원리로 배우는 수학 : 수의 원리편

원리로 배우는 수학 : 수의 원리편

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Description
수학의 기본을 원리로 배운다
수학은 학교에서 배우는 그 어떤 과목보다도 논리가 바탕이 되는 과목이다. 따라서 기본 원리를 확실히 익히는 것이 무엇보다 중요하다.
그런데 ‘수’학의 기본은 ‘수’이다. 도형과 함께 수는 수학의 주요 탐구 대상이다. 1, 2, 3, 4, … 이렇게 단순히 이어지는 것처럼 보이는 수에도 사실은 여러 종류가 있다. 실수와 허수, 유리수와 무리수, 정수와 소수(小數) 등이 바로 그것이다. 뿐만이 아니다. 앞서 말한 것 이외에도 ‘1과 자신으로만 나누어지는 소수(素數), 지수, 로그(log), 원주율 π, √(근호), 연분수 등 특별한 수와 그에 관련된 다양한 개념도 수학의 중요한 부분을 차지한다.
《원리로 배우는 수학(수의 원리편)》은 수를 주제로 이루어지는 수학의 세계를 기초부터 응용에 이르기까지 원리를 바탕으로 탐구하는 책이다. 책은 총 7개의 장으로 나누어져 있다.
제1장에서는 소수(素數)를 다룬다. 소수의 정의와 발견법, 소수의 개수, 기묘한 특성을 가진 소수와 함께, 소수가 현대 사회에서 ‘암호’라는 중요한 역할을 하는 것까지도 모두 살펴본다.
제2장부터 제4장까지는 √(근호)와 무리수, 지수와 로그, 허수에 대해 알아본다. 유리수와 무리수, 원주율 π 및 지수와 로그의 법칙 등 중고등학교 수학에서 배우는 핵심 내용을 원리적인 측면에서 상세히 설명함으로써, 앞으로 만나게 될 다양한 응용 상황에도 자신 있게 대할 수 있도록 구성했다. 허수에서는 그 정의와 활용은 물론, 허수가 양자 역학과 함께 현대 문명의 한 축을 떠받치고 있는 사례까지도 소개한다.
제5장~7장에서는 수에 관한 더욱 깊은 응용의 사례를 소개한다. 무한히 계속되는 수, ‘세계에서 가장 아름다운 식’이라고 불리는 오일러의 등식, π와 허수 단위 i와 삼각 함수의 관계 등, 수학의 오묘한 원리를 새삼 깨달을 수 있는 사례에 대해 알아본다. 아울러 수식으로 표현되는 다양한 곡선과 그것들이 우리의 실생활에서 이용되는 현장도 함께 제시해, 수학이 우리의 생활과 동떨어진 것이 아님을 다시 확인시켜 준다.
수의 다양한 특성과 응용 사례를 소개하는 이 책이 독자들의 친근한 벗이자 충실한 안내자가 되기를 바라마지 않는다.

저자

아이뉴턴편집부

지은이:아이뉴턴편집부
  

목차

제1장소수(素數)의원리
소수란무엇인가?/소수를발견하는방법①~②/소수매미/소수의개수/기묘한소수/소수의식①~②/쌍둥이소수/짝수와소수/소수정리/소수와암호

제2장√와무리수의원리
√2/유리수①~②/무리수/제곱근의필산/제곱근의실용사례/원주율π

제3장로그의원리
지수란무엇인가?/지수의폭발력/우리주변의지수/로그란무엇인가?/지수와로그의관계/우리주변의로그/지수법칙/로그법칙①~③/상용로그표①~②

제4장허수의원리
실수의파탄/허수의탄생/허수단위@i의탄생/복소수와가우스평면①~②/4차원시공과허수/양자역학과허수/우주의탄생과허수

제5장무한히계속되는수의원리
무한히계속되는직육면체의높이/무한의덧셈/무한과π/연분수①~②/무한다중근호/제타의세계①~②

제6장세계에서가장아름다운‘오일러의식’의원리
오일러의식을감상하자/π와i와e/삼각함수/테일러전개①~②/허수제곱이란?/오일러의두식의관계

제7장수식이만드는아름다운곡선의원리
분수가그리는포물선/천체궤도와원뿔곡선①~②/가우디건축과현수선/차바퀴가그리는사이클로이드/자연계에나타나는로그나선/고속도로의클로소이드/진자가그리는리사주곡선

출판사 서평

소수(素數)의발견방법·소수의개수·기묘한소수·소수를만드는식·쌍둥이소수·짝수와소수·소수정리·소수와현대의암호의원리
소수란2,3,5,7처럼‘2이상의정수가운데1과자신으로만나누어지는수’를말한다.흔한수처럼보이지만,소수의성질에대해서는아직모든것이밝혀지지않았다.소수는과연얼마나존재할까?그리고어떤출현패턴을가지고있을까?다양한수수께끼를가진소수의원리에대해알아본다.
한편소수는금융시스템등현대사회를떠받치는여러분야에서반드시필요한암호설정수단으로도이용된다.소수가어떤원리로암호로이용되는지에대해서도설명한다.

√2·유리수와무리수·제곱근의필산·제곱근의실용·원주율π의원리
1,2,3등의정수,그리고분모와분자가정수인분수로나타낼수있는수를통틀어‘유리수’라고한다.한편정수인분수로나타낼수없고,소수점이하의숫자가순환하지않고무한히계속되는수를‘무리수’라고한다.유명한무리수에는1.4142…로계속되는√2나3.1415…로계속되는원주율π등이있다.
0.33333……은왜1/3인가?√2같은무리수의의미는무엇인가?유리수와함께,무리수의소수점이하로계속되는숫자가만들어내는불가사의한세계를살펴본다.

지수와로그·생활주변의지수와로그·지수법칙·로그법칙·상용로그등
우리의일상생활과산업에서는예금의이자계산등‘같은수를되풀이해곱셈하는일’이많이생긴다.그런데5의12제곱,2의29제곱같은계산을손으로하는일은시간도걸리고대단히번거롭다.‘곱하는수를되풀이하는횟수’를의미하는로그(log)는이처럼복잡하고성가신계산을쉽게하기위한수단으로개발되었다.로그는전자계산기가없던시대에자연과학을발달시키는주춧돌이되었다.
한편로그와‘앞뒤의관계’에있는것이지수이다.복잡한계산을간단한계산으로바꾸어주는지수와로그의계산법칙등이나오게된원리를살펴본다.

허수와허수단위i의탄생·복소수와가우스평면·4차원시공과허수·양자역학과허수·우주탄생과허수등
우리가흔히다루는수는모두가제곱하면양수가된다.그러나수학이나물리학의세계에는제곱하면음수가되는수가있다.‘허수’이다.
허수가탄생함으로써수의세계는크게넓어졌다.나아가‘상대성이론’과함께물리학의양대이론이라고불리는‘양자론’의기초가되는수식이탄생했으며,이를통해우주가탄생한순간의모습을설명할수도있게되었다.
현대인이사용하는컴퓨터,휴대전화를비롯해전자를활용하는각종전자제품역시허수의도움을받는양자역학없이는존재할수없다.기묘한허수의성질과,허수가가져다준자연과학의발전상황을살펴본다.

무한과π·연분수·무한다중근호·오일러의등식·삼각함수·수식이만드는곡선등
규칙적으로무한하게숫자가이어지는수식이있다.규칙성을가진분수가무한히더해지는수식,분모속에같은분수가차곡차곡쌓여있는수식,√속에같은√가무한히놓여있는수식등이다.
또수학에서독특한위치를차지하는‘네이피어수e’‘허수단위i’‘원주율π’가하나의형태로통합되고,거기에1을더하면0이되는‘오일러의등식’도있다.
한편수학은아름다운곡선을만들어내는원천이기도하다.포물선,원뿔곡선,현수선,사이클로이드,로그나선,클로소이드,리사주곡선의모습과수식,그곡선들이나오는원리를알아본다.


협력자명단

*이소다마사미?田正美/일본쓰쿠바(筑波)대학교육개발국제협력연구센터장·교수,교육학박사
*우에노겐지上野健爾/일본욧카이치(四日市)대학세키다카카즈(關孝和)수학연구소소장,교토대학명예교수,이학박사
*기무라슌이치木村俊一/일본히로시마대학대학원이학연구과교수,Ph.D.
*구로카와노부시게黑川信重/일본도쿄공업대학명예교수,이학박사
*요시무라진吉村仁/일본시즈오카(靜岡)대학창조과학기술대학원교수,Ph.D.
*와다스미오和田純夫/전일본도쿄대학전임강사,세이케이(成蹊)대학비상근강사,이학박사


뉴턴하이라이트시리즈의다른책들

(1)상대성이론(개정신판으로대체/30참조)

(2)양자론(개정신판으로대체/43참조)
상대성이론과함께현대물리학의쌍벽을이루는양자론의해설입문서.원자이하의극미의세계에서원자와전자,빛등이어떻게운동하는지를명쾌하게풀이한다.

(3)인체-21세기해부학
인체각장기의놀라운능력,우리몸을만드는200종의세포,인체의재생기술등,인체에관한최첨단정보와과학기술의성과를정밀일러스트레이션으로확인한다.

(4)75은하68항성
허블우주망원경과스피처·찬드라망원경으로들여다본광대한우주의모습.컴퓨터시뮬레이션으로완성한우주영상등은하와항성의최신사진과설명으로은하여행을떠난다.

(5)시간이란무엇인가?
‘시간은왜미래로흐르는가?’‘과거로의여행은가능한가?’‘즐거울때는왜시간이빨리지나가는가?’‘시간과상대성이론’등시간의물리학·생물학·심리학적속성을분석한다.

(6)0과무한의과학
0과무한의개념,그리고절대온도,광자(光子),초전도,초유동(超流動),블랙홀과상대성이론등,0과무한없이는존재할수없는다양한과학기술의원리와응용사례를분석한다.

(7)뇌와마음의구조
인간의희로애락의감정을만들어내는뇌의메커니즘을밝힌다.뇌의구조와뉴런의역할,뇌의진화역사,첨단뇌과학연구의현장과미래의모습을조명한다.

(8)성(性)을결정하는X와Y
신장과골격,생식기관,수명,근력,면역력은물론,뇌의활동패턴까지도다른‘남자’와‘여자’.그들의몸과마음의비밀을염색체의차이로파헤친다.

(9)태양계의모든것(개정신판으로대체/28참조)

(10)인체를지배하는메커니즘
유전자가말하는‘삶과죽음의시나리오’,인체를움직이는혈관과혈액의역할,각종건강정보와차세대질병치료법등,인체의작동메커니즘을첨단과학으로점검한다.

(11)주기율표
오묘한비밀에싸인자연계도사실은놀랄만큼단순한메커니즘으로이루어져있다.주기율표의구성원리와111개원소의속성을철저하게입체분석해화학의비밀을정복한다!

(12)공룡의시대
육식공룡34종,거대초식공룡100종에대한철저분석과정교한일러스트레이션,그리고공룡의모양,피부색,습성,행동양식등의학술적연구성과소개등,공룡의모든것을이책한권에담았다!

(13)물의사이언스
물은바다를만들고,생명을길러왔다.물의다양한성질,물과생명의관계,생명의고향인바다의신비,바다의환경과첨단테크놀로지를새로운관점에서탐구한다.

(14)몸과질병
우리몸속의각장기의모습과기능,그들의부조화로생기는질병과치료의메커니즘을분석한다.또몸이말하는건강함과질병의신호,과학기술로전개되는미래의학도소개한다.

(15)생명이란무엇인가?
생명체는38억년전에어떻게태어나,어떻게진화해서오늘날에이르렀을까?생명의장구한변천과정과살아가는메커니즘을생생한시각자료와전문가의해설로파악한다.

(16)날씨와기상
비와눈은왜내리고바람은왜부는가?동북아시아의기상은무엇으로결정되는가?기상관측은어떻게이루어지는가?우리생활과밀접한날씨와기상의모든것을풍부한시각자료로설명한다.

(17)이온과원소
전류의흐름,뇌의자극전달,음식물의소화등,이온은우리의삶에깊이관여하고있다.이온의기본과화학반응의구조,이온의최첨단연구,그리고화학의또다른바탕인원소의기원을집중탐구한다.

(18)우주의형상과역사
빅뱅부터현재까지,우주는어떻게변해왔을까?137억년의오랜세월동안우주에서어떤사건이어떻게일어났는지를최신정보를바탕으로분석한다.최신이론과관측데이터를바탕으로한‘우주의형상’도소개한다.

(19)별자리와우주
우리가보는밤하늘의주인공은우리은하의별과별자리와태양계의천체들이다.별과우주의여러가지속성,계절별·월별별자리,태양계행성등을신화와과학이라는렌즈를통해깊숙이들여다본다.

(20)블랙홀화이트홀
빛까지도삼키는블랙홀,무엇이든토해내는화이트홀.상대성이론이예언한천체들이다.그리고몇광년떨어진공간과공간을일순간에연결하는웜홀까지….상식으로는납득되지않는우주의세계를기초부터첨단연구내용까지완전정리한다.

(21)빛이란무엇인가?
빛은외부를인식하는수단이자21세기첨단과학기술의꽃이다.빛의성질과색깔,빛의정체는물론레이저,광섬유,그리고‘자전거보다느린빛’까지……,빛의기본과최첨단연구상황을총정리한다.

(22)생명의만능소재
아미노산은단백질의재료이다.그리고단백질은뼈나근육으로몸을만들고,혈액속에서산소를운반하며,항체로세균을공격한다.생명의만능소재구실을하는아미노산과단백질은과연어떻게이루어져있으며,어떻게작용하는가?

(23)생활주변의과학
현대인은수많은과학정보에둘러싸여살고있다.‘설탕은살찌게한다,카페인은피로를풀어준다,벼락은금속에잘떨어진다,원적외선은음식을맛있게한다…등등.’이러한말들은과연사실일까?흥미가아닌원리를중심으로,우리주변의과학을탐구한다.

(24)우주는무(無)에서태어났다.
137억년전,우주는‘무(無)’의흔들림가운데서태어나인플레이션과빅뱅을거쳐,물질과생명을만드는데필요한수많은조건을갖추어오늘날에이르렀다.장쾌한드라마의처음과끝,그리고미래를탐구한다.

(25)신비한수학의세계
우리의생활과자연계의움직임은수학의지배를받고있다.주변에서흔히이야기되는황금비와프랙털,20세기최고의성과로꼽히는상대성이론의확인,우주의크기계산,생각의허를찌르는확률과통계……등등.난해한수식없이,두뇌를활성화시키는‘신비한수학의세계’가여기있다!

(26)지구온난화
‘바다의섬들이수면아래로잠기고,태풍같은자연재해가빈발한다.’눈에자주띄는언론의보도처럼지구온난화문제는이제‘발등의불’이되었다.지구온난화의원인·영향·대책은무엇인가?전세계에서보고된최신데이터를중심으로철저하게검증한다.

(27)태양계의모든것(개정신판)
태양계는지구와인류의뿌리이자우주탐사의1차목표이다.지금도세계각국의탐사선들은ㅤㅌㅒㅤ양계의행성과소천체들을계속해서관측하고있다.탐사선이보내온최신사진과데이터를통해태양계의모든것을낱낱이파악한다.

(28)다윈진화론
생물은엄청난오랜세월동안실로다이내믹하게변해왔다.지구상에서연출되는‘진화’라는장대한드라마의주인공인현재생물의진화의역사와그메커니즘,현대진화학의경향을철저히규명한다.

(29)상대성이론
시간이느리게흐르고,공간이줄어들며,빛과공간이휘어지는불가사의한현상은왜일어나며그것은어떤의미를갖고있는지를해설한,현대물리학의최고이론을이해한다.

(30)차원이란무엇인가?
아인슈타인은우주가3차원의공간에시간을더한‘4차원시공’이라고했다.현대의과학자들은우주에‘제5의차원’이있다고주장한다.실증되면코페르니쿠스의지동설에필적할만한충격이될최신이론을차원의기초와함께해설한다!

(31)허수란무엇인가?
허수(虛數)는제곱하면마이너스가되는,‘실제로는존재하지않는수’이다.그러나