실버만 복소해석학

S.Ponnusamy

지은이:HerbSilverman(Silverman,Herb)
CollegeofCharleston,USA  

지은이:S.Ponnusamy(Ponnusamy,S.)
IITMadras,India  

옮긴이:최경식
  

옮긴이:김백진
  

옮긴이:이예찬
  

옮긴이:임상연
  

머리말iii
역자머리말vii
차례ix
제1장대수와기하의예비지식1
1.1복소수체.................................1
1.2직교형식.................................6
1.3극형식..................................17
제2장위상과해석의예비지식29
2.1평면의점집합..............................29
2.2수열...................................38
2.3긴밀성..................................48
2.4입체사영.................................54
2.5연속성..................................59
제3장이중선형변환과여러가지사상75
3.1기본사상.................................75
3.2선형분수변환..............................81
3.3그밖의사상들.............................103
제4장초등함수111
4.1지수함수................................111
4.2사상성질.................................122
4.3로그함수................................132
4.4복소지수................................138
제5장해석적함수147
5.1코시-리만방정식............................147
5.2해석성..................................158
5.3조화함수.................................171
제6장멱급수185
6.1수열의재검토..............................185
6.2균등수렴.................................199
6.3매클로린과테일러급수........................211
6.4멱급수에관한연산...........................227
제7장복소적분과코시정리237
7.1곡선...................................237
7.2매개변수표현법............................252
7.3선적분..................................264
7.4코시의정리...............................274
제8장코시정리의활용295
8.1코시적분공식.............................295
8.2코시부등식과응용...........................318
8.3최대절댓값정리............................332
제9장로랑급수와유수정리345
9.1로랑급수................................345
9.2특이점의분류..............................354
9.3실적분의계산..............................371
9.4편각원리................................395
제10장조화함수417
10.1조화함수와해석적함수의비교....................417
10.2푸애송적분공식............................429
10.3양의조화함수..............................444
제11장등각사상과리만사상정리455
11.1등각사상.................................455
11.2정규족..................................467
11.3리만사상정리.............................474
11.4해석적단엽함수족S..........................486
제12장정함수와유리형함수495
12.1무한곱..................................495
12.2바이어슈트라스의곱..........................509
12.3미타그-레플레르(Mittag-Leffler)의정리...............526
제13장해석적연장535
13.1기본개념................................535
13.2감마함수와제타함수에의응용...................550
참고문헌과참고도서567
일부토의문제와연습문제힌트569

머리말

수학의여러분야가세분화됨에따라학생들은너무빨리특정분야에몰두하려고한다.교육제도또한그러한경향을따라교육과정의세분화를부추기곤한다.예컨대대학의교육과정에서선형대수학과현대대수학은서로공유점이없는것으로여겨지기도하고확률론과통계학은별도과정으로여겨지기도하며기초미적분학의과정없이고급미적분학의과목만개설되기도한다.

이책은실해석학과복소해석학사이에깊은연관이있으며,복소해석학을공부하는과정에서그러한연관성이대단히중요한역할을한다는사실을바탕으로구성되었다.이책에서는복소해석학의이론을전개하기전에실해석학의개념을논의한후그결과를복소함수에적용하여넓히기도하며,복소해석학의문제에서시작하여얻어진결과를실해석학에서다루는개념으로좁히기도한다.두방법,즉일반화와특수화모두복소함수를바르게이해하는데에대단히유용한방법이다.

보통복소수는이해하기어려우며허수단위는기이하다고들생각한다.다행히실수체(realfield)를자세히관찰함으로써이러한유감스러운편견은극복될수있다.이책에서는고급미적분학에대한내용을먼저제시한후새롭게얻은복소함수에대한지식을바탕으로고급미적분학의정리들을다시살펴봄으로써나선형효과를생성하였으며그결과독자들이복소함수에대한편견을극복할수있도록하였다.

또한이책에서는새로도입하는개념들의해석적특징과기하적특징을비교하였다.이를통해우리는자연스럽게“엄밀함”에대한논의를할수있다.최근에는해석적인것은엄밀하며기하적인것은그렇지않은것으로간주되는경향이있다.이와같은이분법으로인하여어떤책에서는풍부하고기하적인내용에지나치게엄밀성을부여하기위해노력하며,다른책에서는해석적인조명없이기하적으로만개념을논의하여지나치게직관적으로내용을전달하려고노력하기도한다.필자는혼란스러운것을명료하도록하는데있어엄밀함이유용하다고생각한다.따라서이책에서기하는해석적개념을시각화하는데에사용되었으며,해석(analysis)은과하게엄밀하지않으면서기하적관념을풀어내기위해적절한수준으로사용되었다.

정리(theorem)를소개하기에앞서때때로동기를부여하기위한논의가제시된다.또한핵심단계와새로얻을수있는결과들을담고있는참고(remarks)가정리다음에제시되어내용을조명해준다.난해한정리에대하여설명이간결하지못한부분이있지만이는불가피한것이라고생각한다.간결함이지혜의핵심이기는하지만정교한수학개념에대한통찰의핵심은아니기때문이다.

서로다른접근법사이의관계를고찰하는것또한중요하므로,몇몇정리는여러가지방법으로증명되었다.한가지방법을따라결과를얻고,동일한결과를얻는또다른방법을살펴보는것이우리의목적이며,최신의수학지식에빠르게도달하는것은부차적이다.

각절의끝에제시된토의문제에대하여짧게언급하고자한다.필자는수학이그자체의내적논리,일관성과함께현재의결과에도달하게된이유에대해서도논의되어야한다고생각한다.결론이“합리적”이라고생각되는가?그것을예상했는가?그단계는자연스러운가또는인위적인가?그결과에대하여다른방법으로다시증명할수있는가?우리가증명한것을직관적으로말할수있는가?그림을그릴수있는가?

“토의문제”는각절의끝에제시되었는데쉽게범주화될수없다.어떤토의문제는단순하지만어떤문제는상당히어렵다.어떤문제는구체적이지만어떤문제는상당히모호하다.어떤문제는답이하나이지만어떤문제는답이여러개이다.어떤문제는증명된내용과관련이있지만어떤문제는앞으로증명할내용에대한복선이된다.이문제들은공통점이있는가?그렇다.이문제들은학생들이사고,이해,창조,질문할수있도록의도된것이다.이문제들은자신의강의에서이를다루고자하는교수자들에게도움이될것이다.

각절의끝에제시된연습문제에대해서는언급할필요가없다.그이유는연습문제가토의문제보다훨씬일반적이기때문이다.토의문제와연습문제의차이점은용어이다.연습문제의풍부함은학생이해당절에서내용을얼마나잘이해하였는지에대하여좋은지표가될것이다.

이책을보기위해필요한예비지식은최소한의고급미적분학에대한내용이다.처음의9개의장은복소해석학을소개하기위한견고한기초를제시한다.그이후의4개의장은심화된주제를자세히제시한다.이는복소해석학의일반이론을연구하고자하는학생을위한기초를제공하기위한것이다.

이책이한학기과정으로사용된다면5장,6장,7장,8장,9장이중심이되어야한다.1장은빠르게볼수있으며2장의개념은이후에응용이될때도입하면된다.3장은모두생략될수있으며4장에서사상의성질은생략될수있다.

필자는이책을집필하면서“자명한(trivial)”이라는단어는사용하지않으려고하였다.
그러나아쉽게도이책의마지막절에제시된리만(Riemann)가설을언급하기위해서리만제타(Riemannzeta)함수의자명한영점(trivialzeros)을다루는표준적인용어를사용해야만하였다.이부분만아니라면우리의바람은이루어진것이다.자세한설명과참고,풀이가제시된예제와통찰이풍부하게제시되어있다.교수자는학생이스스로읽을절을남겨두어야한다.사실이교재를사용하여학생이스스로학습할수도있다.

교수자용지도서에는자세한힌트와토의문제,연습문제에대한해설이제시되어있다.관심이있는교수자는이메일로연락하여PDF파일을받을수있다.

이책의준비를위해도움을주신인도마드라스의CenterforContinuingEducationattheIndianInstituteofTechnology에감사드린다.\par

끝으로이책의원고에대하여즉각적이고효율적인답장으로필자에게큰도움을준Birkhauser출판사의책임편집자AnnKostant에게감사드린다.

2005년6월