200년이넘는역사를지닌복소함수론에관한책을쓰기시작하면서가장어려웠던점은“무엇을,어떻게,왜”등으로요약되는“5W1H”의절반을차지하는질문에대한대답이었습니다.45년이넘는세월동안이분야가저자의마음속큰자리를차지했던“극진히사랑해온”분야이기때문이었을것이라는핑계를스스로에게대면서,마음에드는대답을찾지못한채로우선제1권을마무리했습니다.(벌써제2권의주요내용이길모롱이너머에아른거리지만그얘기는잠시미루겠습니다.)제1권의내용은아홉장(章,chapter)으로구성하였습니다.첫장에서는복소수와가장기본이되는성질과개념을다루는데에서출발하여,바로복소함수론의중심연구대상이되는복소해석함수개념을소개하였습니다.열린집합위의점각각에서
복소미분가능한함수를말하는것인데,전통적으로이함수는영어권에서완전함을뜻하는integralfunction,그리스어에뿌리를둔용어holomorphicfunction등의이름으로불렸던개념입니다.우리말로는‘완전함수’가어울릴듯도한데,이에해당하는영문용어‘entirefunction’이오랫동안,복소평면전체에정의되고모든점각각에서복소미분가능한함수의정의로고정되었기에그용어를피해야했습니다.그래서저자는공집합이아닌열린집합위에정의된복소미분가능함수에“온함수”라는이름을붙였습니다.이용어가널리받아들여지기를바랍니다.그리스어‘holo’는완전하다는뜻을가진접두어이기에이온함수라는이름이적절해보이거든요.1850년경코시(A.-L.Cauchy)의논문을받아든리만(B.Riemann)은상기된표정으로괴팅엔대학의동료들에게“새로운수학이열리고있다!”라는말을남기고도서관으로사라졌다고합니다.지금은코시·리만방정식으로알려진위대한개념도그시기에만들어졌을것입니다.1장에서는이런내용을주로다루면서여러온함수의예를소개하고,오일러(L.Euler)의뛰어난착상을통해우리에게알려진복소지수함수를소개하는선에서마무리하였습니다.함수론을소개하려면함수의정의구역과치역에대한범위를정해야합니다.물론이들은복소평면의열린부분집합(openset)이되는편이좋을것같습니다.온함수의정의때문입니다.그런데열린집합에대해토의하려면부득이위상수학(Topology)을인용해야합니다.그런만큼복소함수론은소위닫혀있는이론(self-contained)이아닌것이지요.이책에서는이처럼다른분야의지식을인용할필요가생길때마다,“마실”을다녀옵니다.여기뿐아니라이책의여러곳에서이런‘마실’을보시게될것입니다.제2장에서는온함수의선적분이론을소개합니다.온함수는실변수함수로서미분가능한함수이므로그자신이연속함수여서선적분이자연스럽게정의됩니다.그러나이론전개에중심역할을담당하는코시소멸정리를증명하기위해서벡터미적분학의방법론을쓰려는시도는자연스러운생각이지만바로
난관에봉착합니다.온함수는실변수함수로서미분가능하지만,그의편도함수들이연속함수인지는당장알수없기때문입니다.역사적으로이를해결한것은구르사(Goursat)의정리이지만,우리는그린(Green)정리의정신을이용하여코시소멸정리를증명하고,그결과로온함수의미분이연속함수임을얻어내었습니다.물론이증명방법이구르사의방법론을원용하였기에아주새롭다고할수는없겠으나,나름대로새로운맛과관점을제공한다고봅니다.
계속해서코시적분공식-복소함수론의기초토대를이루는중요한정리-을얻어내고,이로부터온함수가얼마든지여러번미분가능함을증명하고또,온함수가소적으로,고르게절대수
렴하는(convergesabsolutelyanduniformly)멱급수임을증명합니다.이마지막결과는코시의원래이론전개에서온함수의정의로주어졌기에“멱급수로분해가능한함수”라는의미에서온함수에complexanalyticfunction(fonctionanalytiquecomplexe)즉,복소해석함수라는이름이붙게하였습니다.지금까지설명결과를통해제3장은온함수에대한여섯가지
설명,또는온함수에대한여섯가지논리적으로서로동등한정의를제공하면서출발합니다.이와같이한가지의개념이여섯가지모습으로정의되는개념은흔하지않으며,그렇기에많은학생들이온함수이론,즉복소함수론을어려워합니다.학생시절의저자도이런점을잘이해하지못하여이분야공부에많은어려움을겪었습니다.그러나조금시간이흐른후온함수에대한공부를다시시작할때에는,이렇게여섯가지모습의정의가주어진다는점이여섯개나되는무기를가지고전투를시작하는것과비길만하기에,실제로엄청나게유리하다는점을깨달았고,점점오히려이분야와사랑에빠지게되었습니다.복소온함수의성질중인수분해정리,영점에관한정리,유일확장성정리등등...아름다운정리들이이여섯개의동등한정의로부터쏟아지는장관이펼쳐졌기때문입니다.그러나수학연구자는순수이론전개의아름다움을추구하는것만으로만족하지아니합니다.온함수의실수부와허수부를이루는조화함수는여러과학과공학에엄청난파급효과를가지는데,정전기역학,유체역학,열역학등의이론모형수립에큰공헌을합니다.이들이론전개에온함수이론이중요한역할을하는것도당연합니다.이런내용은구체적으로다루지않지만참고문헌을소개하고,응용이라는면에서매우중요한복소로그함수를소개하면서제3장이마무리됩니다.제4장에서는코시적분공식의첫번째응용으로온함수의코시계측(Cauchyestimates)을얻고,이로부터리우빌
(Liouville)의유명한정리,즉“유계완전함수는상수함수이다.”를얻고이를바탕으로“1차이상의복소다항방정식은반드시근을가진다.”라는대수학의기본정리를얻게됩니다.코시적분공식이평균성에관한정리임을이용하여온함수의최대절대값정리도얻어내며,코시적분공식을이용하여특별한선적분의계산을불가능해보이는계산을,간단히(!)얻어내는기적(!)같은면을보여주기도합니다.또한온함수가유클리드길이를보존하지는않지만미분계수가0이아닌점에서는각과방향성을보존하는특이한성질-등각사상성질-을가지는것도보여주며제4장이마무리됩니다.
제5장은고립된특이점을다룹니다.사라지는(=없앨수있는)특이점,깃대특이점(=극점특이점),심각한(essential)특이점등,서로다른종류의특이점에대한기본정리를먼저다루고,이들특이점을중심으호하는이론,즉로랑(Laurent)의이론과전개식,그리고로랑나머지및로랑나머지정리등과,극점특이점의경우로랑나머지를구하는공식을소개합니다.이로부터적분계산에서중요한역할을하는부분분수정리(Partialfractiontheorem)의깨끗한증명도얻어냅니다.
그리고,응용으로과학및공학의여러분야에서자주쓰이는특수한실수적분과이상적분의값을계산하는절묘한연산방법을소개합니다.이부분은이미알려진유명한예제의계산을
유형별로소개하여계산능력을키울수있도록구성하였습니다.복소로그함수logz(사실은다중함수)의허수부는진수z의편각argz입니다.argz가다중함수임을이용하여온함수
와버금함수(meromorphicfunction)의0점과극점에관한이론을전개하는것이제6장이론전개의핵심입니다.이로부터온함수의역함수를표현하는공식을얻고,온함수의0점에관한루셰의정리도얻으며,온함수의치역에관한열린함수정리,단사온함수열의극한함수의단사성여부에관한후르비츠정리등을모두얻어냅니다.
제7,8장에서는복소영역위에정의되고실수값을가지는조화함수를다루었습니다.이런함수는국소적으로온함수의실수부를이루기때문에평균성원리,최대값정리,유일확장성정리등여러성질을가지는점을설명하였습니다.특히원반영역위에서는포아송적분공식정리가성립하므로이를상세히설명하여조화함수에대한이해를높이려하였습니다.이부분이론의중심은조화함수의응용에거의가장중요한위치를차지하는디리클레(Dirichlet)문제-유계복소영역의경계위에정의된실수값을가지는연속함수가주어지면,이함수와경계에서일치하는조화함수를영역의내부에구성하여영역의닫힘집합(closure)위에서전체적으로연속함수가되게하라는문제-로삼았습니다.원반영역의디리클레문제는포아송적분공식정리를사용하여증명한슈바르츠(H.A.Schwarz)의정리이며,이를시작으로하르나크(Harnack)이론을뼈대로삼고,버금조화봉우리함수를이용한페론(O.Perron)의방법론을비교적자세히설명하여디리클레문제의해결을소개함으로써8장의이론전개를마무리하였습니다.
제9장에서는역사적인가치가높고수학적으로도큰의미가있는리만함수정리-복소평면전체가아닌진부분집합인복소영역이단순연결되어있다면이는단위원반과온함수동형이라
는정리-를소개하고증명하였습니다.1851년리만의괴팅엔대학교강연에서언급되었던이정리의논증은수학자들이받아들이기어려운채로오랜세월이흘렀습니다.
1912년카라테오도리(Carathéodory)의명쾌하고도정확한증명이발표된이후지금까지복소함수론책에표준증명으로수록된이증명은그러나,리만의원래착상과는전혀다른논증입니다.리만의원래착상은부대조건을추가한형태로다루어지기는했지만,2017년에와서야로버트그린(RobertE.Greene)과김강태(이책의저자)의논문이리만의원래착상을
정확한논증으로재생해냈고,그결과가최근에널리알려지기시작하였으므로이책에서는로버트그린ꠑ김강태의증명을보다개선하고이를상세히소개하였습니다.이논증은리만의아이디어를따라조화함수의디리클레문제해결을중심착상으로사용하면서이책전체의지식을아우르는장점을보여주므로,저자는이정도가이책“복소함수론I”을마무리하기에좋은시점이라고생각하였습니다.
복소함수론의세계는광대하고심오합니다.이책에수록된정도의내용으로는,300쪽을넘겼음에도복소함수론의서론정도에불과하거든요.하지만그렇기에,이책의제목을“복소함수론I”로정한이유가설명되기도합니다.당연한일이겠지만,다음책-제게는좀더흥미로운내용을포함하게될-복소함수론II가길모롱이에서저자에게유혹의손짓을보내고있기도하고요.후속저술에포함될내용에관해서는이책의꼬리부분에서잠깐설명하려합니다.
이책에서는참고문헌이필요하다고생각될때마다각주를이용하여인용하였으므로따로참고문헌목록을작성하지않았고,찾아보기부분보다는상세한차례가더도움이될것이라고
생각하여책마지막부분에찾아보기페이지대신,상세한차례를붙였습니다.두개의차례는비슷해보이지만같지않습니다.끝에보다상세한차례를다시붙인것이고의이고실수가아닌이유는,주요개념을찾는열쇠가상세한차례에들어있기때문입니다.그리고책전체에서일관되게사용한기호가몇개있기에그것을정리하여이글바로다음에실었습니다.
