파동의 법칙 (푸리에에서 양자까지)

임성민,정문교

서울대학교공과대학에서원자핵공학을공부했다.
내가사는세상을제대로알고싶어물리와수학을오래탐구했고,인간을이해하기위해운명을연구한다.
〈피타고라스로푸는상대성이론〉,〈플랑크상수로이해하는양자역학〉,〈운명의발견〉등을썼고물리수학관련,원고를쓰고있다.

푸리에법칙&단진동

푸리에법칙:파동의원리?19
푸리에급수?26
단순조화진동?47
복소평면?74
단진동의3번해&복소평면?83

복소푸리에파동

일반푸리에급수에서복소푸리에급수로?101
푸리에급수:ComplexFourierSeries?112
이산시간푸리에급수:DiscreteTimeFourierSeries?119
푸리에변환:ComplexFourierTransformation?128
이산시간푸리에변환:DTFT?135
이산푸리에변환:DiscreteFourierTransformation?144
회전연산자:이산푸리에변환?158
복소평면&회전연산자균등분할?173

양자역학으로이해하는파동의법칙

컨볼루션?181
디랙델타함수δ(t)I184
보어&하이젠베르크?186
디랙델타함수II208
LTI시스템의연결함수:회전연산자?217
이산푸리에변환행렬&회전연산자?222

◆시간과공간은대칭이다.
◆시간에너지와공간에너지는조화진동한다
◆푸리에법칙은단진동일반해의조합이다.
◆푸리에법칙은회전연산자로푼다.

1.우주자연의변화를담고있는푸리에법칙

우리가살아가는세계는다양한존재,온갖사물과현상이빚어내는파동으로작동합니다.
세상은한순간도멈춰있지않습니다.활발한기운으로생동하는것,고요하고평온하게움직이는것,가라앉아잠잠하게일렁이는것등만물은저마다의호흡으로존재합니다.

형태가바뀌고양상이변하고,생성과소멸을경험하며파동을만드는거죠.끝없이이어지는시간과무한히펼쳐가는공간은파동과연결돼있습니다.파동을추적하면우리를둘러싼세계와우주자연의변화를읽을수있다는얘깁니다.

그럼파동을제대로이해하려면,자연과사물의변천과정을따라가려면양상을기술할수있는도구가필요하겠죠.네.푸리에법칙입니다.

푸리에법칙은푸리에남작(Fourier1768~1830,프랑스의물리학자·수학자)이고체내의열전도를탐구하던중에탄생한이론입니다.
푸리에이론이처음소개되었을때,수식은복잡했고내용도완전히정리된상태는아니었습니다.법칙을만든사람도증명을제대로하기어려웠죠.세월이흐르면서후세대연구자들에의해이론은체계를갖출수있었고수식은정교하게다듬어졌습니다.

푸리에법칙은주기성을갖는파동함수를sin함수와cos함수로기술합니다.오일러공식이발견되면서푸리에법칙은푸리에변환으로나아갔죠.비주기함수도포함해파동함수로표현할수있게되었습니다.

2.〈파동의법칙〉책의구성

1부에서는먼저푸리에법칙의기초과정을살핍니다.
기초과정이끝나면회전좌표축을학습합니다.회전좌표축을통해복소평면이생성되는과정을설명하는거죠.푸리에법칙과단진동의긴밀한관계를알수있을겁니다.

2부에서는회전연산자를다룹니다.
복소푸리에파동에제대로접근하기위해서죠.회전연산자는시간변수가주파수변수로바뀌는과정을분석할수있는도구입니다.
복소평면을균등분할하면이산푸리에변환행렬을구성할수있죠.시간과주파수의변환관계를명쾌하게파악할수있습니다.

3부에서는복소파동의내면을살펴봅니다.
1,2부에서다룬내용을토대로양자역학에등장하는디랙델타함수를다룹니다.파동관련도서를제법읽은분들도디랙델타함수는어려워합니다.왜그럴까요?

디랙델타함수는보어가얘기한양자의정상상태,하이젠베르크의행렬역학을학습한후에다루면어렵지않습니다.우리는‘보어와하이젠베르크’장에서행렬역학의핵심내용을익힌다음,디랙델타함수를탐구하겠습니다.
LTI시스템,컨볼루션도빠트릴수없겠죠.LTI와디랙델타함수의연결을통해LTI가복소평면의속성을드러내는과정을알수있습니다.

3.푸리에복합파동

푸리에복합파동은대칭(symmetry)과균형(balance,equilibrium)의관점에서접근하면어렵지않습니다.허수가실수와맞서는상황,위치나힘이균형을이루는상태,시간요인과공간요인이상응하며대칭을이룬다는거죠.

시간과공간이어느한쪽으로기울지않고고르게맞선다는건?
자연의에너지가보존된다는얘기입니다.시간과공간의대칭을염두에두고푸리에법칙을받아들이면파동의내면까지이해할수있는안목이생깁니다.

어떻게?푸리에법칙에서기술하는복합파동을일반적인정현파파동에서시작,복소지수함수(허수지수함수)형태로확장하는겁니다.그러니까푸리에급수와푸리에변환을유도한다음,그걸근거로양자역학에서다루는양자와의관련성도함께살피는거죠.

푸리에법칙관점에서보면시간과공간은다르지않습니다.조화진동하는진동자로짜여있으니까요.시간을분할하면공간이되고공간을분할하면다시시간으로바뀌며우주자연은존재하는거죠.
시간이공간이고공간이시간이라는걸기억하면푸리에복합파동을조금은수월하게이해할수있습니다.