양자 컴퓨터 원리와 수학적 기초 (스핀부터 큐비트, 얽힘, 중첩, 양자 알고리즘, 양자 암호화)

크리스베른하트

ChrisBernhardt
페어필드대학교수학과교수로『Turing’sVision:TheBirthofComputerScience』(MITPress,2016)의저자다.

1장.스핀
__양자시계
__동일방향으로반복측정
__서로다른방향으로반복측정
__측정
__무작위성
__광자와편광
__결론

2장.선형대수학
__복소수대실수
__벡터
__벡터의다이어그램
__벡터의길이
__실수배(혹은스칼라곱셈)
__벡터덧셈
__직교벡터
__브라에켓곱하기
__브라켓과길이
__브라켓과직교
__정규직교기저
__기저벡터들의선형조합으로서의벡터
__순서기저
__벡터의길이
__행렬
__행렬계산
__직교행렬과유니타리행렬
__선형대수학도구상자

3장.스핀과큐비트
__확률
__양자스핀을위한수학
__동치상태벡터
__특정스핀방향의기저
__608만큼장치회전
__광자편광을위한수학모델
__특정편광방향의기저
__편광필터실험
__큐비트
__앨리스,밥,이브
__확률진폭과간섭
__앨리스,밥,이브그리고BB84프로토콜

4장.얽힘
__앨리스와밥의큐비트가서로얽혀있지않은경우
__큐비트가얽히지않은경우
__큐비트가얽혀있는경우
__초광속통신
__텐서곱의표준기저
__큐비트를얽는방법
__CNOT게이트를사용해큐비트얽기
__얽힌양자시계

5장.벨의부등식
__다른기저로얽힌큐비트측정
__아인슈타인과국소적실재론
__아인슈타인과숨은변수
__얽힘에대한고전물리학적설명
__벨의부등식
__양자역학의답
__고전적모델의답
__측정
__양자키배포를위한에커트프로토콜

6장.고전적논리,게이트,회로
__논리
__부울대수
__함수완전성
__게이트
__회로
__NAND는범용게이트다
__게이트와컴퓨팅
__메모리
__가역컴퓨팅
__당구공컴퓨팅

7장.양자게이트와양자회로
__큐비트
__CNOT게이트
__양자게이트
__1개의큐비트에대해서동작하는양자게이트
__아마다르게이트
__범용양자게이트가존재하는가?
__복제불가정리
__양자컴퓨팅대고전적컴퓨팅
__벨회로
__초고밀도코딩
__양자순간이동
__오류정정

8장.양자알고리즘
__복잡도클래스P와NP
__양자알고리즘은고전적알고리즘보다빠른가?
__쿼리복잡도
__도이치알고리즘
__하다마드행렬의크로네커곱
__도이치-조사알고리즘
__사이먼의알고리즘
__복잡도클래스
__양자알고리즘

9장.양자컴퓨팅의영향력
__쇼어알고리즘과암호해석
__그로버의알고리즘과데이터검색
__화학및시뮬레이션
__하드웨어
__양자우위와평행우주
__컴퓨팅

★이책의대상독자★

이책의목적은고등학생수준의수학에익숙한독자에게양자컴퓨팅을소개하는것이다.특히큐비트,얽힘,양자순간이동,주요양자알고리즘을공부하며각개념을모호하게아는데그치지않고명확하게이해하는것을목표로한다.

★이책의구성★

1장.스핀
고전적인컴퓨팅의기본단위는비트다.비트는2개의상태중에서하나의상태를가질수있는것이라면무엇으로든표현될수있다.가장흔한예가on또는off상태일수있는전기스위치다.양자컴퓨팅의기본단위는‘큐비트’다.큐비트는전자의스핀또는광자의편광으로표현될수있다.하지만스핀과편광의성질은on또는off상태일수있는스위치만큼우리에게친숙하지않다.
우리는원자의자기적성질을연구했던오토슈테른(OttoStern)과발터게를라흐(WaltherGerlach)의실험을시작으로스핀의기본특성을알아볼것이다.다양한방향에서스핀을측정할때무슨일이일어나는지살펴보고,측정행위가큐비트의상태에영향을줄수있음을배운다.측정에는본질적인무작위성이관련돼있음도설명할것이다.그리고편광필터와빛을사용해전자스핀실험과유사한실험을할수있음을보여주면서1장을마무리한다.

2장.선형대수학
양자컴퓨팅은선형대수학이라고부르는수학을바탕으로한다.다행히그가운데몇개의개념만알아도된다.독자에게필요한선형대수학을소개하고,이책에서어떻게사용할것인지예제를통해보여준다.
벡터와행렬을소개한뒤벡터의길이를계산하는방법,2개의벡터가서로수직인지여부를판단하는방법을선보인다.처음에는벡터의기초연산만고려하지만,행렬을사용함으로써다수의벡터연산을동시에계산할수있는단순한방법을보여줄것이다.
2장의내용을처음배울때는선형대수학공부가얼마나쓸모있을지느끼기어려울수있다.하지만선형대수학은정말로유용하다.양자컴퓨팅의토대를형성하기때문이다.3장이후의내용은2장에서소개한수학을사용하므로2장을주의깊게읽어둬야한다.

3장.스핀과큐비트
1장과2장의내용이어떻게연결되는지3장에서볼수있다.스핀또는편광의수학적모형이선형대수학으로주어질것이다.우리는이를통해서큐비트를정의하고,큐비트를측정할때무슨일이일어나는지설명할수있다.
다양한방향에서큐비트를측정하는예제가제시된다.그런다음BB84프로토콜이라는양자암호화에대한소개로3장을마무리한다.

4장.얽힘
2개의큐비트가서로얽힌다는것의의미가무엇인지설명한다.얽힘은말로설명하기어렵지만수학적으로는쉽게표현할수있다.또한새로운수학개념인텐서곱을소개한다.텐서곱은개별큐비트의수학적모형을결합해큐비트의집합을기술하는1개의모형을제공하기위한가장단순한방법이다.
얽힘은수학적으로간단히나타낼수는있지만우리가일상생활에서경험할수없는현상이다.서로얽힌큐비트중하나를측정하면,다른큐비트가영향을받는다.이것은과학자아인슈타인이“도깨비같은원격작용”이라고불렀던현상이다.이에관한몇가지예제를살펴볼것이다.얽힘을사용해빛보다빠른속도의통신을구현할수는없음을보여주는것으로4장을마무리한다.

5장.벨의부등식
얽힘에관한아인슈타인의관심을살펴보고,숨은변수이론이국소적실재론을지킬수있을지알아본다.벨의부등식을수학적으로검토하는데,이식을사용하면아인슈타인주장의정당성을실험적으로판단할수있다.훗날아인슈타인의주장은틀린것으로드러났다.하지만벨조차도아인슈타인이옳다고증명될것이라생각했었다.
아르투르에커트(ArturEkert)는벨의부등식을검증하는실험이암호화를위한키생성및도청자확인용도로쓰일수있음을알았다.이암호화프로토콜에관한설명으로5장을마무리한다.

6장.고전적논리,게이트,회로
우선컴퓨팅의기본주제인비트,게이트,논리를설명하고,가역적컴퓨팅과에드프레드킨(EdFredkin)의아이디어를간단히살펴볼것이다.또,프레드킨게이트와토폴리게이트가범용게이트임을증명한다.다시말해프레드킨게이트(혹은토폴리게이트)만을사용해서완전한컴퓨터를제작할수있다.끝으로,프레드킨의당구공컴퓨터를소개한다.당구공컴퓨터는이책의주제와직접관련되지는않지만,매우독창적인개념이기에이책에포함했다.
당구공컴퓨터는벽에부딪히고서로충돌하는공으로구성된다.상호작용하는입자들의이미지를떠올리면된다.또한리처드파인만이양자컴퓨터에흥미를갖게만든개념중하나이기도하다.파인만은당구공컴퓨터에관한초기논문을작성했다.

7장.양자게이트와양자회로
양자회로를사용해양자컴퓨팅을알아보는것으로시작한다.먼저,양자게이트를정의한다.그리고양자게이트가큐비트에어떻게작용하는지살펴보고,사실은양자게이트의개념을이미사용해왔음을알게된다.단지관점의차이일뿐이다.직교행렬이측정장치가아니라큐비트에대해작용한다고생각하는것이다.초고밀도코딩,양자순간이동,복제,에러정정에관한놀라운결과들을증명한다.

8장.양자알고리즘
아마도가장어려운장일것이다.몇개의양자알고리즘을살펴보고이알고리즘들이고전적알고리즘에비해얼마나빨리계산할수있는지보여준다.알고리즘의속도를논의하기위해서는복잡도이론의개념을소개할필요가있다.먼저쿼리복잡도(querycomplexity)를정의한뒤,3개의양자알고리즘을소개하고이알고리즘들이쿼리복잡도의관점에서고전적알고리즘보다얼마나빠른지보여준다.
양자알고리즘은해결하고자하는문제의근본에존재하는구조를파고든다.단순히양자병렬성,즉입력값들을모든가능한상태들의중첩으로만들수있음을이용하는것이아니다.이책에서소개하는수학적도구들의마지막으로행렬의크로네커곱을소개한다.8장의내용이어려운것은새로운수학적도구가도입되기때문이아니라,우리가완전히새로운방법으로계산하고있으며이런새로운개념을사용해문제를푼경험이없다는사실때문이다.

9장.양자컴퓨팅의영향력
마지막장인9장은양자컴퓨팅이우리의삶에미칠영향을살펴본다.먼저피터쇼어(PeterShor)와로브그로버(LovGrover)가고안한2개의중요한알고리즘을간단히설명한다.각각의알고리즘소개를끝낸뒤,양자컴퓨팅이양자적프로세스를시뮬레이션하는데어떻게사용될수있는지알아본다.화학의근본바탕은양자역학이다.고전적인전산화학은양자역학방정식을고전적컴퓨터를사용해시뮬레이션하고있지만,시뮬레이션은근삿값일뿐이며세부사항이무시되곤했다.대체로근삿값만으로충분하지만,어떤경우에는세부사항이고려돼야하는데,이때양자컴퓨터가해결책을제시할수있다.
9장은실제양자컴퓨터의제작에관해서도간단히소개한다.이분야는매우빠르게발전하고있다.이미시중에판매중인기계도있다.또,모든사람이사용할수있도록클라우드에서서비스되는것도있다.우리는조만간양자우위(quantumsupremacy)의시대에접어들가능성이높다.
마지막으로양자컴퓨팅이새로운유형의컴퓨팅이아니며컴퓨팅의진정한본질에대한발견이라는깨달음으로이책을마무리한다.

★옮긴이의말★

수학에관한기본적인배경지식을갖춘독자를대상으로양자컴퓨터의기본원리를설명하는이론서입니다.양자컴퓨터의바탕이되는양자역학은얽힘,중첩등의개념을포함합니다.상식적으로는받아들이기쉽지않은개념이며단어로나타내면정확히이해하기어렵습니다.그래서수학적표현이필수입니다.이책은이런개념들의수학적모델을가급적단순화해서제시하는데집중합니다.이를위해저자가복소수표현을배제하고선형대수학의기초개념을설명하는등많은노력을기울입니다만,그럼에도고등학생수준의수학지식은필수입니다.
1장은양자컴퓨팅의기본단위인큐비트를소개합니다.큐비트는흔히전자스핀으로표현되므로,스핀을다양한방향에서측정할때무슨일이일어나는지보여주는실험예제를통해큐비트의성질을설명합니다.이어지는2장은이책을공부하는데필요한선형대수학의핵심개념을이야기합니다.특히벡터와행렬계산방법을소개합니다.3장에서는2장에서배운선형대수학을사용해1장에서배운전자스핀의수학적모델을제시하고,이를통해큐비트를정의합니다.
4장과5장은얽힘에관해다룹니다.우선4장에서는텐서곱의개념을소개함으로써큐비트의집합을하나의모델로기술하는방법을설명합니다.5장은벨의부등식을이야기합니다.얽힘을‘도깨비같은원격작용’이라고부르면서반대했던아인슈타인의주장의정당성을실험적으로판단할수있는식입니다.결국아인슈타인이틀린것으로결론이나고있지만,부등식을고안한벨조차도아인슈타인의시각과접근법을옹호했으며저자도이에동의하고있습니다.
6장과7장은본격적으로컴퓨터와관련된용어가나오기시작합니다.6장에서는고전적컴퓨터의비트,게이트,논리에관해설명하고가역적컴퓨팅과범용게이트의개념을소개합니다.7장에서는이개념들의양자컴퓨터버전을설명하고,큐비트가양자게이트를통과하면어떻게바뀌는지보여줍니다.
8장은몇가지양자알고리즘을소개하고,고전적알고리즘보다얼마나속도가향상되는지설명합니다.마지막으로9장은그로버의검색알고리즘과쇼어의소인수분해알고리즘을간단히소개하고,양자컴퓨터가양자역학프로세스를정밀하게시뮬레이션하는데이미사용되고있음을보여줍니다.
이책은프로그래머를위한책이아닙니다.양자컴퓨터의주요원리를수학적기반위에서이해하고자하는독자가양자컴퓨터에입문하기에적절한책입니다.대학원생수준의책을읽기전에거쳐갈만한책이라고생각해도좋을것같습니다.