요즘 애들 수학 : 읽다 보면 감 잡는

임청

성균관대수학교육과를졸업하고서울대학교대학원에서수학교육석사학위를받았다.현재미성중학교에서수학교사로있으며중·고등학교수학교육과정과관련된수학내용및현장에서의수학교육에대한글을블로그에쓰고있다.학교에서는수학수업에느리게따라오는아이들을위한보충지도부터영재교육원에서수학영재들을위한수학영재교육까지다양한수학수업을진행하고있다.수학을왜공부해야하는지에대해아이들과함께고민하며아이들이수학에흥미를느끼며공부할수있도록늘연구하고있다.

들어가며

1부？사고의시작,기하
우리가거인이나소인이된다면?
중등수학의끝판왕피타고라스의정리
파이로파이구하기
지구둘레구하는방법

2부？문제를해결하는법,수와방정식
누구나독심술사가될수있다
인생은방정식?
시간의시작
숫자를지배하는자
음수의반전
A4용지의비밀

3부？규칙의발견,함수
배스킨라빈스31게임의필승전략
정사각형이직사각형으로
반복되는그래프

4부과거와미래의연결,확률과통계
복권으로희망을사다
A형아빠와B형엄마그리고O형딸
수학자들도어려워하는확률문제
모나코의부의비밀
사망률을감소시킨통계의기적
평균에속지마라

부모들은감을잡고아이들은수학을잡는다!
선행위주주입식교육보다흥미중심의자기주도학습으로

국제교육성취도평가협회의2019년도연구자료에의하면국내중학교2학년학생10명중6명은수학을싫어하며,수학을‘가치없다’라고생각하는학생도30퍼센트가까이된다고한다.반면국제적수학성취도평가에서높은순위를차지하고,대학수학능력시험에서입시의당락을결정하는주요과목이자하버드대수학과학생들도풀수없을정도의문제난이도….이것이바로우리나라학생들이배우고있는수학교육의현주소이다.
세계가경이롭다고표현할만큼의학습량과선행교육이필수가되어버린과목이지만정작아이들은시험을치르고나면몇년간배운내용을머릿속에서모조리삭제해버린다.이처럼주입식교육을통해높은성적은얻을수있지만흥미와자기주도가이루어지지않는학습은잠재적수포자를양상시키는결과만을낳았다.
교육관계자들은계속되는수포자들의증가를방지하기위해서는아이들을무작정사교육에맡기기보다가정과학교에서수학에대한흥미를유발할수있는활동이선행되어야한다고말한다.이러한필요성에따라최근개정된수학교과서와수업방식에변화가생기기시작했다.

문명의탄생과함께시작된수학은
입시도구가아닌생활밀착형학문이다!

“먹고사는데사칙연산만할수있으면되는거아닌가요?”
이말은아이들이수학을포기하려할때자기합리화를시키기위한변명아닌변명으로주로하는말이다.언뜻그럴싸하게들리기때문에이말에공감하는사람도많다.하지만역사적으로살펴보면수학은다른어떤학문보다생활밀착형학문이라는것을알수있다.
고대문명의태동과함께발전된기하학을시작으로식량의저장,세금징수등과같은실용적인문제를해결하기위한계산,태양과별,달의움직임을관찰하여탄생한시간과함수,인도에서발명된아리비아숫자로인한르네상스도래등수학은인류의역사와함께해왔다.또한수학은역사속에서뿐만아니라우리생활속에서살아숨쉬고있다.최근화이트데이대신각광받고있는파이(π)데이,TV예능프로그램의단골인복불복게임,혈액형과복권당첨등가벼운오락거리에서뿐만아니라컴퓨터언어의기본이되는행렬,난수표를기반으로작동하는온라인뱅킹보안카드,인구조사,세금징수등나라를운영하는데필요한통계등우리는수학의세계에살고있다고해도과언이아니다.
수학을교과서에박제되어시험만을위한공부라고생각하지말고자신의삶에적용하여의미를부여한다면수학에대한거부감이없어지고수학에흥미를느낄것이다.

일상속다양한사례와질문으로시작하는수학
생활밀착형수학으로수포자없는세상만들기

학창시절부터수학의즐거움을알고수학을좋아해중학교수학교사가된저자는수학을여행에비유한다.수학교과서는여행안내서이며,선생님은가이드역할을하는사람이라고말한다.여행에대한전반적인정보를여행안내서를통해얻을수있듯이수학교과서는개념의핵심을짚어주고설명과함께수학교과의전체내용을포괄하고있으며,선생님은여행에서의포인트를짚어주고안내하며학생개개인의반응을보고피드백해주는역할을한다.또한보다깊이있고즐거운여행을위해서는가이드가알려주는숨은팁의역할이중요하다고강조하는데수학에서이런역할을하는팁은어떤수학개념이있을때이개념은왜태어났는지,어떤과정을통해연구되었는지에대한역사적흐름을살펴보고,현재그개념이어떤의미를지니는지논의해보는것이다.
일상생활속이야기또는간단한질문에서시작해수학개념을소개하고중·고등수학교과과정에따라기하,수와방정식,함수,확률과통계로구성되어있는이책은독자들에게수학의분야가왜발전되었고,어떻게발전했는지한눈에보여줌으로써수학이라는여행의재미와깊이를선사하는팁역할을제대로하고있다.



<추천사>

학교에서는진정한수학의아름다움을전달하기보다는개념이나정리를익히고문제를푸는데많은에너지를쏟는다.이책에는수학교사로서이러한점을보완할수있도록수년간고민한흔적이고스란히담겨있다.이책을읽는동안우리는수학의아름다움을발견하고수학의진정한매력을느낄것이다.
-송도고등학교교사류영희

종이속문제를벗어나현실에서수학을활용할수있게해준선생님의수업을통해수학을왜배워야하는지깨닫게되었다.이책을읽는독자들도수학이얼마나중요한학문인지,수학을왜배워야하는지,수학이어떻게탄생했는지에대해점차알게될것이다.
-한국과학기술원(KAIST)3학년김예담

이책을읽고내가맹목적으로외웠던수학공식들이어떻게탄생했는지알수있었다.수학에대한어려움과막막함이점차흥미로바뀌고어느새수학에깊게빠지게만드는이책은수학을잘못하는사람에게도잘하는사람에게도도움이된다.
-미성중학교1학년김도현

처음보는공식들과복잡한문자들로마냥어렵게만느껴졌던중등수학의문을선생님께서열어주셨다.흥미로운주제와다양한예시로수학의재미가담겨있는이책은수학을잘하지못하는학생도쉽고재미있게이해할수있도록만들어준다.
-미성중학교1학년장유진


<책속에서>


문명이탄생한이래로주어진상황적문제를해결하기위해수학은계속발전해왔으며많은수학자가수학을공부하면할수록진리의아름다움에매료되었기때문에수학에대한연구가끊임없이계속될수있었다.
하지만이부분에대해많은사람이공감하지못할것이다.여기에서아름다움이란꽃이나보석같은눈에보이는아름다움이아니라깨달음의미학이다.(물론,수학을이용해아름다운무늬를만들어낼수는있다.)“아!”하는깨달음의순간,“재밌다!”라며즐거움을느끼는순간,어려운것을이해했을때의뿌듯함,아이디어가갑자기떠올라새로운방법으로문제풀이를시도해봤을때의참신함.수학공부를하면서그러한순간과경험이쌓이면수학의아름다움을느낄수있다.
아이들이나에게“왜수학을해야하나요?”라며물을때나는그에대한답을아껴두었다.지금아이들에게‘수학은아름답다’라는이야기는그들의생각과는너무동떨어진이야기라서오히려괴리감을줄뿐이다.아이들에게수학의아름다움이다가오도록,스스로수학의아름다움을찾도록도와주고싶다.
-p6~7

현재유럽,미국등대부분의나라에서는3월14일을화이트데이가아닌‘π(파이)데이’라고부르며다양한행사를즐긴다.세계적으로가장유명한숫자중하나인π는3.141592…로소수점아래로숫자가계속나열된수를말한다.초등학교에서π는계산하기용이하도록약3.14로정해놓고계산한다.따라서3월14일이π데이인것은자연스럽다.
π데이가알려지기시작한것은1990년대초반미국의하버드대학과MIT,영국의옥스퍼드대학등유명대학에서수학을전공한학생들이‘π클럽’동아리를만들어π데이기념행사를열면서시작되었다.게다가독일의세계적인물리학자아인슈타인의생일이3월14일이었기때문에π데이는전세계인이즐기는축제의장이되었다.
-p49~50

π에서나타나는수열은0~9까지의숫자가거의균등하게출현하지만어떠한규칙도없이나열된다.한자리의숫자를구한후계속계산하지않는한그다음자리숫자가무엇이올지예측할수없다.난수(randomnumber)표란무작위로선택된0~9까지의숫자가균등하게출현하도록임의의숫자를잔뜩배열해놓은표이다.π의소수점아래숫자는난수표라고생각할수있다.
오늘날많은암호가이난수를기반으로작동한다.예를들어온라인뱅킹을위한보안카드는일종의난수표이다.이렇게수학자들이순수하게진리를연구한결과를현대수학에유용하게사용하는경우가빈번하다.뉴턴의말처럼진리의세계는넓고우리는몇개의조개만알고있다.그조개들이어떤관계로어떻게진리의세계를이루는지는누구도알수없다.
-p63

함수는자연의움직임을설명하기위해만들어진개념이다.자연의복잡한움직임을표로기록하고그속에서규칙성을찾았다.그리고식이나그래프로표현함으로써자연의움직임을일반화했고,이러한연구들은자연현상을예측하기도했다.
16세기초반함수를연구하던수학자들은다양한자연현상을연구하면서그속에서많은함수를찾았다.수학이자연의질서를이해하는강력한수단으로역사의전면에새롭게등장했다.과학과수학의발전이맞물려돌아가면서그발전속도가더욱빨라졌다.
-p188

함수의필요성을처음느낀것은천체의움직임을기록하려고시도하면서부터였다.농경사회에서천체에대한연구는필수였다.천문학자들은미래의날씨를예측하고천체운동의규칙을발견하기위해하늘을관찰했다.당시천문학에서하늘을구로보았고,구위에있는별들의운동을관찰하고기록하고자했다.
천체운동을길이로측정하기위해서는원에서의호의길이나현의길이를측정해야했다.원에서호의길이나현의길이를결정하는요소는각이다.따라서각을활용하여길이를잴수있는방법인삼각법(trigonometry)이발달했다.삼각법은그리스어‘삼각(trigonon)’과‘측량(metron)’을합친단어이다.
별이움직인거리를측정하려했던천문학자들은많은시행착오를겪었다.예를들어별과별사이의간격을눈으로바라보며두팔을벌려측정한다면키가큰사람과키가작은사람의두팔의폭은서로다를수밖에없다.따라서별의움직임을기록할때마다오차가생긴다.
이를극복하기위해사용한방법이‘비’였다.팔사이의각도가같다면키큰사람이만든삼각형과키작은사람이만든삼각형은닮음이다.두삼각형이서로닮음이면두삼각형의변의길이비는일정하다.
-p195~196

매주금요일오후7시.로또복권1등을많이배출한자칭로또명당에는복권을사려는사람들로북새통을이룬다.로또복권한장의가격은1,000원이다.토요일에있을당첨방송에서단돈1,000원의투자가몇억으로돌아오길바라며사람들은매주희망을산다.
복권에당첨될확률을구해보자.복권을샀을때그복권이당첨될확률은‘복권에당첨된다,당첨되지않는다’두가지경우가있으므로복권에당첨될확률은50%이다.이것은맞는말일까?당연히아니다.(…)복권이당첨될경우와당첨되지않을경우의가능성은서로같지않다.당첨되지않을가능성이당첨될가능성보다무척크다.실제로로또복권에서1등으로당첨될확률을구해보면1/8,145,060이다.이확률은굉장히작은값이다.
아주희박한확률의일을뜻하는‘서울에서김서방찾기’라는옛속담이있다.미국뉴욕시의인구가800만명정도된다고한다.복권에서1등으로당첨될확률은사람을찾으러뉴욕에서무턱대고갔을때우연히마주친첫번째사람이내가찾는그사람일정도로희박한확률이다.
-p209~212

예능프로그램에서많이하는복불복게임은오직운으로만벌칙자가정해진다.
식혜여섯잔이있는데세잔은맛있는식혜이고세잔은소금식혜이다.여섯명이차례대로식혜하나를선택하여먹을때먼저선택하는것이유리할까?나중에선택하는것이유리할까?매도먼저맞는것이좋다고먼저선택하는것이유리하다고생각하는사람도있을것이고,앞사람들이먼저소금식혜를먹으면남는것이맛있는식혜이니까나중에선택하는것이유리하다고생각하는사람들도있을것이다.
첫번째로식혜를선택하는사람A와두번째로식혜를선택하는사람B가맛있는식혜를먹을확률을각각계산해보자.A는총여섯잔중세잔의맛있는식혜중한잔을고르면되므로3/6=1/2이다.B는A가먼저고른후남은다섯잔중맛있는식혜를고르면된다.그러면맛있는식혜는몇잔남아있을까?그것은A가무엇을골랐느냐에따라다르다.A가맛있는식혜를골랐으면남은맛있는식혜는다섯잔중두잔이고,A가소금식혜를골랐으면맛있는식혜는다섯잔중세잔이다.
B가맛있는식혜를고를확률은1/2×2/5+1/2×3/5=1/2이된다.즉,복불복게임에서첫번째든두번째든순서에상관없이맛있는식혜를선택할확률은1/2로같다.
-p234~235

기온이어느정도변화했는가,여론조사에서찬성과반대가어느정도비율을차지하는가,주가지수가어떻게움직이는가등을나타낼때는수많은숫자를사용한다.그리고그러한숫자들을간단하게그림으로나타낸것이바로‘그래프’이다.그래프는방대한양의데이터를효과적으로전달하기위한시각적자료로,특히뉴스나신문기사에서접할수있다.경제나사회와관련된다양한수치가이해를돕기위해그래프로표현되고있다.그러나그래프를잘못사용하면사람들에게잘못된인식을심어줄수있다.(…)그래프는다양한수치를효과적으로나타냄으로써수치에대한전체적인이해를쉽게하기위해만들어졌지만잘못된그래프를사용하는것은그래프를그리지않은것보다못한결과를초래할수있다.그래프를만들사람이이를악용하여그래프를잘못그린다면그래프를본사람들은큰혼란을겪는다.
또한그래프를볼때비판적으로바라보지않고무분별하게수용한다면옳지않은방향으로문제를인식할소지가있다.수치는거짓말을하지않지만이를사용하는사람들이수치를어떻게사용하느냐에따라서그래프는약이될수도있고독이될수도있다
-p255~258