에 수학이 도사리고 있다
왜 호랑이 몸통은 줄무늬인데 표범은 얼룩무늬일까? 우주는 둥근가, 네모난가, 아니면 다른 어떤 모양인가? 올록볼록한 표면 덕분에 골프공이 하늘에 더 오래 떠있을 수 있는 이유는 무엇인가? 이른바 대중의 정서라는 것은 존재하는가? 만일 존재한다면, 우리는 그런 대중의 의향을 정확히 어떻게 파악할 수 있는가?
인간 정신의 도구들 가운데 우리를 둘러싼 세상에서 제기되는 이런 수많은 질문들에 답할 수 있는 힘과 재주를 갖춘 유일무이한 분야가 바로 수학이다. 수학은 단지 고리타분한 방정식과 증명들의 저장소가 아니라 생기 있고 창조적으로 세상을 사유하고 이해하는 방법을 다루는 학문이다. 세상에서 가장 어두운 대양의 심해에서부터 희미한 빛을 가냘프게 발산하는 저 멀리 은하의 세계에 이르기까지, 피겨 스케이팅 선수들의 공기역학적인 도약 기술에서부터 4차원 세계의 그림자들에 이르기까지, 수학은 이 세상과 그것의 작동 원리를 탐구할 수 있게 해주는 가장 강력한 도구이다.
이 상쾌한 지적 세계의 여행을 통해 해양학자 돈 라이트와 함께 심해의 화산들을 탐험하게 될 것이고, <블레이드 러너>를 비롯해 수많은 영화의 특수 효과를 창조해온 더그 트럼블과 함께 블록버스터 영화의 화려한 영상 세계로 들어가게 될 것이며, 미생물학자 실비아 슈펭글러와 함께 바이러스의 괴상한 생존 방식을 들여다보게 될 것이다. 천문학자 로버트 커쉬너가 구부러진 우주의 모양을 어떻게 설명하는지, 생물학자 라바바라는 보여주는 육중한 티라노사우루스의 걸음걸이 모습은 어떠한지도 흥미롭다. 뇌 연구가 브래드 하트필드와 함께 막 방아쇠를 당기려고 하는 올림픽 사격선수의 마음속 세상을 살짝 구경하고, 컴퓨터 과학자 패티 매스와 함께 ‘입는 컴퓨터’와 ‘실리콘 집사’들의 미래 세계도 여행할 수 있다. 그리고 ‘컴퓨터 식물학자’ 프르제미슬로 프루진키에비츠와 함께 컴퓨터 세상에서 생명을 얻어 활짝 피어난 라일락꽃을 감상할 수도 있다.
또 비행기는 수학을 이용해 날고 항로를 찾는다. 병원은 수학을 이용해 설계한 장비들로 가득 차 있다. 그리고 약은 수학을 이용해 검증된다. 수학은 전화 시스템의 배후에 놓여 있으며, 텔레비전과 라디오, 그리고 시디플레이어의 한 구석에도 숨어 있다. 수학은 사람들이 가게에서 어떤 물건을 살지 판단하는 데도 사용되며 어떤 텔레비전 프로그램을 볼지 결정하는 데도 사용된다. 또 다른 수학의 산물인 컴퓨터는 어디에나 존재하며 우리 삶의 많은 부분에 커다란 영향을 미친다. 영화는 흔히 수학적 기법을 이용해 제작된다. 수학은 스포츠와 여가 활동에서도 점차 커다란 역할을 수행하고 있다. 우리는 상상력이 만들어낸 참신한 아이디어와 통찰을 수학을 통해 받아들일 수 있고, 그것을 다른 사람과 공유할 수 있다.
3. 과학으로도 해결할 수 없는 것을 수학이 해결할 수 있다
1960년대의 어느 날 영국의 옥스퍼드 대학의 수학자였던 머레이는 어린 딸에게 이야기책을 읽어주고 있었다. 그 이야기의 제목은 루드야드 키플링(Rudyard Kipling)의 ‘표범의 얼룩무늬는 어떻게 생겨났을까’였다. 그런데 그 이유가 정말 궁금했던 딸아이가 물었다. “표범의 얼룩무늬는 진짜 어떻게 생겨난 거예요?” 머레이는 그 이유를 알지 못했고, 최고의 생물학자를 여럿 알고 있었으므로 곧 알아오겠노라고 약속했다. 그는 학교에서 생물학자들을 만나 물어보았다. 그렇지만 놀랍게도 그의 질문에 시원하게 답을 내놓는 사람이 아무도 없었다. 그가 만난 생물학자들은 동물 가죽의 알록달록한 천연색이 멜라닌이라는 화학물질 때문이며, 멜라닌은 피부 바로 밑에 있는 세포에서 생성된다는 사실을 알고 있었다. 그렇지만 왜 얼룩무늬인가? 과학도 그 문제를 속 시원히 설명하지 못했다.
그 뒤 미국 시애틀의 워싱턴 대학으로 자리를 옮긴 머레이는 드디어 동물의 피부가 멜라닌을 생성하는 과정에 관한 수학적 모델을 개발했다. 이른바 반응/확산계(reaction-diffusion system)에서 그 답을 찾은 것이다.
이렇듯, 화학이 그 답을 주지 못했던 표범의 얼룩무늬에 대한 답을 수학이 줄 수 있었다.
4. 만물의 ‘뼈대’로서의 수학
우리가 수학책을 펼쳤을 때, 가장 당혹스러운 것은 온통 이상한 기호들로 가득 차 있다는 것이다. 수학이 우리 일상과 밀접하다면 왜 알 수 없는 기호들을 쓰는가? 그것은 수학자들이 연구하는 패턴이 추상적인 패턴이기 때문이다.
수학자가 다루는 추상적인 패턴은, 이를테면 세상 만물의 ‘뼈대’라고 할 수 있다. 수학자는 세상의 한 측면, 예를 들어 바이러스나 꽃이나 포커 게임을 보고 그것들이 갖는 특징을 끄집어낸 다음 나머지 구체적인 내용은 모두 버리고 바로 그 추상적인 뼈대만을 남겨놓는다. 바이러스의 경우, 남는 추상적인 패턴은 매듭의 패턴, 다시 말해 DNA 분자가 감겨 있는 방식이 될 것이다. 꽃의 경우에는 대칭의 패턴이 될 것이고, 포커 게임의 경우에는 카드의 분배나 돈 거는 패턴이 될 수 있을 것이다.
그런 추상적인 패턴을 연구하려면 마찬가지로 추상적인 표기법을 사용해야 한다. 그런 점에서 음악은 훌륭한 비유가 된다. 음악가는 음의 패턴을 기술하기 위해 추상적인 표기법을 사용한다. 그것은 음악을 들을 때 마음속에 생겨나는 매우 추상적인 패턴을 종이 위에 기술하고자 하기 때문이다. 동일한 가락을 피아노, 오보에, 플루트 등 여러 악기로 연주할 수 있다. 각각의 악기는 서로 다른 소리를 내지만 가락은 동일하다. 특정한 가락을 결정하고 그 가락을 다른 가락과 구분할 수 있게 해주는 것은 사용하는 악기가 아니라 바로 그 악기가 연주하는 악보의 패턴이다. 음악가가 음악 특유의 표기법을 사용해 종이 위에 옮겨놓은 것은 그런 추상적인 패턴이며 특정한 악기가 들려주는 특정한 소리가 아니다. 추상적인 패턴을 끄집어내기 위해선 음악가도 수학자처럼 추상적인 표기법이 필요한 것이다.
수학자가 수학적인 기호로 가득 찬 종이를 들여다볼 때, 그가 실제로 ‘보고’ 있는 것은 그 기호가 아니다. 그들은 수학의 기호들을 ‘통해’ 그 기호들이 나타내는 패턴을 직접 읽어낸다.
5. 수학은 눈에 보이지 않는 것을 볼 수 있게 해준다
손에 들고 있던 물체를 놓으면 어떻게 되는가? 밑으로 떨어진다. 그렇다면 왜 그런가? 답은 중력 때문이다. 그러나 ‘중력’이라는 것은 단지 그 원인에 붙인 이름일 뿐이다. 이름만으로는 진정한 원인을 이해하는 데 별로 도움이 되지 않는다. 게다가 그 원인은 눈에 보이지도 않는다. 정확한 답은 17세기 뉴턴의 운동에 관한 방정식이다. 뉴턴의 수학은 눈에 보이지 않는 힘을 ‘볼’ 수 있게 해주었다. 지구가 태양 주위를 계속 돌 수 있고 사과가 땅으로 떨어지는 것도 그 힘 때문이다.
또한 18세기 초, 다니엘 베르누이가 발견한 방정식은 비행기를 공중에 뜨게 만드는 보이지 않는 힘을 ‘보게’ 해주었다. 우주선이 지구의 사진을 찍어오기 2,000년 전 그리스의 수학자 에라토스테네스는 수학을 이용해 지구가 둥글다는 사실을 보여주었다.
우리는 보이지 않는 것을 보기 위해 수학을 이용한다. 우주의 기원과 우주의 가장 먼 곳에서부터 바다의 밑바닥에 이르기까지, 우연적 사건의 패턴에서부터 인간 정신의 내면 작용에 이르기까지, 모두가 수학이 없었다면 이해할 수 없는 세계다.
6. 왜 수학적 연구가 필요한가
매듭의 패턴을 연구하고, 꽃을 수학적으로 기술하는 것이 무슨 의미가 있는가? 그 답을 지은이는 이렇게 말한다.
“세계에 대한 이해를 통해 인간으로서 만족을 얻게 된다는 것도 한 가지 이유이지만, 특정 분야에 대한 과학적 이해가 언제 요긴하게 쓰일지 아무도 모른다는 점 역시 간과해서는 안 된다. 19세기 초에 처음으로 매듭 패
