수학은 짝짓기에서 탄생하였다 (0에서 무한까지)

박영훈

서울대수학교육과와미국몬태나주립대수학과(석사)를졸업하고,서울대대학원에서교육학박사과정을마쳤다.서울대를비롯한대학과중고등학교에서수학을가르쳤으며,비영리법인인나온교육연구소를설립해유럽,미국,일본등지의수학교육교수법을연구해옴.교육개발원학교교육평가위원,교과서집필위원으로활동하는한편,‘초등수학르네상스’등의커리큘럼을통해2만명에이르는교사연수를진행.수학교육이즐거운삶의한부분이될수있도록방송(KBS라디오,EBS,두산TV),신문(경향신문)의장에서도폭넓게활동해옴.《기호와공식이없는수학카페》《기적의유아수학》《아무도풀지않은문제》등다수의저서를출간하였으며,2017년봄부터수학의넓은대지를문명사적으로종횡으로누비며수학의본령에다가가는‘잃어버린수학을찾아서’프로젝트와새로운패러다임의수학교육지도서《초등수학어떻게가르칠것인가》(전12권,공저)를펴내는프로젝트를시작하였다.

프롤로그:우주에도숫자가있을까

1.숫자의탄생
숫자의힘
모든것은짝짓기에서비롯되었다
일대일대응속에깃든숫자의원형
수감각과수세기는다르다
까마귀와다르지않은인간의수감각

2.숫자에서시작된문명
아라비아숫자,최초의수학기호
문명의충돌:아라비아숫자와한자숫자
두개의수언어를배워야하는우리아이들
아리비아숫자의정치학
숫자라고모두같을까
순서수,연산의기초

3.자연수는정말자연스러운가
0은왜자연수가아닐까
자연수만의독특한성질
페아노의공리
1+1은왜2인가
생물학적유전을연상시키는수학적귀납법
무한을헤아리는수학적귀납법

에필로그:무한의세계를탐구하는도구,짝짓기

일찍이없었던수학교양서
수학은짝짓기에서탄생하였다

국내대표수학교육전문가박영훈선생님의?‘잃어버린수학을찾아서’시리즈는수학의넓은대지를문명사적으로종횡으로누비며수학의본령에다가가는기획물이다.요리책레시피수준의학교수학,창의성을상실한내비게이션수학을넘어새로운수학의패러다임을10권으로구성된야심찬프로젝트속에담아낼것이다.
우리는12년동안학교에서수학을배운다.그렇게긴시간동안엄청난노력을기울이건만숱한학생들이수포자가되고만다.어려운문제를척척풀던아이들이어느순간좌절하게되고,수학을잘해대학수학과에진학한학생들도대부분수포자의길을간다.왜그럴까?문제풀이요령만죽어라외웠기때문이다.
저자는길을몰라도목적지로데려다주는내비게이션을닮았다하여이를‘네비게이션수학’이라고부른다.수학은교과서에담겨있는공식이나문제를모아둔것이아니라패턴을발견하는지적활동이다.시인예이츠는“교육은양동이를채우는것이아니라,불을지피는일”이라고말했다.학생들이스스로사고할수있도록이성의불을지펴주어야하고,머릿속에서인류의고귀한지적유산인인지지도가개념화될수있어야한다.
‘잃어버린수학을찾아서’시리즈는초등학교에갓입학하며배우는아라비아숫자와간단한곱셈구구에서부터미적분과확률에이르는수학의궤적을새로운패러다임으로되짚어가는기획물이다.수학지식이어떻게만들어졌으며,수학자가어떤패턴을발견하여그지식을창조했는지를문명사적으로풀어낸장대한이야기에빠져들다보면저도모르게수학의본질을몸에체득하게될것이다.
‘잃어버린수학을찾아서’시리즈의첫번째인이책은우리가태어나서최초로배우는수학기호인수와숫자에관한내용이다.누구나잘알고있는쉬운내용일것같지만이책을통해무심코사용하던수와숫자의위력에새롭게눈뜨리라고확신한다.인간의수감각은동물에비해그리뛰어난것이아니다.그런데도어떻게이처럼거대한문명을일굴수있었을까?그주춧돌의하나가바로숫자이다.숫자를토대로형성된수세기능력이인류를문명사회로이끈드라마틱한과정을만나게될것이다.더욱극적인것은고도의추상적수개념이두대상을짝짓기하는원시시대의단순행위에서비롯되었을뿐아니라,마침내19세기에인류가무한을헤아리게된원동력도다름아닌이짝짓기였다는사실이다.


잃어버린수학을찾아서

12년동안수학을배운다.그렇게긴시간과많은노력을들여고생했건만,그내용이실제수학이라는학문의본질과는거리가멀다는사실을깨닫게된다면정말허탈할것이다.하지만사실이다.일반인에게는잘알려져있지않지만,대학의수학과에서도적지않은수포자가나온다.그들은고등학교때까지수학을잘한다고부러움을사던학생들이다.학문으로서의수학이그전까지배운수학과너무달라서끝내좌절하고만것이다.
문제는학교수학에있다.학교에서가르치고배우는수학지식의대부분은2천년이전의것으로고리타분그자체이다.새로운내용은미적분과확률정도인데,그마저도3,4백년전의것이다.음악으로치면고대바빌로니아의음악이나기껏비발디나헨델시대의바로크음악에머무는셈이다.모차르트나베토벤의음악조차만나지못하는것과진배없다.
반드시새로운것을가르쳐야한다고주장하는것은아니다.비발디의〈사계〉나헨델의〈오라토리오〉가여전히고전이듯이,유클리드의기하학과8,9세기아랍에서유래한대수학은오늘날에도유용하다.문제는이들옛날수학의대부분이회계나토지측량같은실용적인필요에의해탄생했다는점이다.그래서‘이렇게저렇게따라하면답을구할수있다’는마치요리책에담긴레시피를알려주는수준에불과하다.
냉정하게말하면오늘의학교수학은여전히요리책수준에머물러있다.그러니사람들이수학학습을요리레시피를익히는것쯤으로인식하는것은지극히당연하다.‘이공식에대입하여이렇게식을조작하면답이나온다’는기계적인문제풀이를수학이라고생각하는것이다.그결과많은시간을들여수학을공부했건만정작수학이무엇인지는알지못한다.분수계산은할수있어도분수가유리수와어떻게다른지,삼각형의세가지합동조건은줄줄암송해도그의미가무엇인지는모른다.나는이를‘내비게이션수학’이라고규정한다.내비게이션의지시대로운전해정확하게목적지에도착했건만,정작어떤길을따라운전했는지알지못하는것과같다.
물론수학은문제를해결하는학문이다.표준적인풀이방식의습득은필요하다.적용할공식이나따라야할절차를찾아보는것도필요하다.하지만거기에그쳐서는안된다.실제수학
문제는숫자를대입하면되는공식이나풀이가유사한문제를찾아서해결할수없는경우가더많다.
문제가무엇인지를생각하는것,그것이답이다.누군가가분류해놓은문제의유형에주목하기보다는,문제가말하는것이무엇인지를제대로파악하고생각해야한다.수학지식의의미를파고드는‘수학적사고’야말로수학의본질이고핵심이다.이제는내비게이션수학에서탈피해야할때다.내비게이션이지시하는대로따라가다가무심코지나쳤던길이어떤길이었
는지되돌아볼수있어야한다.도중에왜마을이들어섰는지도잠시살피고,전망좋은곳에들러멋진경치를감상하는여유도만끽하자.
‘잃어버린수학을찾아서’시리즈는초등학교에갓입학하며배우는아라비아숫자와간단한곱셈구구에서부터미적분과확률에이르는수학의궤적을새로운패러다임으로되짚어가는야
심찬기획물이다.수학의넓은대지를문명사적으로종횡으로누비며수학의본령에다가가는이같은시도는국내에서는물론처음이거니와해외에서도사례를찾기어려울것이다.이시리즈가더나은가르침을주고싶은교사들과교과서너머의지식에목말라하는학생들,그리고삶의여정속에서수학지식의유용함을믿는신실한이들에게귀한자양분이되었으면좋겠다.부디비틀스의음악에서베토벤의선율을발견할수있기를!


책머리에

0,1,2,3,4,…아라비아숫자는우리가태어나서최초로배우는수학기호이다.숫자는어떻게탄생하였을까?수와숫자는어떤차이가있을까?이책은이런질문에답을구하는내용이다.
짝짓기라는단순한행위가수개념을낳고,마침내아라비아숫자의탄생으로이어졌다.더욱놀라운것은19세기에인류가무한을헤아리게된원동력도다름아닌이짝짓기였다는사실이다.
인간의수감각은동물의수감각과비교할때그리뛰어나지않다.그런데도거대한도약을통해빛나는문명을일굴수있었던것은무엇때문일까?그주춧돌의하나가바로숫자였다.숫자를토대로형성된수세기능력이인류를문명사회로이끈드라마틱한과정을이책에서만나게될것이다.
이어지는내용은아라비아숫자의정치학이다.우리가일상적으로아라비아숫자를사용하게되기까지동서양의얽히고설킨역사를문명사적으로반추해본다.누구나재미있게술술읽을수있는내용이다.
하지만자연수에대한내용은힘겨운도전을각오해야할것같다.특히수학적기호로이루어진페아노공리는매우건조하고딱딱하다.쉽게풀이하려노력하였지만넘기어려운장벽으로느끼는사람이꽤될것이다.설령내용을완벽히이해하지못하였다하더라도실망할것은없다.수학이라는학문의실체를실감하는것만으로도가치가있기때문이다.
고등학생이라면‘수학적귀납법’에중점을둘것을권하고싶다.교과서나참고서에서는찾아보기어려운설명이사고의폭을확장시켜줄것이다.그리하여귀납이라는이름에도불구하고연역적추론의한형태라는점을파악할수있다면,고등학교수학의진면목을이해하는데
큰도움이될것이다.
마지막에필로그는형식에걸맞지않게길이가무척길다.수학사상가장위대한발견의하나인칸토르의무한개념이원시인들이사용한짝짓기에서비롯되었다는것은얼마나흥미로운가.수학의독창성이무엇인지감상할수있는기회가되었으면좋겠다.
아무쪼록이책을통해그동안무심코사용하던수와숫자의위력에새롭게눈뜨는계기가되길기대한다.