유클리드기하학, 문제해결의 기술 : 최소 지식으로 최대 아이디어를 만드는 수학적 사고법

박종하

저자:박종하
박종하창의력연구소대표,창의력컨설턴트.
‘복잡하고어려운것을쉽게,뻔한내용을흥미롭게’전달하는것이목표인창의력선생님.고려대학교수학교육과를졸업하고KAIST에서수학과석·박사학위를받았다.수학박사출신으로경영이나자기계발에관한글을쓰고강의를하는독특한경력을갖고있다.산업교육강사이며자기계발서작가로서일반기업체나공공단체에서성인들에게창의성,문제해결,변화,혁신등의주제로강의를하고,관련된책을쓰며사람들과소통하고있다.삼성전자,PSI컨설팅,이언그룹등에서일했으며현재는박종하창의력연구소를운영하고있다.
저서로《수학,생각의기술UP》《뜻밖의수학》《2단계글쓰기》《생각실험》《다르게생각하는연습》《틀을깨라》《아프리카에서온암소9마리》등이있다.역서로《스탠퍼드수학공부법》《생각을바꾸는생각》《왜나는눈앞의고릴라를못보았을까?》등이있으며,《뇌가섹시해지는모스크바수학퍼즐세트》등을감수했다.

프롤로그:왜유클리드기하학인가?
수학의역사｜유클리드기하학의재미｜논리적인생각과창의적인생각

1부최대아이디어를위한최소지식
1장자신감이기본이다
자신감과적극적인태도가필요하다｜능동적이고적극적으로조작하기｜상상력을자극하기｜내가선생님이라면?가정하기
2장위대하고절대적인유클리드기하학의증명
유클리드가확립한수학의전통,증명｜유클리드의공리
3장기하학의시작,닮음과합동
인류최초의수학자탈레스｜닮음과합동을활용하는법｜탈레스는피라미드의높이를어떻게구했나
4장가장단순한도형,삼각형
삼각형의넓이를구하라｜계산보다이해가먼저
5장문제해결의열쇠,이등변삼각형
두변의길이와두밑각의크기가같은삼각형｜꼭기억해야할이등변삼각형의성질｜임의로이등변삼각형만들기
6장넓이문제의핵심,사각형
도형의넓이란?｜문제해결에필요한네가지사각형
7장완벽한도형,원
기하학을모르는사람은들어오지마시오｜2,200년전원주율을계산한아르키메데스｜완벽한대칭을이루는원｜원과직선이만날때｜점에서원으로선긋기｜중심각과원주각｜원에내접하는삼각형과사각형

2부아이디어를찾는유클리드식사고법
8장비율로생각하기
합리적인수,유리수｜익숙한비율찾기
9장나누어생각하기
잘모르는것을아는것으로나누기｜나누면답이보인다
10장아는도형찾기
익숙한것에서출발하기｜문제안에서찾기
11장익숙한공식적용할곳찾기
가장중요한수학공식｜도형의닮음과피타고라스의정리｜피타고라스의정리를증명하는여러가지방법｜계산이아닌기하학으로증명하기
12장특별한직각삼각형찾기
두가지특별한직각삼각형｜정삼각형의넓이활용하기｜특별한직각삼각형찾기｜원과직각삼각형
13장계산하기와상상하기
무턱대고계산하지마세요｜개념과계산이앞서면상상이가로막힌다｜계산도잘하고상상도잘하는법

3부정답의틀을깨는문제해결의기술
14장꼼수의기술
모범답안은없다｜센스를발휘하는꼼수풀이
15장상상의기술
더넓은부분을상상하기｜가설과검증
16장전환의기술
유연하게생각하기｜돌리고뒤집어서다른시각에서보기
17장찾기의기술
유클리드기하학,이것만알아두자｜특별한도형만찾는다면풀지못할문제는없다
18장조작의기술
적극적으로문제에개입하기｜문제의조건살펴보기
19장단계의기술
전체에서부분으로｜공통인부분찾기
20장파악의기술
주어진정보를필요한정보로바꾸기｜쉽고단순하게문제에접근하는법｜각도로길이와넓이를구하기

에필로그:유클리드기하학은재밌다

고대그리스에서한정된지식으로위대한발전을일궈낼수있었던이유는?
정답의틀을깨고다양한가능성을발견하는고대그리스의수학,유클리드기하학

수학을잘하려면어떻게해야할까?대부분의학생들은선행학습으로진도를빼고모범답안을외우며수학을공부한다.하지만그렇게공부하는학생들은수학에흥미를붙이지도못할뿐더러조금만패턴에서벗어난문제가나오면풀지못한다.계산과암기보다생각과이해가우선이라는사실을잊은결과이다.
《유클리드기하학,문제해결의기술》은기원전300년경의수학인유클리드기하학을통해잃었던수학적사고력과문제해결력을키워주는책이다.고대그리스에서는집을짓고땅을측량하는등실용적인목적으로수학이필요했기에선을긋고도형을그려서각도나길이등을구하는기하학이수학의대부분이었다.한정된지식으로위대한문명을일궈낸고대그리스인의사고법으로수학의본질을일깨울수있다는것이이책의핵심이다.유클리드기하학문제를풀다보면매일마주하는일상의문제까지해결할수있는실마리가보인다.카이스트출신수학박사이자창의력컨설턴트인저자박종하는수학분야스테디셀러《수학,생각의기술UP》에이어이책에서‘수학은암기가아닌생각’이라는사실을다시한번증명한다.

지식이없어도OK!개념을몰라서못푸는문제는없다
‘아이디어의정수’만을꾹꾹눌러담은153개문제로배우는기본도형지식과사고법

유클리드기하학은‘동위각은같다’라는간단한전제에서시작한다.이명제를다양한상황에적용하여문제를해결해나가는것이바로유클리드기하학이다.이처럼유클리드기하학문제는최소지식만으로풀수있는것이가장큰특징인데,이책에서소개하는문제역시초등학교4학년수준의수학지식만있으면충분히즐길수있다.저자는1,000개가넘는유클리드기하학문제중아이디어를최대로활용하는엑기스문제153개를뽑아이책에실었다.이문제들만잘풀수있다면수능의도형문제는손대지않고도풀수있다는건과언이아니다.
만약초등학교4학년수준의수학지식이없다고해도걱정할필요는없다.1부에서는문제를푸는데필요한최소한의지식을쉽고도상세하게설명한다.유클리드의공리부터삼각형,사각형,원의특징까지꼭알아두어야할도형에관한모든기본적인성질이담겨있다.2부에서는본격적으로유클리드식사고법을탐구한다.잘모르는것을익숙하게아는것으로나누거나그관계를파악하는등수학포함,모든문제에적용가능한사고법을알려준다.

일상의복잡한문제까지해결하는유클리드기하학,문제해결의기술
유클리드처럼점을잇고,선을잇고,도형을붙이고자르고뒤집어라!

3부에서는1부와2부에서살펴본기본유클리드기하학지식과유클리드식사고법을바탕으로문제해결의기술을크게7개로나눠제시한다.좋은성적은물론,일상의문제까지해결할수있는비밀무기를얻어가보자.

꼼수의기술:수학공부법중하나는모범답안을달달외우는것이다.하지만모범답안만이정답은아니다.다양한방법으로문제를풀면풀수록수학실력이향상된다.특히편법처럼보이는꼼수풀이를많이하다보면수학적인센스가늘어난다.
상상의기술:유클리드기하학의매력은문제에제시되지않은것을상상할때드러난다.대부분의문제는전체상황의일부만주어지기에,연장선이나보조선을그으며상황을약간확장해보는것만으로도문제해결의아이디어가얻어지곤한다.
전환의기술:다른관점으로바라볼때풀리지않던문제의실마리가보인다.실제로고개를돌리거나문제를옆으로돌리고,때로는뒤집어서보면해답을찾을수있다.
찾기의기술:우리에게익숙한도형을찾으면문제가해결되는경우가많다.유클리드기하학문제의경우(30°,60°,90°)직각삼각형과(45°,45°,90°)직각삼각형이핵심열쇠다.
조작의기술:아이디어가떠오르기만을수동적으로기다리기보다는적극적으로문제에개입해야문제가해결된다.특히특정한부분을오려서적당한위치에붙여보는조작이필요하다.내손으로직접종이를만져가며조작하면문제를보는안목도키울수있다.
단계의기술:전체적인상황을고려한뒤구체적으로하나하나순서를정해서문제를해결해나가야한다.거시적인방법으로문제에접근하겠다는생각인전략이필요한것이다.겁먹지말고문제를조각조각나눠보면풀리지않던문제도풀린다.
파악의기술:문제를풀때필요한정보를모두수집해야한다.정보가많으면많을수록더쉽고빠르게문제를해결할수있다.손으로가장먼저해야할일은필요한정보를문제에표시하는것이다.수학문제는눈이아니라손으로푸는것이라는사실을잊지말자.

추천사

“수학을잘하려면무엇이필요할까?”선행학습,개념외우기…모범답안만달달외워서는생각하는힘을기르고성장할기회를잃어버리고만다.하나의답이아닌다양한풀이를보여주는이책은잃어버린상상의힘,그리고문제해결력을키워준다._박재희(경기과학고등학교수학교사)

다양한상황을접해보고스스로고민해서문제를해결할줄아는학생이오래도록수학에재미를붙이고좋은성적도거둘수있다.보조선을긋고,도형을이리저리옮기며저자와함께153개문제를풀다보면수능에출제되는기하학문제는손대지않고도거뜬히해결할수있을것이다._서의동(현우진수학연구소소장)

제4차산업혁명시대를살아갈우리아이들에게꼭필요한‘사고력’과‘창의력’에관한책.기하학의공식과명제들을다양한접근법을통해쉽게설명하여발상의전환을경험하게해준다.수학이머리아픈과목이아닌다양한문제해결을위한도구임을깨닫고,동시에기하학의아름다움과깊이를경험하게되길희망한다._이충국(㈜크레버스·CMS에듀대표이사)