천재들의 수학 노트

박부성

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<b>박부성</b>
서울대수학교육과를졸업하고수학과대학원에서석사학위를받았다.박사과정수료후현재박사학위논문을준비중이다.그는수학을좋아하는수학도기도하지만,또수학에대하여이야기하기를좋아하는수학이야기꾼이기도하다.그동안국내에많은교양수학책이나왔으나,그는이런책들에서흔히볼수없는기발하고신기한수학이야기들덕분에자신과전공이다른팀의단골회식손님이되기도하였다.자타가공인하는국내최고의수학퍼즐전문가로《재미있는영재들의수학퍼즐》,《재미있는영재들의수학퍼즐2》를펴내어퍼즐이단순한심심풀이차원을넘어심오한수학적의미를갖고있음을보여주기도하였다.

제1장괴짜수학자에어디시
정수론문제라고했소?/스스로음수를인식한아이/새로운방법으로증명한베르트랑의공준/신의책에서가져온증명/공동연구와에어디시수/역사적인경기와루스-아론수/램지이론/현상금/콘웨이의1만달러짜리수열/에어디시의은어/바르샤바에서떠나다
*암산의바보-쿠머

제2장인도의신비라마누잔
아름다움이야말로등식이참이라는증거/마드라스의천재/신이보여준정리/1729/아름다운정리/라마누잔의노트/라마누잔의죽음
*암산의천재1-가우스

제3장수학지상주의자하디
리만가설을증명하다/수학순결주의자/하디-바인베르크의법칙/거울혐오증/소련은하디를싫어해
*암산의천재2-콜번

제4장미치광이천재카르다노
수학자,의사,점성술사,도박사/타르탈리아/《아르스마그나》/복소수/죽음의예언/5차방정식과아벨
*암산의천재3-다제

제5장불꽃같은영혼갈루아
나는시간이없다/첫번째낙방/두번째낙방/스테파니D/결투전날밤/갈루아의부활
*암산의천재4-비더

제6장해석학의화신오일러
수학적설교의힘/디드로선생,신은존재합니다/수학의사이클롭스/죽는다
*암산의천재5-에이트켄

제7장괴팅겐의거장힐베르트
힐베르트공간/얼빠진수학자/답은존재한다/무한호텔/신은자연수를만드셨다/이것은수학이아니라신학이다/에미뇌터/힐베르트의23개문제/힐베르트의열번째문제/유클리드기하와비유클리드기하
*암산의천재6-클라인

제8장수학의마왕괴델
‘왜요도령’의정리/러셀의역설/완전성정리/불완전성정리/선택공리/연속체가설/프린스턴생활
*암산의천재7-폰노이먼

제9장컴퓨터의아버지튜링
난공불락에니그마/중심극한정리/컴퓨터의조상,튜링기계/사람과기계두뇌를구별하는방법/암호해독전쟁과블레츨리파크/최초의생각하는기계,콜로서스/애플컴퓨터로고에담긴뜻
*암산의천재8-파인먼

◐수학의유희에빠진수학의명인들
《천재들의수학노트》는수학사에커다란발자취를남긴수학자들중에서도독특한일생을산에어디시,라마누잔,하디,카르다노,갈루아,오일러,힐베르트,괴델,튜링등아홉명의수학자와그들과관련된수학부분에대해살펴본책이다.
“만물의근원은수”라고한피타고라스의후예들은수를통해세계를이해하고그이치를밝히고자노력했다.때로는화두에몰두하는선승의모습으로,때로는창조작업으로고통스러워하는예술가의모습으로,때로는세상의근본과원리를찾는철학자의모습으로선택받은자혹은선택한자로서형벌을감수하듯자신의삶을걸고수의세계에도전한사람들의일생은남다를수밖에없다.
저자는이러한수학자들의이야기를풍부한자료조사를바탕으로그들과관련된일화와수학연구중심으로가능한한수식을배제하면서쉽고도흥미진진하게풀어내고있다.
그리고각장의끄트머리에는보통사람들은상상도못할정도로암산에뛰어난능력을보인수학자들과그들의암산방법,그리고형편없이계산을못한수학자의얘기가실려있다.
이책을통해천재들의운명에대해다시한번생각해볼수있는기회를얻게될것이며,수학자들이전생을걸고매달릴만큼매혹적인수학의세계를발견하고,수학자와수학에대해좀더친밀감을가질수있게될것이다.

◐수학으로세상의진리를증명한아홉명의천재들
제1장괴짜수학자에어디시
“수학자란커피를정리로바꾸는장치다.”-에어디시
괴짜중괴짜로유명한수학자폴에어디시(1913-1996)은네살때처음음수(陰數)를인식한천재로서고등학생시절그유명한‘베르트랑의공준’을초등적인방법으로증명한정수론의대가다.유태인으로태어나정치적탄압을피해미국으로이전하였으며,평생독신으로살면서모든일상적인생활을동료수학자들에게신세지면서도전세계의대학을전전하며연구에몰두했던그가남긴공동연구논문은무려1500편에달한다.
이처럼에어디시가수학사에서유래를찾아보기힘들정도로많은논문을발표한것에서수학자들은에어디시와다른학자들과의그물망같은연결관계를나타내는‘에어디시수’를만들기도했다.에어디시자신을0이라고할때그와공동논문을쓴수학자는에어디시수1이되고,에어디시수1인사람이다른수학자와연구를하게되면에어디시수2가되는식이다.이것을영화계에서응용한‘베이컨수’도유명하다.
에어디시는많은문제를멋진방법으로풀어수학계를풍성하게하였으나현상금문제를끊임없이만들어내는재주를지니기도하였다.그많은현상금을어떻게지불할것인지에대해선걱정할필요가없었다.에어디시의문제를풀었다는영광때문에수학자들은웬만해선그의서명이담긴수표를현금으로바꾸는대신두고두고보관했다고하니.

제2장인도의신비라마누잔
“신의생각을드러내지않는식은저에게아무런의미가없습니다.”-라마누잔
33년의짧은생애동안독자적인수학세계를보여주었던스리니바사라마누잔(1887-1920)은영국으로건너가연분수와정수론분야에큰공을세운수학자다.영국의대수학자하디가자신의가장큰업적이무엇인지물었을때“바로라마누잔을발견한것”이라고대답했을만큼라마누잔은걸출한수학자였다.
지독한무신론자인하디에게발탁된라마누잔은‘나마기리’여신이꿈속에서수식을보여주었다고말할만큼신비로운수학세계를보여주었다.그의독창적인연구결과가담긴‘라마누잔의노트’에담긴이론들은아직도증명해내기는커녕해독조차할수없는것도많다.

제3장수학지상주의자하디
“나는어떤‘유용한’것도결코하지않았다.나의어떤발견도세상의쾌적함에직접적이든간접적이든,좋은쪽이든나쁜쪽이든최소한의차이도만들지않았으며앞으로도그럴것이다.”-하디
수학이란실용성과는상관없이음악이나미술과같이그자체로아름다운존재가치를갖는학문이라고여겨지기도하는데,그극단의위치에있는사람이바로하디였다.그는“진정한수학은전쟁에어떠한영향도미치지않는다.어느누구도정수론이나상대성이론에서전쟁목적에이용될수있는것을발견하지못했으며,앞으로도오랫동안그런발견을할사람이있을것같지않다”고말한수학순결주의자였다.
준수한외모의그는거울혐오증을지닌반나르시시즘의장본인이었으며,일광욕광인데다가크리켓광이었으며광적인무신론자기도했다.하디는천재적인수학적능력뿐만아니라타고난재치와문장력을갖춘예술가였다.

미치광이천재카르다노
“카르다노에게그런과오가없었다면그에게필적할자누가있겠는가.”-라이프니츠
《아르스마그나》라는책을출간하여3차방정식의대수적해법을공표한수학자로알려져있는지롤라모카르다노(1501-1576)는수학사에서가장기묘한인물로손꼽힌다.본업은의사였으며지독한도박사에점성술사의이력까지지닌사람이다.카르다노를이야기할때빼놓을수없는것은이탈리아의수학자타르탈리아와관련된표절문제다.3차방정식의해법을풀었던타르탈리아에게절대해법을공개하지않겠다는맹세를하고서해법을얻었으나카르다노는또다른수학자델페로의노트에담긴해법을참고하여3차방정식은물론4차방정식의해법까지도공개한것이다.결국타르탈리아의수학인생은몰락했으며배신감속에죽음을맞이하고말았다.그러나카르다노의말년또한행복하진못했다.아내를잃고사랑하는아들이처형을당하는상황을견뎌야했다.그는점령술사로서자신의죽는날을예언하기도했다.

불꽃같은영혼갈루아
“운명은이나라가나를기억하게할만한시간을내게허락하지않았다.”-갈루아
현대물리학과양자론의이론적토대를제공한군群이론을처음으로고안하고,그것을방정식으로해법에적용한‘갈루아이론’으로유명한에바리스트갈루아(1811-1832)는그야말로비운속에요절한천재의전형이다.그는자신의수학적재능을알아보지못한시험관들때문에대학에서두번이나떨어지고,군주정에대항하여공화당원으로활동하다가두차례나감옥생활을할수밖에없었으며,스테파니D라는여인을사랑하여결투를하던중칼에맞아21년의짧은생애를마감한수학자였다.갈루아의전설을가장극적으로만들어주는일화는결투전날밤그가남긴편지때문이다.친구에게보낸그편지에자신이발표했던논문을수정하고보완하는내용을전하면서“이증명에서는완성해야할부분들이남아있으나,나는시간이없다”라는문장을덧붙여그절박함을전했다.

해석학의화신오일러
“오일러는마치사람이호흡하는것처럼,독수리가하늘을나는것처럼,별다른노력없이계산을하였다.”-프랑수아아라고
18세기최고의수학자라할수있는레온하르트오일러(1707-1783)는뉴턴과라이프니츠가발명한미적분학을고도로발전시킨사람이며역학,대수학,기하학에도큰업적을남겼다.그가만들어낸셀수없을만큼많은정리와이론으로인해수학자들사이에서“절반은오일러의이름이붙었어야할것이다”라는농담이나돌정도였다.
평생500편이상의저서와논문을출판하였던그는지나친연구열때문에두눈의시력을상실한뒤에도“이제야(양쪽시력이같아져서)좀덜혼란스럽겠군”하는농담과함께더왕성한연구를지속했다.100개의소수와그것의제곱부터여섯제곱수까지모두외워계산했으며로그표까지몽땅외울만큼엄청난기억력과암산력을보유한암산의천재기도했다.

괴팅겐의거장힐베르트
“우리는알아야하며,알게될것이다.”-힐베르트
독일괴팅겐대학교를명실상부한세계수학의메카로이끌었던다비트힐베르트(1862-1943)는대수적정수론과기하학기초론또는적분방정식론등에크게기여한만능수학자며,아인슈타인과교류하는동시에독립적으로상대성이론을유도해낸위대한인물이다.그러나실생활에서는허술한면이많아파티를열기위해옷을갈아입다가잠자리에들만큼얼빠진행동을연출하기도했다.
힐베르트의무한수에관한비구성적인증명에대해“이것은수학이아니라신학이다”라고말한수학자는다시“신학도나름대로쓸모가있음을알았다”고견해를수정했다.힐베르트는대수학의어머니라고불리는에미뇌터가성차별때문에교수에임용되지못하자“여기는대학이지공중목욕탕이아니지않은가!”라고분개하였던의식있는학자였다.

수학의마왕괴델
“괴델은인간이성에서한계라는것의역할을명백히보여주었다.”-오펜하이머
철학적인관점에서수리논리학을연구하여수학뿐아니라철학에까지영향을미친쿠르트괴델(1906-1978)은에디슨처럼어렸을때부터질문이많아‘왜요도령’이라는별명이붙었던수학자다.그의3대업적으로꼽을수있는‘완전성정리’,‘불완전성정리’,‘연속체가설의무모순성’은일반적으로학자들이별다른의심없이사용하는참/거짓의개념이무엇인지를정의한,수학적진리의본질적의미를탐구한것이다.
“아리스토텔레스이후의가장뛰어난논리학자”라는찬사까지받은괴델은나치의박해를피해미국으로망명을하고프린스턴고등연구소에서활발한연구활동을펼쳤으나신경쇠약과강박증에시달리다가결국정신병원에서영양실조로사망하게된다.그가미국시민권을취득하기위해심사를받는자리에서“미국이독재국가가되는합법적인방법을알고있다”고말함으로써그의강박증이얼마나심각했는지를보여주는일화가있다.

제9장컴퓨터의아버지튜링
“우리는눈앞가까운곳만을볼수있을뿐이지만,거기에는이루어져야할많은것들이있다.”-튜링제2차세계대전당시독일의암호체계인‘에니그마’를해독하는데공헌하였으며‘튜링기계’라는상상의기계를통해오늘날컴퓨터의원리를제공한앨런튜링(1912-1954)은유난히비사교적인학자였다.22세에통계학의기본이되는정리를만들어냈으며암호해독과정에서‘콜로서스’라는최초의컴퓨터를개발한가장창의적인수학자중한사람이었다.
그는꽃가루를조심해야한다며방독면을쓰고자전거를타고다니는가하면동료들이자신의개인컵을쓰는데분개하여총기를난사하기까지한특이한면모를많이보여주었다.동성애자였던그는호르몬치료를받는과정에서심각한부작용증상에시달리다가자살을하고만다.비록불명예스런죽음을맞긴하였으나그가죽은뒤미국전산학회에서는전산학의노벨상이라고할수있는‘튜링상’을제정하여그에대한존경을보여주었다.

♧본문소개

편지를읽어내려가면서하디는점점당혹스러워하기시작했다.처음에는그저이해할수없는괴상한공식들이라고만생각했는데공식들마다심오한의미를내포하고있을뿐아니라증명하기가대단히까다로운것임을깨달았기때문이다.결국하디는동료수학자이며그의학문적파트너였던리틀우드에게도움을청해라마누잔의편지를진지하고세심하게연구하였다.그러고는자신들과전혀차원이다른엄청난재능을가진라마누잔이라는존재를인정하지않을수없었다.하디는이점을다음과같은말로표현하였다.
“(라마누잔의)정리들은참임에틀림없다.왜냐하면만약이것들이참이아니라면이런것을생각해낼사람이없을것이므로.”(p.55-56)

하디가병원에입원해있던라마누잔의문병을갔을때일이다.농담삼아하디는자기가타고왔던택시의번호인1729가별특징이없는재미없는수라고하였다.아마이수가불길한수13을포한한두수의곱인1729=13*133으로나타나는데대한걱정을담은말이었을것이다.그런데하디의말을듣자마자라마누잔이대답했다.
“아닙니다.그것은재미있는수입니다.1729=13+123=93+103처럼두세제곱수의합으로나타내는방법이둘이상인가장작은수니까요.”(p.60)

수학과학생들끼리흔히하는농담가운데하나가“갈루아가결투에서죽지않았다면어떻게되었을까”하는것이다.만약갈루아가장수하여계속수학을연구하였더라면오늘날우리가배워야할내용은(거짓말좀보태서)아마지금의두배정도는되지않았을까.숙제와시험에시달리는학생들입장에서는“그넘그때안죽었으면내가죽였다”라는말이나올만도하다.