왜수학공부를재구성해야하는가?
수능수학은대입수험생들에게최고의난관이다.상위등급을좌우하는소위‘킬러문제들’의경우엄청난난이도를자랑하며,변별을위해복잡하게꼬아놓은이문제들을풀지못하는한수능고득점은사실상불가능하다.
현재수능수학의가장큰문제는그것이학생의수학적‘창의력’즉수학적감각이나발상이얼마나좋은지를측정하는시험이아니라,얼마나많은시간을공부했는가,얼마나많은문제를풀어봤는가를묻는시험,즉‘숙련’을체크하는시험이라는점이다.국내의한수학자가세계수학자대회에참가한수학자들에게수능수학30번문제를풀어보게했더니,하나같이“창의성보다는기술적인힘만요하는문제”라고입을모았다.
그결과가해마다수능에서반복되고있는재수생의우위다.하나라도더많은문제를풀어본학생이유리할수밖에없는시험에서,내신과학종을병행해야하는재학생보다수능문제풀이만훈련한재수생이우세를보이는것은어쩌면당연하다.선행학습을막기위해고31학기가되도록진도가끝나지않는현재의수업일정도여기에한몫한다.
게다가많은학생들이초중등때부터온갖사교육을통해너무많은수학공부에시달린나머지,정작킬러문제들이주로출제되는미적분을배우기도전에‘수포자’가돼버리고만다.수능과직접관련이없는지엽적인공부로너무진을빼기때문이다.
이책은이러한상황인식에서출발해,수능에효과적으로대처할수있는새로운공부계획과방법을제안한다.서울변두리의중하위권학생들을다년간가르치며‘수포자전문강사’라는별명을얻은저자는말한다.“우리아이들은너무잡다한것을너무오래배우고있다.빠르게핵심만공부하자.”
재구성의방향
현재수능수학의키워드가‘숙련’이라면,최고의수능대책은최대한빨리학교수학을끝낸후수능이라는본게임에하루라도빨리들어가숙련도를높이는것이다.수능이전의기본수학을빠르게정리하려면어떻게해야할까?
방법의골자는중고등수학6년을통째로하나로놓고수능이라는목표에맞춰교과과정을재설계하는것이다.구체적으로는,중2때까지지금의중1~고1수학을모두마치고,중3(늦어도고1)때까지미적분을끝내는것을목표로한다.이를위한공부의주된원칙은중복되거나중요하지않은부분은과감히건너뛰고,꼭필요한것만선별해서연관된영역들을한꺼번에배우는것이다.
중학수학과고교수학이라는시대에뒤진인위적인커리큘럼구분을더이상절대시할이유가없다.먼저중학수학을끝내고나서야고교수학을할수있는것이아니다.학교수학의또다른문제는초중등에서는별것아닌내용으로오래시간을끄는데비해,고등학교에가서는새로운내용인데도진도가무척빠르다는점이다.하지만시그마,지수로그,수열등은초등학생에게가르쳐도전혀지장이없는매우쉬운개념들이다.상대적으로여유가있는중학교때고교수학의기본을빠르게잡고,늦어도고2부터는실전문제풀이를반복숙련하는것이수능을대비하는가장현실적인방법이다.
수능이요구하는‘숙련’의경지에이르려면하루라도빨리수능이라는링에오르는것이최선이다.중학교때부터수능에초점을맞춘개인맞춤형공부계획을세우고,수능출제범위와경향에맞춰효율적으로공부방법과스케줄을조정한다면자신이목표한바를효과적으로이룰수있을것이다.
저자가교육현장에서학생들을가르치며실제로검증한이통합·압축선행의구체적방법들중몇가지를소개하면다음과같다.
재구성의방법
1)전개와인수분해,방정식과부등식을한꺼번에풀자:중학교에들어와학생들은다양한문자연산을배운다.그중하이라이트는단연‘이차방정식’이다.하지만이차방정식까지도달하는과정은길고지루하다.중2때식의‘전개’를배우고,중3때이를거꾸로진행하는‘인수분해’를배운다음에야,식을0과등치시키고해를구하는‘이차방정식’을배운다.이렇게쓸데없이세분해서3~4년씩과잉훈련할필요가없다.수학을자꾸세분하면오히려전체적인윤곽을파악하지못하게된다.
저자는이모든것을한꺼번에공부할것을권한다.가령,바로이차방정식문제를놓고이를인수분해하는법을가르친후,이것을다시전개해서전자가나옴을보인다.이과정에서전개를익힐수있고,전개와인수분해의관계를확인할수있다.인수분해로바로해결되는이차방정식의기본연산이어느정도숙달되면,이후‘근의공식’등으로차츰수준을높여가는것이다.
또한이차방정식을배울때고1때배우는삼차방정식을포함해지수방정식,로그방정식등을함께공부하고부등식도같이가르쳐야한다.어떤미지의대상을x로놓고일정한연산절차를밟아문제를해결한다는대수의원리에서보자면,이모든것은본질적으로하나이기때문이다.중요한것은문제에서규칙과패턴을찾아그것을일반화하는식을세울수있느냐다.이차방정식,삼차방정식하는구분은그안에서벌어지는지엽적인구분일뿐이다.마치우리가구구단을배울때1학년때는2단,2학년때는3단하는식으로따로배우지않는것처럼,모든방정식과부등식을굳이따로가르칠이유가없다.
2)모든함수의그래프를같이배우자:방정식과마찬가지로,함수도모든것을함께가르쳐야한다.일·이차함수를가르칠때분수함수,지수함수,로그함수,절댓값함수등고교수학에나오는모든함수를함께배우고각그래프의모양과성질,꼭짓점과극값,평행이동과대칭이동을서로비교하면서가르쳐야한다.이렇게통합해서배워야함수를전체적으로이해할수있다.
현행학교수학의문제는일·이차함수만따로떼어과도하게오래가르치고,함수와방정식을함부로연관짓는다는것이다.그결과중하위권학생들은덮어놓고그래프를그리지만그의미를올바르게해석하지못한다.
방정식과함수는얼핏비슷해보이지만의미하는바는전혀다르다.방정식이어떤고정된실체,존재를다룬다면,함수는변화하는대상사이의관계를다룬다.갈릴레이,뉴턴등근대과학자들이변화하는물체의운동을설명하기위해동원한수학적도구가함수였고,함수를통해미적분이라는수학의거대한세계가열릴수있었다.방정식은함수와미적분을풀기위한하나의수학적스킬에불과하다.
이처럼아주다른세계관에서태어난방정식과함수를현행중3~고1교과과정은무분별하게섞어놓고너무장황하게다룬다.중고교수학의정점에있는미적분과함수의이러한역사적의미를자세히설명하여방정식과함수의차이를확실히이해시켜야한다.
3)지수·로그·극한등상위개념을일찍배우자:분수소수는초등학교4~6학년때배우고,루트와지수로그는중3~고2때배운다.당연히전자가더쉽고후자가더어려울것같지만,실제로초등학생들에게가르쳐보면정반대다.분수소수보다루트와지수로그를더쉬워한다.분수소수연산은생각보다어려운개념으로,1차수포자가대량발생하는영역이다.반면에고등학교에서배우는지수로그계산은개념만이해하면초등고학년도풀수있는간단한수준이다.
분수소수를지나치게많이훈련하고지수로그를뒤늦게가르치는것은현대수학의흐름과도맞지않는다.예전에는곱셈이중요했지만,오늘날더중요한것은거듭제곱즉지수와로그다.대장균이번식하고,방사성동위원소가붕괴하고,인구가늘어나는것이모두지수로그로표현된다.분수소수연산은구구단이나인수분해,피타고라스정리처럼이제상식이되었다.사회는빠르게이과화되고있으며,우리는지수로그를통해우주와미시세계를탐구한다.
저자는변별력을높이기위해갈수록어려워지는수능수학에맞춰서중학수학을지수로그,극한,미적분을중심으로상향조정해야한다고주장한다.정규교과에서배우는기본내용만으로는수능의킬러문제를풀수없다.정규교과에서부차적으로다루는상위개념들을적극적으로익히는것이수능고득점의열쇠다.
4)수열·확률은수능기출문제를바로풀자:수열은문제풀이과정에서수를다루는다양한테크닉을익힐수있고,무엇보다패턴과규칙을찾는힘을길러주기때문에초등생부터고교생까지폭넓게함께공부할수있다.또한고등수학에서중요한고비가되는극한개념을자연스럽게익힐수있기때문에일찍가르칠필요가있다.
고등학생도∑(시그마)와lim(리미트)같은낯선기호가나오면주눅이드는데,특별한훈련없이그냥대입만해도해결되는문제가적지않다.수능기출문제중에서학생의수준에맞는것을선별해서직접풀어가며기호에대한적응력을높이고자신감을키우는것이중요하다.
확률역시실제로기출문제를풀어가면서실전적인감각을기르는것이좋다.확률과경우의수는초등-중등-고등단원의난이도차이가크지않아,고3수능문제를초등고학년에게내주어도아무문제가없다.실제로중학수학참고서들에는순열이나조합같은용어만사용하지않을뿐그개념을이용하는문제들이많다.굳이이렇게단계를나누고‘중학교는여기까지만’이라고한정할이유가없다.실전상황에맞게다양한기술을활용할수있도록적극적으로상위개념을가르쳐야한다.
5)유클리드기하에서쓸데없이힘빼지말자:중학수학에서큰비중을차지하는것이유클리드기하다.하지만중학수학안에서도,고등학교과정과도중복되는것이너무많다.중2에서내심·외심,중3에서원과비례등상당부분을생략할수있다.꼭가르쳐야한다면고등수학에서필요한내용만선별해서가르치는것이좋다.지금처럼IQ퍼즐같은문제들을지나치게많이가르치는것은불필요하다.머리를써야하는문제들은고등수학기하(무한등비급수,삼각함수극한등)에도즐비하다.
유클리드기하는자명한논리체계로서구지성사에서엄청난영향력을발휘했지만,비유클리드기하학의등장과더불어그중요성이많이약화되었다.오늘날고등수학에서더중요한것은삼각함수와좌표기하학이다.유클리드의《기하학원론》은분명인류문명의보고이지만,현대적관점에서별로쓸모가없는유클리드기하를지나치게강조하거나얽매일필요가없다.
6)문장제문제는과감히생략하자:사회전반에서스토리텔링이강조되면서학교수학에서도문장제문제가대폭늘어났다.소금물의농도를묻는응용문제가대표적이다.많은학생들이수학에대한흥미를잃고염증을느끼는것이이문장제문제때문이다.
문장제문제의가장큰문제점은묻고있는개념은쉬운데문장이어렵다는것이다.일차방정식이나부등식같은초보적인개념을묻는데,설명하는문장이잘이해가되지않게서술되어있다.상황은대충이해가된다,그러나이상황을식으로바꾸려면상당한집중력이요구된다.중위권학생이이런문제를접하면긴장부터하고,몇문제풀고나면대부분넋이나간다.
중학수학은기호와문자를적절히대수적으로조작하여답을구하는과정을익히는것으로충분하다.그것을할수있다면미적분이나다른고등수학으로넘어가면될일이지,쓸데없는문장제문제를푸느라시간을보낼이유가없다.중위권이라면더욱그렇다.중위권의경우문장제문제는안해도되는것이아니라적극적으로하지말아야한다.하면할수록고등수학에필요한기본개념이엷어지는늪에빠질뿐이다.
