작은 수학자의 생각실험 2 (우리가 몰랐던 수열과 조합의 놀라운 세계)

고의관

저자고의관은서울대학교물리학과에서이학석사,고려대학교에서이학박사학위를받았다.현재미래창조과학부산하한국기초과학지원연구원에서책임연구원으로일하고있다.물리학을전공했지만,고교시절부터수학의매력에빠져별별재미난수학문제를찾아푸는게취미다.해법의문이쉽게열리는않는문제일수록,몇날며칠을매달려야풀리는문제일수록도전하는쾌감이있었다.자신의경험을살려단순공식암기에서벗어나스스로깊이사고하고문제를해결해가는〈작은수학자의생각실험〉시리즈를펴내고있다.‘생각하는수학은힘이세다!’라는모토아래,수학문제하나를풀기위한꼬리에꼬리를무는사고실험을담은책들이다.그첫번째권으로『작은수학자의생각실험1:외우지않고이해하는미분·적분의기본원리』(2015세종도서교양부문선정도서),두번째권으로『작은수학자의생각실험2:우리가몰랐던수열과조합의놀라운세계』가출간되어있다.

|저자의말|5

1장로또의수학12
1.조합의의미
2.확률과여사건
3.순열과조합의계산
4.수열의정의
5.기호∑의의미
6.수학적귀납법
7.행운의카드문제
|수학상식코너:몬티홀문제|
|연습문제|

2장.수열을찾아라!68
1.수형도
2.중복순열
3.전단사의미의활용
4.문제의단순화
5.계차수열
6.텔레스코핑방법
|수학상식코너:게임속에깃든피보나치수열|
|연습문제|

3장.놀라운이항정리의세계112
1.이항전개
2.수학에서일반화란?
3.이항정리의파생공식
4.이항정리와조합의관계
5.「?」원리의증명
|수학상식코너:베르누이수|
|연습문제|

4장.중복조합의새로운이해146
1.실망과희망의교차
2.비밀의문,생성함수
3.중복조합
4.이항정리와중복조합의관계
5.중복조합의예
6.포함배제의원리
|수학상식코너:조화급수|
|연습문제|

5장.지식을꿰어지혜로196
1.등비수열
2.또다른힌트
3.지식이지혜로영글다
4.행운의카드계산의일반화
5.생각하는수학
|수학상식코너:점화식과생성함수|
|연습문제|

|연습문제정답과풀이|230
|찾아보기|251

‘생각하는수학은힘이세다’라는모토아래,수학문제하나를풀기위한꼬리에꼬리를무는사고실험을보여주고있는〈작은수학자의생각실험〉시리즈2권.이번편은두주인공이‘행운의카드를찾아라!’라는듣도보도못한수학문제를풀며수열과조합의의미를차근차근깨쳐가는과정을담고있다.등장인물지민은수식은달달외우는데정작문제해결능력은부족한모범생과.종관은수학감각은남다르지만수학지식이부족한잔머리과.과연이두주인공은어떤생각의여정을거쳐이문제를해결해나갈까?수학적사고력과문제해결능력은어떻게길러질수있을까?단순공식암기와유형별문제풀이에지친이들에게전하는진짜수학이야기!

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생각하는수학은힘이세다!
〈작은수학자의생각실험〉2편출간!

‘달이떨어지면얼마후에지구와충돌할까?’라는엉뚱한질문을풀기위한대여정,『작은수학자의생각실험1』을펴낸저자고의관이새로운수학문제를들고독자들을찾았다.이번에는일명‘행운의카드’경우의수를구하는문제다.1권에서처럼역시나수학문제하나를푸는데책한권의분량이들어가는데…….과연이책의주인공인작은수학자들은어떤생각의여정을거쳐문제를해결해나갈까?
공식암기나유형별문제풀이에지친이들에게‘생각하는수학’의힘을전하고있는〈작은수학자의생각실험〉시리즈.1권은‘달과지구의충돌시간문제’를차근차근풀며미분과적분의원리를자연스레깨치는과정을담아출간즉시독자들의호응을얻었으며,2015년세종도서교양부문에선정되기도했다.
이번에출간된2편은수열과조합단원을다루고있으며,흔한수학참고서처럼개념과문제풀이를단순하게나열하는형식과는전혀거리가멀다.이책은두주인공이듣도보도못한‘행운의카드문제’를풀어나가며수열과조합개념을스스로터득하는과정을이야기형식으로전달하고있다.

공식암기는잘하는데수학성적이시원치않은‘지민’
수학감각은남다른데수학지식이턱없이부족한‘종관’
극과극의두주인공이수학문제를함께풀어나간다면?

〈작은수학자의생각실험〉1권이델타라는한학생의머릿속으로들어가그가펼치는꼬리에꼬리를무는사고실험을담았다면,2권에서는수학을접근하는방법과태도가상이한두주인공이서로협력해문제를풀어나가며성장하는과정을담고있다.

“순열의수를구하는공식은nPr=n!/(n-r)!이야.”
“그공식이어떻게나온건데?”
“글쎄,그건생각해본적이없는데…….”

주인공은지민과종관.지민은교과과정에서수학과목이차지하는중요성을알기에학교공부와학원수업을충실히따라가는인물이다.그러나여느학생들처럼무미건조하게공식암기와유형별문제풀이를반복해서수학성적은시원치않다.
반면종관은시각화,도식화를이용해문제를접근하는수학감각은탁월하지만수학지식은턱없이부족한유형이다.이상반된캐릭터의두주인공은과연어떤시행착오를거쳐‘행운의카드문제’를해결해나갈까?책을읽는독자들은두주인공중어느유형에가까운지스스로를돌아보며자신의수학공부법의문제와단점을점검해나가는기회가될것이다.

우리가몰랐던수열과조합의놀라운세계!
수열부터이항정리까지,수학의여러영역을통합적으로이해한다!

이책에서다루는‘행운의카드문제’는고교수준의수학지식만으로해결가능한문제다.그럼에도이문제가쉽게풀리지않는까닭은한가지수학개념만으로해법을찾을수없기때문이다.‘행운의카드문제’에는다항식(수학I),수열(수학II),순열과조합,이항정리(확률과통계),수열의극한(미적분I)등고등학교수학의여러영역과개념이총집합되어있어,단순히공식을외우며기계적으로수학을공부하는이들에게는해결의실마리가쉽게열리지않을수있다.
이책은단순한조합개념이수열,이항정리,미적분에이르기까지여러영역과연계되는지점,조합개념이다른영역으로그사고가확장되는과정을세심히다루고있다.서로개별영역이라생각했던수열,조합,이항정리등을통합적으로이해할수있는새로운눈을제시하는책이다.또한책전체를관통하는‘행운의카드문제’말고도각장에연습문제를수록해다양한문제를접할수있도록했다.

*이책에서다루는고등학교수학교과과정:
[수학I]다항식,[수학II]수열,[확률과통계]순열과조합,[미적분I]수열의극한

“수학문제하나푸는데몇시간,아니며칠걸린다고무슨문제있나요?”
100문제를푸는것보다문제하나를제대로풀어라!

이책에서수학문제를풀려고분투하는주인공은저자자신의모습이기도하다.저자,이학박사고의관은고교시절부터수학의매력에빠져별별재미난수학문제를찾아푸는게취미다.해법의문이쉽게열리지않는문제일수록,몇날며칠을매달려야풀리는문제일수록도전하는쾌감이있었다.
이책의두주인공역시‘행운의카드문제’를처음받아든지3개월만에제대로된해법을찾는다.수많은고민과생각,실수와시행착오를거친끝에답을이끌어낸것이다.정답을맞히는기술만늘려서는수학적사고력과문제해결능력을키우기어렵다.저자는100문제를푸는것보다시간이오래걸리더라도문제하나를자기힘으로풀어야수학을잘하는생각의근육이커진다고이야기한다.

“문제를많이푸는게수학공부의왕도라고많이들이야기하는데그건틀린생각이야.수학점수가잘나오는학생중에서수많은문제를풀어서문제의각종유형을암기하다시피한경우가있다가하자.이런학생들은자신이배운유형에서조금이라도벗어난문제가나오면전혀손을못대.
하나의문제를푸는데시간은중요하지않아.자신이얼마나많은생각과도전을했느냐가중요한것이지.그리고그렇게투자한시간은결코헛되지않아.백문제푼학생보다한문제를풀더라도너희들이했던것과비슷한과정을거친학생이훨씬수학실력이좋아.수학잘하는사람들의하나같은공통점이상당한시간을들여문제하나를푼다는거야.”
-본문중에서

정답으로가는길이하나는아니다!
수학은누구에게나열려있는자유로운학문이다!

이책에는지민과종관에게수학적영감을주는캐릭터인박사도등장한다.그는두학생에게해결책을주기보다는문제를제시하여학생스스로해결책을찾아가도록유도하는길잡이역할을하고있다.박사는종관과지민에게답이무엇이냐고묻지않는다.어떤생각과고민을거쳐답을유도했는지,그과정을물을뿐이다.저자의수학공부법,교육법을알수있는대목이다.
수학자칸토어가“수학의본질은자유로움에있다”고했듯이저자역시수학은누구에게나열려있는자유로운학문이라고믿는다.그런이유에서그는이책에서제시한해법말고도독자들각자자신만의해법을찾아나서기를바라고있다.정답으로가는길은하나가아니기때문이다.