양자역학의 핵심 (복소평면과 힐베르트 공간)

임성민

서울대학교공과대학에서원자핵공학을공부했다.
내가사는세상을제대로알고싶어물리와수학을오래탐구했고,인간을이해하기위해운명을연구한다.
〈피타고라스로푸는상대성이론〉,〈플랑크상수로이해하는양자역학〉,〈파동의법칙〉,〈물리수학의핵심〉,〈운명의발견〉등을썼고양자물리원고를쓰고있다.

차례
시간과공간의물리학
뉴턴역학&운동법칙 
미분방정식
보조법칙
뉴턴역학:현대물리의초석
절대시간&절대공간 
유클리드공간
갈릴레이변환:관성계의평행이동
빛속도c
4차원시공간&리만공간 
휘어지는시공간
민코프스키의4차원시공간
4차원좌표계
양자역학&힐베르트공간 
h:양자역학의출발점
양자역학의시간과공간
플랑크상수
h:진동하는에너지양자/h와천칭
최소에너지&에너지의불연속
h:복소평면의물리량
행렬역학&파동역학
양자역학의두갈래 
파동역학:행렬역학
힐베르트공간
n:정체성을갖는양자
파동역학 
무한차원시공간
F=ma의시간
i가없는텐서
양자시공간
파동역학&물질파
물질파:상상의산물
파동함수ψ(x,t) 
슈뢰딩거파동방정식
h의물리량:양자파동방정식
양자파동유도과정
H&시간독립슈뢰딩거방정식
힐베르트공간&행렬역학 
힐베르트:무한차원공간
힐베르트공간:요동하는양자시공간
미시와거시의연결고리,h
허미션행렬&대칭성
정리
유클리드벡터&힐베르트상태벡터 
상태벡터&에너지
유클리드공간의벡터연산
상태벡터의외적과내적
상태벡터의예비곱셈,다이애드-곱(dyad-product)
피타고라스정리에의한고차원공간거리
무한수직좌표축
다이애드-곱(dyad-product)과상태벡터
함수내적&푸리에급수
벡터함수의내적 
내적정의
정의핵심
푸리에급수&직교성 
조화진동방정식일반해
복합동적좌표계
직교하는복합축
흑체내부의직교복합파동
힐베르트공간의상태벡터&내적 
직교상태벡터(k≠k‵)&예외상태벡터(k=k‵)
적분구분이유
내적계산을통한힐베르트공간의증명
상태벡터기본관계:k≠k'&k=k'

힐베르트공간&상태벡터시스템
허미션행렬 
복소형태의푸리에급수
시공간의대칭
매개변수τ
정상상태&양자도약 
h:복소평면의값
파동역학기본수식
파동과입자
양자도약
방출되는빛의세기
입자와파동의연결
전자의스펙트럼세기 
허미션행렬구조
양자가설:적분형태
상태벡터의대칭
역행렬
상수계수C&허수품은τ 
C(n,n-1)C(n,n+1)의확률
τ:가능성을품은허수
τ의물리적의미
시간과공간의파동
과거와미래의진동
허미션행렬
허미션행렬구조 
켤레곱셈대칭
e⁰=1
전치복소행렬(complexconjugate) 
허미션행렬의물리량
원래행렬복귀/복소전치
허미션행렬:복소수파동
허미션행렬의행렬곱셈 
벡터의내적
e⁰=1의정규화
항등연산자
행렬곱셈과역행렬 
1=역행렬
확률가능성/τ값전자
우주상수h
대응원리&불확정성 
보어의대응원리
하이젠베르크의불확정성
불확정성:양자역학의기본원리
ħ의파동성
허미션행렬&슈뢰딩거파동방정식 
미시세계상태벡터
실숫값e⁰=1
연산자&파동방정식
미분방정식:상태벡터
정상상태&고윳값에너지 
에너지평형
전자의역학적에너지
위치에너지:운동에너지
행렬곱셈 
전자의들떤상태
행렬곱셈과역행렬
대각선항&시공의조화진동
역행렬＆에너지보존법칙
전자의양자수
플랑크상수&양자에너지 
불연속에너지En=nhf
에너지의연속=시공의연속
에너지구간/알갱이에너지
흑체복사곡선 
양자수n으로구분한에너지구간
하이젠베르크의양자수n=n'
En=nhf&n=n'
에너지양자
에너지양자&양자요동 
에너지양자의실체,ħ
시공간의대칭:양자요동
켤레함수
하이젠베르크의교환연산자 
켤레관계
교환연산자,복소평면의관계식
크로네커델타&I연산자
교환연산자±iħ&에너지양자 
±iħ(xp-px,px-xp)의물리적실체
복소평면의에너지양자
거시세계의h
에너지양자의진동:시공간양자의진동
창발하는우주
우주특이점&무경계가설 
힐베르트공간의우주특이점
플랑크질량:압축의최대치
시간양자공간양자의조화진동
양자적특이점(singularity)
디랙의연산자방식
조화진동자해법 
디랙표기법
연산자해법과정
방정식비교
디랙의연산자해법 
곱셈순서
xp-px&px-xp교환관계
바닥상태의고유함수&고윳값에너지E₀
올림연산자&내림연산자메커니즘
시간과공간의양자화
보른의확률이론 
측정에의한공간과시간의분리
전자의입자가능성
푸리에변환과역변환
힐베르트공간의상태벡터 
브라(bra)-켓(ket)
상태벡터&켤레상태벡터
브라벡터와켓벡터
상태벡터의절댓값
상태벡터의직교
힐베르트공간의완전성
정상상태의상태벡터함수&전개상수 
고유함수확률
Cn
고유함수2개
고유함수의중첩&진동수조건식 
전자의존재방식
상태벡터의절댓값
연산자방식으로보완한중첩
에너지평형
진동수조건식
주파수조건식
상태벡터의중첩
코펜하겐해석
양자파동의위상속도&군속도 
위상속도&빛속도
파동중첩과맥놀이
맥놀이원인
양자파동적용
양자파동의위상속도
상대성4차원:힐베르트4차원
참고자료

양자역학의양대산맥은?파동역학과행렬역학입니다.
디랙은행렬역학과파동역학을통합한물리학자죠.그는힐베르트공간을중심으로파동역학과행렬역학은원리가같다는걸수리적으로밝혔습니다.

모두허수로된상태벡터라는점을파악했죠.파동역학은위치x를기저벡터로해서연속적미분방정식이되었고행렬역학은불연속에너지를기저로삼아서행렬이된점을밝혔습니다.

디랙은상태벡터를간결하게기술할수있는디랙표기법을고안해양자역학기법을세련화했습니다.나아가조화진동에너지를올림연산자,내림연산자로구분했죠.디랙의연산자를이용하면전자의조화진동방정식을풀수있습니다.

관건은?연산자해법과정을이해하기어렵다는겁니다.
양자조화진동을연산자로푼과정은파악하기어렵습니다.

힐베르트공간은복소평면에바탕을두고있습니다.
복소평면은x축인실수축과y축인허수축이같은방식으로펼쳐집니다.힐베르트공간은x축과y축이진동하면서무한차원을만듭니다.

양자는시공간세계에서매순간요동합니다.
요동하는힐베르트공간은양자가생성되고소멸하는공간입니다.힐베르트공간은시간과공간이수직축에서서로얽히며쉬지않고조화진동합니다.

양자역학을제대로이해하려면?
복소평면의복소함수,힐베르트공간으로다가가야합니다.
이책에는힐베르트공간에서파동역학과행렬역학이무한차원의벡터이론으로수렴하는과정이깔끔하게정리돼있습니다.물리현상으로는파악하기어려운미시세계를깊숙이들여다볼수있습니다.