미분보다적분먼저
절대잊어버리지않는피타고라스정리증명법
학교에서배운수학을제대로이해하자
모든학문의여왕,수학.인간이생각을하게된때부터등장한수학에는수천년에걸친인간지성의정수가담겨있다.수확물을분배하고이자를계산하는일부터지구의크기를구하는문제까지,수학은우리일상과밀착되어있다.하지만지금수학은우리가가장멀고낯설게느끼는학문이되었다.수학책은의미를알수없는기호와도형들로가득하고,우리가수학시간에하는것도공식에맞춰기계적으로문제를푸는일...
미분보다적분먼저
절대잊어버리지않는피타고라스정리증명법
학교에서배운수학을제대로이해하자
모든학문의여왕,수학.인간이생각을하게된때부터등장한수학에는수천년에걸친인간지성의정수가담겨있다.수확물을분배하고이자를계산하는일부터지구의크기를구하는문제까지,수학은우리일상과밀착되어있다.하지만지금수학은우리가가장멀고낯설게느끼는학문이되었다.수학책은의미를알수없는기호와도형들로가득하고,우리가수학시간에하는것도공식에맞춰기계적으로문제를푸는일밖에없다.하지만수학은우리가21세기를살아가기위해꼭필요한도구고언어다.캘리포니아공과대학교수로세계적수리물리학자인오구리히로시는자신의딸또한수학의묘미를느끼길바라는마음으로이책을썼다.수학교과서에나오는개념들을따라가면서때로는수학자들의흥미로운역사를곁들이고때로는이야기글도덧붙이며수학의재미를돋운다.
왜미분보다적분을먼저배워야할까?고등학교수학교과서에서는보통미분을먼저설명한후그역연산으로적분을도입한다.이러한순서는완성된수학을논리적으로가르치기위해서지만,역사적인발전순서로보면정반대다.적분계산을위해아르키메데스가구적법을발명한것은기원전3세기지만뉴턴과라이프니츠가미분법을고안한것은17세기다.적분은면적이나부피등눈에보이는양을계산하기위해필요한개념이었기때문이다.반면미분을이해하려면극한에대한개념을먼저알고있어야한다.그렇다면어려운미분을공부하기전에직관적으로이해하기쉬운적분부터익히는것이더쉽지않을까?이책은수학의역사를따라우리가직관적으로알기쉬운것부터차근차근설명하면서독자들이흥미의끈을놓지않는동시에수학적내용을깊이있게이해하도록돕는다.
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수학은우리일상어디에나있다
고대그리스시대부터성장해온수학은우리일상어디에나있다.따라서수학을이해하는것은세상을읽는새로운언어를획득하는것과마찬가지다.오구리히로시는‘제1장불확실한정보를가지고판단한다’에서확률이아주조금유리할때도박에서의승률이얼마나높아지는지계산한다.가령내가상대방보다3퍼센트정도로확률이유리할때충분한돈을가지고내기를계속하면판돈을두배로만들확률은99.75퍼센트까지올라간다.즉,도박에서는‘아주조금이라도유리할때충분한돈을가지고시작하면거의확실하게이긴다.’이사실은우리가얼마나오래사는가에도적용할수있다.이를테면균형잡힌식생활,적당한운동,규칙적인생활등매일의습관을건전하게개선하는것은오래살확률을‘아주조금유리하게’만들어우리가장수할확률을대폭높일수있다.이확률이얼마나높아지는가숫자로확실하게표현할수있는것이바로수학의힘이다!
결국수학은필요에의해탄생한학문이다.고대부터문명이발달한곳에는항상수학이있었고문명의기틀이되어왔다.아주멀고낯설게만느껴지는수학이실상은우리의삶과직접결부되어있는것이다.가령분모를다시분수로만들어단위분수를이어만든‘연분수’는달력을만드는데사용되어왔다.1년을대략365.24219일로두고분수근사계산을하면365.24219는365+0.024219≒365+1/4이므로4년에한번2월29일까지있는달력을생각할수있다.하지만이경우오차가0.00781일이있다.따라서‘4로나누어지는해는윤년으로하지만100으로나누어지고400으로나누어지지않는해는윤년으로하지않는다’는규칙에따라만든달력이지금우리가쓰고있는그레고리우스력이다.
수학자들만의전유물같은‘소수’도우리생활깊숙이자리잡고있다.수의비밀을품고있어‘수의아톰’이라고도불리는소수는고대그리스부터현대까지수학자들을매료시킨개념이다.수학자들은소수의출현패턴이나소수판정법을연구하고있지만아직까지도소수에는풀리지않은문제가많다.그럼에도소수는우리생활에서긴요히쓰이고있다.바로인터넷상에서쇼핑이나결제를할때사용되는암호시스템이소수의성질을응용해개발된것이다.그동안암호기술은아무리복잡해도암호화의규칙이노출되면금방풀수있었다.그런데소수를이용한암호는암호화의규칙을알고있어도풀수없다.예컨대자물쇠는그것을푸는방법을알고있더라도열쇠가없으면풀지못한다.마찬가지로소수를이용함암호체계도큰수는소인수분해가어렵다는소수특유의성질을이용해각사용자에게고유한‘열쇠’를제공할수있도록한기술이다.이처럼오구리히로시는수학이우리생활을크게바꾼사례를통해일상과는동떨어진것같은수학이실제로얼마나강력한도구인지보여준다.
왜수학을알아야하는가
세상으로나가는딸에게들려준가장강력한무기,수학
학교에서처음수학을배웠을때느낀당혹감을누구나기억하고있을것이다.말로풀어서설명해주는다른과목과는달리수학에서는무엇이든기호로압축해버리기때문이다.손가락으로셈을할수있는수들을넘어음수,분수,그리고소수를배우면서덧셈뺄셈만기계적으로하는동안과연이게실생활에얼마나도움이될까의심해본사람도있을것이다.이런당혹감은학년이올라갈수록더심화된다.삼각형과원,지수와로그,미분과적분등무의미해보이는기호와도형들은자꾸만늘어난다.언젠가는도움이된다는선생님의말을믿으며기계적으로문제를풀어나갈뿐이다.
하지만수학적개념이왜만들어졌는지알고나면수학도좀더친밀해질수있지않을까?가령많은사람들이음수와음수를곱하면양수라고외우면서왜그렇게되는지는이해하지못한다.애초에음수는머릿속으로떠올리기힘든개념이기때문이다.음수를받아들이기어려웠던것은저명한수학자도마찬가지다.17세기까지도수학계는음수를받아들이길주저해수학자블레즈파스칼은‘0에서4를빼면0그대로다’고주장하고,르네데카르트도방정식을풀었을때음수가나오면‘무보다작은수는없다’며거부했다.무리수는더욱받아들이기힘들었다.피타고라스는정사각형의한변과대각선의비에서무리수를발견한히파소스를바다에빠뜨려죽였다고한다.
납득하긴어렵지만음수와무리수는분명자연계에존재하는수이고자연현상을설명하기위해꼭필요한개념이다.인류는이런수들을이용해보다강력한계산방법을활용할수있었다.단순한셈을위한자연수에서시작해뺄셈을자유롭게하기위해0과음수를생각해냈고,나눗셈을자유롭게하기위해분수를생각했고,도형을작도하기위해무리수를발견했다.이처럼수의세계가넓어지면서자연현상에대한이해도깊어졌다.2차방정식의해의공식을발견함으로써대포의포탄이어디에떨어질지예측하게되었고,대수함수의도입으로지구의공전주기를계산할수있게되었으며,이것은뉴턴의중력법칙으로이어진다.
이처럼수학을통해자연현상을해명하는것을오구리히로시는“말할수없었던것을말하고풀수없었던문제를풀수있는”언어를얻은것과같다고말한다.사물에대한정확한표현을위해서만든언어가바로수학이다.수학은이제세상으로나갈딸에게아버지가준비해
