미적분 없이 최댓값 최솟값 구하기

이 책의 목적은 최댓값과 최솟값의 문제를 해결하기 위한 주요 기본 방법들을 모으는 것이다. 단, 표준 교과서에서 충분히 다루어지는 두 가지 기법(미적분학 및 선형계획법과 게임 이론을 통한 최적화 과정)은 논의에서 제외한다. 미적분학은 의도적으로 논의에서 배제하였으며, 이와 관련된 최적화 기법도 포함되지 않았다. 이 주제와 관련된 많은 책과 강좌가 존재하므로, 우리의 목적은 이러한 자료를 보완하는 것이며, 그들과 경쟁하려는 것이 아니다. 따라서 이 책은 대체로 널리 알려지지 않은 대수학 및 기하학 기법에 초점을 맞추며, 의도적인 불균형을 보여준다. 또한, 독자가 곧 알게 되겠지만, 우리는 순수한 기하학적 방법 대신 기하학 문제를 대수학적으로 재구성하여 해결하는 방법을 선호한다. 다른 저자가 이와 다른 접근 방식을 택할 수 있지만, 흔히 말하듯 “한 사람의 물고기(fish)는 다른 사람의 물고기(poisson) (역자주) one man’s fish is another man’s poisson. 여기서 poisson은 프랑스어로 물고기이다.
”이라는 격언처럼 접근 방식은 다양하다.
미적분학은 극값 문제를 체계적으로 해결할 수 있는 절차를 제공하는 매우 잘 정리된 학문 분야이다. 미적분학을 옹호하는 사람들은 종종 대체 기법을 제한된 유용성을 가진 ‘속임수 같은’ 절차로 간주한다. 이 책에서는 이러한 관점을 반박하기 위해 가능한 한 대체 기법들을 통합하려고 한다. 이를 통해 이러한 기법이 단순히 특정 문제에만 적용되는 제한된 도구가 아니라 보다 일반적인 방법으로 다양한 문제에 적용 가능하다는 것을 보여주고자 한다. 따라서 우리는 단일 문제만 해결하는 “번뜩이는 기술”보다는 많은 질문을 포괄할 수 있는 논리적 접근 방식을 강조한다.
미적분학은 일부 최댓값과 최솟값 문제를 해결하기 위한 강력하고 체계적인 기법을 제공하지만, 보편적인 방법은 아니다. 많은 문제들이 기본 미적분학으로 해결하기 어렵거나 불편할 수 있다. 예를 들어, 미적분 교과서에서 자주 나오는 문제 중 하나는 일정한 둘레를 가진 직사각형 중 최대 넓이를 가지는 직사각형을 찾는 것이다. 하지만, 일정한 둘레를 가진 모든 사각형 중 최대 넓이를 가지는 사각형을 찾는 문제는 기본 미적분학으로 다루기에 적합하지 않다. 이와 같은 문제는 이 책에서 다루고자 하는 문제의 대표적인 사례이다. 따라서 우리는 단순한 문제는 미적분학에 맡기고, 복잡한 문제를 다루는 데 집중한다는 간단한 격언을 따르자.
극값 문제는 부등식 문제와 매우 밀접한 관련이 있으므로, 이 주제가 책에서 자주 등장하는 것은 놀라운 일이 아니다. 하지만 우리의 관심은 부등식 자체가 아니라, 부등식이 극값 문제를 해결하는 데 기여하는 정도에 국한된다.
이 책은 북미 대학의 2~3학년 수준의 성숙도를 가진 독자를 대상으로 작성되었다. 독자는 기초 미적분학(Precalculus)에 대한 충분한 이해를 가졌다고 가정한다. 미적분학은 필수적인 전제 조건이 아니지만, 미적분학에 대한 사전 지식이 독자의 이해를 높이는 데 도움이 될 것이다.
책에서 다양한 기하학적 기법이 소개되지만, 세 가지 방법은 사용되지 않았다. 직교 및 기타 투영법, 벡터 해석, 복소수 기하학이다. 이러한 방법들은 일부 해법을 단순화할 수 있었겠지만, 이를 도입하면 주제에서 지나치게 멀리 벗어나게 되었을 것이다.
1장에서는 필요한 배경 지식의 주요 내용을 다루고 있으며, 2장부터 본격적인 주제가 시작된다. 일부 독자는 2장부터 바로 읽기 시작할 수 있지만, 1.1절에서는 언어 및 기호에 대한 기본적인 약속을 설명하므로 주의를 기울일 필요가 있다.
이 책은 쉬운 문제에서부터 어려운 문제로 진행되도록 설계되었다. 예를 들어, 평면에서의 등주 문제(주어진 길이를 가진 모든 단순 폐곡선 중 최대 넓이를 가지는 경우)를 살펴볼 것이다. 이 문제는 4장의 4.3절에서 해답이 가정된 상태로 해결되며, 12장에서 해답의 존재를 가정하지 않고 다시 다루어진다. 논리적으로는 이 두 장을 통합하고, 4장의 일부를 제거해야 하지만, 12장은 4장보다 더 어렵기 때문에 독자의 이해를 돕기 위해 순서를 유지하였다.
2장부터 6장은 순차적으로 읽어야 하며, 이후 7장, 8장, 12장은 독립적으로 읽을 수 있다. 9장, 10장, 11장도 독립적으로 읽을 수 있으며, 이 경우 2장과 3장이 배경 지식으로 필요하다.
책 곳곳에는 독자를 위한 문제들이 흩어져 있으며, 문제는 알파벳과 숫자로 표시된다(예: E11은 5장의 11번째 문제). 책 끝부분에는 필요한 경우 모든 문제의 정답과 대부분의 풀이가 있다. 독자가 스스로 문제를 풀어보고 풀이를 최후의 수단으로 참고하기를 권장한다. 이 책은 주로 참고서로 사용되도록 작성되었으며, 연습 문제나 반복 훈련을 위한 문제는 포함시키지 않았다. 저자는 이 책의 일부 내용을 실험적인 강좌에서 여러 번 사용한 경험이 있다.
각 장 끝의 주석에는 자료의 출처뿐만 아니라 추가 읽기를 위한 제안도 포함되어 있다. 책 본문에 일부 참고 문헌이 나열되어 있지만, 대부분은 책 끝의 중요한 목록에 저자 이름의 알파벳 순으로 정리되어 있다. 주제에 대한 완전한 참고 문헌을 제공하려는 시도는 하지 않았다.