AI를 움직이는 수학 이야기 (실생활 예제로 배우는 기술 속 수학의 비밀)

후루시마도오루

저자:후루시마도오루(古嶋？潤)
주식회사cross-X대표이사.교토대학교법학부를졸업한후,컨설팅회사와IT관련기업을거쳐주식회사cross-X를창업했습니다.컨설팅회사재직시절에는파트너로서데이터·AI전략프로젝트를총괄했고,IT기업에서는집행임원과본부장으로활동하며경영·사업관리,도쿄증권거래소마더스시장상장,자금조달등의경험을쌓았습니다.지금은cross-X에서대기업의DX(디지털전환)추진자문과DX인재육성지원등을담당하고있습니다.

역자:하승민
일본리쓰메이칸대학교물리학과를졸업하고,동대학원에서이학(물리학)석사학위를받았습니다.이론물리학을전공했으며8년차AI리서치엔지니어입니다.옮긴책으로는『머신러닝시스템디자인패턴』(위키북스,2021),『차근차근실습하며배우는파이토치딥러닝프로그래밍』(위키북스,2022),『제미나이인공지능프로그래밍』(길벗,2025),『개발자를위한생성형AI활용가이드』(길벗,2025)가있습니다.

CHAPTER01정보검색에활용되는수학
_1.1들어가며
_1.2웹검색을위한수학적모델의기초
_1.3정밀도와재현율:검색결과의좋고나쁨평가하기
_1.4합의기호Σ:사용자행동의평균값을수학적모델로표현하기
_1.5벡터화:색인어를수치화하기
Column:자연어처리에사용되는벡터화기법
Lesson:벡터와행렬
_1.6비례와로그:색인어의등장빈도를수학적모델로표현하기
Lesson:로그의성질
_1.7반비례와로그:색인어의희귀도를수학적모델로표현하기
_1.8TF-IDF모델:문서의랭킹을수학적모델로표현하기
_1.9이장의핵심내용
Column:한걸음더:검색증강생성(RAG)

CHAPTER02상품추천을가능하게하는수학
_2.1들어가며
_2.2평가행렬:상품평가를수학적으로표현하기
_2.3협업필터링과행렬인수분해:평가값을예측하는수학적모델
Column:콘텐츠기반필터링
_2.4내적의정리와코사인유사도:사용자간유사도로예측값추정하기
_2.5삼각함수:코사인유사도이해하기
Lesson:내적의기하학적해석
_2.6다차원확장:코사인유사도를여러상품에적용하기
_2.7중심화:코사인유사도응용하기
_2.8지시함수:코사인유사도계산하기
_2.9결손값을예측하는수학적모델의설계와실행
_2.10상품간유사도로예측값추정하기
_2.11세런디피티:사용자의시선에서수학적모델다시바라보기
_2.12행렬인수분해:문제해결을위해수학적모델변경하기
Lesson:행렬의곱셈
_2.13잔차행렬과오차:평가값추정을최적화문제로재해석하기
_2.14손실함수:최적화문제풀기
Column:하이퍼파라미터
_2.15최소제곱법과미분,편미분:손실함수최적화하기
Lesson:미분
Lesson:미분,편미분의계산
_2.16편미분과합의기호:계산결과를통합한수학적모델도출하기
_2.17경사하강법:예측값추정하기
_2.18경사하강법의계산예시
_2.19협업필터링과행렬인수분해:수학적모델의차이살펴보기
_2.20이장의핵심내용

CHAPTER03이미지분류에활용되는수학
_3.1들어가며
_3.2CNN:딥러닝모델로이미지분류구현하기
_3.3CNN이이미지데이터를처리하는방식
_3.4합성곱층과풀링층:CNN구조이해하기
_3.5가중치파라미터와편향:이미지데이터로CNN의처리방식이해하기
Column:파라미터와편향
_3.6소프트맥스함수:확률예측으로이미지를분류하는방법
Column:AI모델의블랙박스화
_3.7오차최소화:이미지분류성능향상하기
_3.8로그우도함수:손실함수정의하기
_3.9합성함수:출력층파라미터의영향범위고찰하기
Lesson:합성함수의미분
_3.10편미분:출력층파라미터로손실함수최적화하기
Lesson:자연상수
_3.11출력층파라미터로손실함수의편미분결과도출하기
_3.12합성함수:합성곱층파라미터의영향범위고찰하기
_3.13합성곱층파라미터로손실함수의편미분결과도출하기
_3.14수학적모델로이해하는오차역전파
_3.15이장의핵심내용

CHAPTER04문장을생성하는데필요한수학
_4.1들어가며
_4.2트랜스포머:대규모언어모델을실현하는수학적모델
_4.3확률적예측모델로출력생성하기
_4.4단어임베딩:입력데이터를적합한형식으로변환하기
_4.5위치인코딩:단어의순서에관한정보추가하기
_4.6멀티헤드어텐션:트랜스포머의핵심
_4.7행렬의곱셈과전치행렬:헤드내부의계산방식이해하기
_4.8위치인코딩의중요성
_4.9소프트맥스함수:행렬의곱셈결과스케일링하기
_4.10모든헤드의계산결과결합하기
_4.11모든토큰요소정규화하기
_4.12활성화함수:정확도를향상하는방법
_4.13자기회귀방식으로출력생성하기
_4.14마스킹된멀티헤드어텐션:참조토큰범위제어하기
_4.15교차어텐션:인코더에서처리된정보통합하기
_4.16확률예측에기반한출력생성
_4.17이장의핵심내용
Column:한걸음더:트랜스포머를통합한최신AI사례

CHAPTER05음성분석을위한수학
_5.1들어가며
_5.2푸리에해석으로살펴보는수학적모델
_5.3삼각함수:단순한파형을주기함수로표현하기
_5.4주파수와각주파수:주기함수의특징알아보기
_5.5푸리에급수전개와급수전개:복잡한파형을여러개의주기함수로표현하기
_5.6sinx의매클로린전개:삼각함수를근사적으로표현하기
Lesson:삼각함수의미분
_5.7cosx의매클로린전개:오일러공식도출준비1
_5.8지수함수ex의매클로린전개:오일러공식도출준비2
_5.9오일러공식도출하기
Column:데카르트,뉴턴,라이프니츠,오일러
_5.10푸리에급수전개:복잡한파형을여러주기함수로표현하기
Lesson:삼각함수의합성
_5.11정적분:푸리에계수a0도출하기
Lesson:적분1
Lesson:적분2
_5.12푸리에계수자세히알아보기:경우나누기
_5.13푸리에계수자세히알아보기:m≠n의경우
_5.14푸리에계수자세히알아보기:m=n의경우
Lesson:직교성
_5.15푸리에계수an,bn도출하기
Column:수학적으로생각한다는것
_5.16오일러공식을사용한복소푸리에급수전개
Lesson:허수와복소수
_5.17복소푸리에계수구하기
_5.18표준화와양자화:아날로그데이터를디지털로변환하기
_5.19이산푸리에변환:음성데이터를수학적모델로표현하기
_5.20이산푸리에변환으로음성해석하기
_5.21이장의핵심내용
Column:음성인식과AI

CHAPTER06위치측정에활용되는수학
_6.1들어가며
_6.2시간×속도:위성과수신기사이의거리계산하기
_6.3연립방정식:수신기의위치를기하학적으로해석하기
_6.4전미분과합성함수의미분:연립방정식세우기
_6.5축차근사법:연립방정식풀기
_6.6뉴턴역학:위성의위치를수학적모델로표현하기
_6.7만유인력의법칙과운동방정식:위성의운동을수학적모델로표현하기
_6.8위치벡터,속도벡터,가속도벡터:위성의운동방정식
_6.9극좌표계:위성의운동을쉽게표현하기위한좌표공간
_6.10삼각함수의미분과곱의미분:위성의위치를수학적모델로표현하기
_6.11계수비교:위성의운동에관한관계식도출하기
_6.12상미분방정식:위성의위치를나타내는방정식도출하기
Lesson:2차선형미분방정식,단진동미분방정식
_6.13극방정식과이심률:위성의운동을타원으로표현하는방법
Lesson:타원의방정식과극방정식
_6.14타원의방정식:위성의위치를수학적모델로표현하기
_6.15케플러궤도의여섯가지요소:궤도면과타원의모양으로위성의위치예측하기
_6.16위성의위치측정을방해하는요소
_6.17특수상대성이론과일반상대성이론:시간지연으로인해발생하는오차
Column:절대시간과상대시간
_6.18로런츠인자:특수상대성이론으로이해하는시간지연
_6.19아인슈타인방정식과슈바르츠실트해:일반상대성이론으로이해하는시간지연
_6.20슈바르츠실트해로이해하는시간지연
_6.21이장의핵심내용

APPENDIX1상대성이론의수학적기초
들어가며
맥스웰방정식에서도출한파동방정식과빛의속도
갈릴레이의상대성원리와관성계
갈릴레이변환과합성속도
갈릴레이변환을파동방정식에적용하기
아인슈타인의특수상대성원리와광속불변의원리
로런츠변환의도출
로런츠변환을전자기파에적용하기
특수상대성원리에기반한합성속도
특수상대성원리에기반한시간지연
일반상대성이론과아인슈타인방정식
아인슈타인텐서의구조
계량텐서
시공간간격과불변량
고유시간
균일한중력장에서시공간의휘어짐을나타내는방법
실제중력장에서시공간의휘어짐을나타내는방법
등가원리
Lesson:중력퍼텐셜
아인슈타인방정식
마치며

APPENDIX2푸리에변환도출하기
들어가며
비주기함수에대응하는수학적모델로확장하기
주기를무한으로확장해서비주기함수에대응하기
Lesson:적분3
복소푸리에급수전개에서푸리에변환도출하기
마치며

챗GPT의문장생성부터GPS의위치측정,유튜브의추천알고리즘까지
세상을움직이는6가지핵심기술뒤에숨겨진수학의원리를꿰뚫다

우리는매일스마트폰으로정보를검색하고,AI가추천해주는상품을구매하며,내비게이션의안내를받아목적지로이동합니다.하지만정작이편리한기술들이‘어떻게’작동하는지정확히알고있는사람은얼마나될까요?많은사람이인공지능을마법같은블랙박스로여기지만,그뚜껑을열어보면정교하게맞물려돌아가는‘수학’이라는부품들이존재합니다.

『AI를움직이는수학이야기』는코드를한줄도작성하지않고도최첨단기술의본질을이해하고싶은이들을위한가장친절하고명쾌한안내서입니다.‘어떻게구현하는가’에치중한기존의기술서적들과달리,이책은‘왜그렇게작동하는가’에집중합니다.

■검색부터상대성이론까지,일상속기술을수학으로해부하다
이책은우리가매일접하는정보검색,상품추천,이미지분류,문장생성,음성분석,위치측정,6가지주제를통해현대기술의근간이되는수학적모델을설명합니다.중·고등학교수준의기초수학에서시작해미적분,선형대수,푸리에변환,상대성이론까지나아가며,기술속에숨어있는수학의아름다움을증명해냅니다.
●구글검색은어떤원리로내가원하는문서를찾아낼까?→벡터와행렬
●유튜브와쇼핑몰은어떻게내취향을귀신같이알아맞힐까?→코사인유사도와미분
●챗GPT는어떻게자연스러운문장을만들어낼까?→확률과행렬연산
●GPS는어떻게내위치를정확히알아낼까?→삼각함수와상대성이론

■공식암기가아닌‘흐름’을읽는수학수업
수학이어렵게느껴지는이유는맥락없이공식부터외워야했기때문입니다.하지만이책은실제기술과서비스가작동하는원리를먼저이야기하고,그문제를해결하기위해수학이‘필요한순간’에공식을소개합니다.또한복잡한수식의중간계산과정을생략하지않고꼼꼼하게보여줌으로써,수학을포기했던독자라도논리의흐름을놓치지않고끝까지따라갈수있도록배려했습니다.

■AI시대의생존무기!‘수학적사고력’기르기
제4차산업혁명시대,기술은하루가다르게변하지만그기저에있는수학적원리는변하지않습니다.단순히도구를사용하는‘소비자’에머물지않고,기술의원리를이해하고응용하는‘생산자’가되기위해서는수학적사고력이필수입니다.

이책은학교에서배우는수학이세상에어떻게쓰이는지궁금한학생들,기술적교양을쌓고싶은모든현대인,AI기술의원리를깊이있게이해하고싶은개발자와엔지니어,기술의가능성과한계를명확히파악해야하는기획자와경영진에게강력히추천합니다.

이제막연한두려움을거두고,AI라는거인의어깨위에올라타세상을더넓고깊게바라볼차례입니다.이책이여러분에게그단단한디딤돌이되어줄것입니다.