작은 수학자의 생각실험 3

작은 수학자의 생각실험 3

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Description
생각하는 수학은 힘이 세다!
<작은 수학자의 생각실험> 3권 정수와 소수 편 출간!
‘달이 떨어지면 얼마 후에 지구와 충돌할까?’라는 엉뚱한 질문을 풀어나가며 미분과 적분의 원리를 깨쳐나간 『작은 수학자의 생각실험 1』(2015 세종도서 선정도서), 듣도 보도 못한 ‘행운의 카드’ 문제를 통해 수열과 조합 개념을 터득해나간 『작은 수학자의 생각실험 2』(2017 한국과학창의재단 선정 우수과학도서)를 펴낸 고의관 저자가 새로운 수학 문제를 들고 독자들을 찾아왔다.

‘생각하는 수학은 힘이 세다’라는 모토 아래, 수학 문제 하나를 풀기 위한 꼬리에 꼬리를 무는 사고실험을 보여주고 있는 <작은 수학자의 생각실험> 시리즈 3권. 『작은 수학자의 생각실험 3』은 알 수 없는 비밀문서를 발견한 주인공들이 암호문 해독을 위해 정수와 소수의 신비한 성질을 익혀나가는 과정을 흥미롭게 담고 있다. 정수론은 수학자 가우스가 ‘수학의 여왕’이라 일컬었을 만큼 수학의 중요한 토대를 이루고 있는 분야다. 특히 이번 책은 오늘날 정보화 시대에 대표적인 암호화 알고리즘인 RSA 암호를 수학의 원리로 이해하는 여정이라 할 수 있다. 배수와 약수부터 오일러 함수까지, 고대 로마의 시저 암호부터 최근의 RSA 암호까지, 수학과 암호학이 만나는 특별한 생각실험 속으로 들어가보자!
저자

고의관

서울대학교물리학과에서이학석사,고려대학교에서이학박사학위를받았다.현재과학기술정보통신부산하한국기초과학지원연구원에서책임연구원으로일하고있다.물리학을전공했지만,수학의매력에빠져미분,적분,수열,조합,방정식등분야별로수학노트를만들어온지도여러해가됐다.‘생각하는수학은힘이세다’라는모토아래<작은수학자의생각실험>시리즈를펴내고있다.그동안물리법칙을뿌리삼아탄생한미적분을물리학과수학의눈으로통합적으로설명한『작은수학자의생각실험1』,단순한조합개념이수열,이항정리,미적분등여러영역으로사고가확장되는과정을다룬『작은수학자의생각실험2』,정수와소수의특별한성질을비밀번호암호화원리로흥미롭게선보인『작은수학자의생각실험3』을썼다.

목차

여는글│생각하는수학은힘이세다!

1장선조가남긴유산
*암호의원천은수학!
1수수께끼같은선조의유품
2유한소수와순환소수
3순환소수가되는이유
*연습문제

2장오래된문서와암호
*소수가수학에서차지하는의미
4시저암호
5영문의빈도수
6혼돈속에숨어있는규칙
7소수와합성수
8배수판정법
9소수의판정
10암호의조합
*연습문제

3장암호문숫자의비밀
*나머지와합동식
11귀류법
12소수의개수
13소수의분포
14공개키암호의개념
15공개키알고리즘
*연습문제

4장지식을꿰어지혜로
*수학계의거장,오일러
16합동식의정의
17사칙연산이가능한합동식
18거듭제곱의나머지계산
19페르마의소정리
20소수와는다르게움직이는합성수
21서로소가지닌의미
*연습문제

5장마침내해독된암호문
*비대칭암호의대표,RSA암호
22포함배제의원리
23오일러피함수
24생각을담은수식
25공개키암호제작
26유클리드호제법
27어려운소인수분해
28드디어해독된숫자
*연습문제

닫는글│수학의기본부터실력다지기까지,정수로시작하는생각실험

부록
부록1.영문의빈도수
부록2.에라토스테네스의체
부록3.7의배수판정법
부록4.소수의무한성증명
부록5.소수의분포도
부록6.RSA암호
부록7.페르마의소정리의증명
부록8.오일러정리의증명
부록9.포함배제의원리
부록10.a=bq+r일때gcd(a,b)=gcd(b,r)의증명
부록11.합동식의역수(잉여역수)구하기
부록12.소수의미해결문제들
부록13.복호화과정

연습문제정답과풀이
찾아보기

출판사 서평

“비밀문서해독하고보물찾으러가자!”
배수와약수부터RSA암호까지,
꼬리에꼬리를무는수학질문들이쏟아진다!

알수없는문자와숫자들로조합된비밀문서를발견한진호,진희남매.도대체어떻게해독한담?암호풀이해독에는길이잘안보이건만,이들앞에정수와소수의신비한성질이조금씩모습을드러내고,수학질문들이꼬리에꼬리를물고생겨난다.

2311은소수일까,아닐까?10000까지수중에는소수가몇개있을까?5의100승을7로나눈나머지는?4의1000승을11로나눈나머지를구하라고?어떻게?36372와7959,두수의최대공약수는?1부터900까지의정수중900과서로소인수는몇개일까?……그런데이모든질문이비밀문서를푸는중요한열쇠가된다고?『작은수학자의생각실험3』은비밀문서암호해독과함께정수·소수의수수께끼같은성질을만나는‘암호풀이삼총사’의생각여정을담고있다.

‘정수’는양의정수(+1,+2,+3,…),0,음의정수(-1,-2,-3,…)를통틀어부르는말이다.마치1,2,3,…수세기처럼쉬워보이지만수학의기본기부터실력갖추기까지좌우하는아주중요한수학영역에해당한다.그래서이책은초등과정에서배우는배수와약수같은기초개념에서시작해중등과정의소인수분해,문자와식,그리고유클리드호제법,페르마의소정리,오일러피함수등과같은상위개념으로까지생각이서서히진화해가는과정을마치수학자의머릿속을들여다보듯생생하게그리고있다.‘암호풀이삼총사’의생각여정을따라가다보면,이전에는외계어로보였던유명한수학자의정리가왜만들어졌는지,어떻게활용되는지종합적으로이해하는경험을하게될것이다.

“초등고학년수준정도만되어도35를소인수분해하라고하면5와7의곱이란점은아주쉽게알아냅니다.하지만893을소인수분해하라고하면시간이좀걸릴거예요.그런데10자리수를소인수분해하려고하면아마엄두가나지않겠죠.이런큰수의계산을쉽고간단하게처리하는방법,즉지혜를발굴하는여정이수학이라고할수있습니다.RSA암호,유클리드호제법모두간단한수학의지식에서얻어진인간의놀라운지혜의산물입니다.이책은그러한지혜가어떻게생기는지를알아가는과정입니다.”-닫는글에서

수학과암호학의만남!
수학의원리로이해하는RSA암호와놀라운정수·소수의세계

이책의특별한점은수학과암호학의만남을이야기형식으로흥미롭게풀어냈다는점이다.RSA암호는인터넷보완과전자상거래에필요한대표적인암호화알고리즘으로,RSA암호를개발한세연구자는컴퓨터공학의노벨상이라불리는튜링상을수상했을만큼이분야에공헌한바가크다.이책은최초의비대칭형(공개키)알고리즘인RSA암호가어떠한수학적원리로이루어져있는지차근차근밝히는시도이기도하다.

RSA암호알고리즘의기반이되는수학원리는초등부터고등학교과정에서배우는수학개념을확장해이해할수있는내용이다.이책의세주인공들은배수,약수,소수,소인수분해,최대공약수,합동식,서로소등의수학개념을파악하며비밀문서암호해독에점점가까워진다.세주인공들의사고실험을쫓다보면위대한수학적발견인유클리드호제법,페르마의소정리,오일러피함수가어떤의미를가지며어떻게응용되는지자연스레이해하게된다.

특히이모든암호화비밀의큰열쇠는불규칙한소수의특성에서비롯한다.1과자기자신만을약수로가지는양의정수라는간단한정의와다르게,소수의분포는매우불규칙하며소수를만들어내는공식은아직까지알려진것이없다.그럼에도거대한불규칙속에서작은규칙성을찾기위한수학자들의노력은고대부터오늘날까지계속되고있다.소수판정,소수의무한성증명,페르마의소정리,오일러피함수등이책에서다루는내용도그러한노력의결과물들이다.과연수학자들의머릿속에서어떤생각들이오고갔을까?이책에서작은수학자들의위대한발견의순간을함께만끽해보길바란다.

“많은부모들이우리아이가수학천재가아닐까하는착각을한번쯤합니다.조기교육으로어린나이에비해아는것이많으니뿌듯함을느끼게되거든요.하지만학년이오를수록배워서습득하는것에만익숙해지면서생각할줄모르는뇌가되어갑니다.(…)그저배우는데만급급하면머릿속에한가지길만형성되어자신의지식이나정보를상황에맞게끌어올수없어요.그것은머릿속에있다해도길잃은수학지식에불과하답니다.

이책은단지지식을전달하려는목적으로쓰이지않았습니다.어떻게수학적지혜가발현되는지를여러분에게소개해수학에흥미와관심을불어넣을수있었으면하는바람으로쓰였답니다.책의주인공들은선조가남긴암호문을해독하기위해부단히노력합니다.누군가에게배우거나도움을받지않고스스로의힘과정보를가지고새로운사실들을하나씩도출해내면서암호문해독에이르게돼요.나중에는인류의위대한수학자인오일러가빙의한것처럼그가발견한정리를찾아내기까지한답니다.과장된면도있지만,반드시과장만은아니라는것을알아주셨으면해요.이책을통해독자여러분이수학지식을넘어지혜를얻을수있기를기대합니다.”-여는글에서

◆생각하는힘을길러주는‘작은수학자’시리즈
하나의수학문제를풀기까지,머릿속에서일어나는자유로운생각의항연들!
단순암기에서벗어나스스로깊이사고하고시행착오를거쳐
문제를해결해나가는진정한수학의즐거움을만난다!

작은수학자의생각실험1
외우지않고이해하는미분·적분의기본원리
고의관지음│248쪽│값13,000원
“만약달이공전을멈추고지구를향해떨어진다면,
얼마후에지구와충돌할까?”
엉뚱한질문하나로시작된끝없는수학적사유의향연!
*2015문화체육관광부세종도서교양부문선정

작은수학자의생각실험2
우리가몰랐던수열과조합의놀라운세계
고의관지음│252쪽│값15,000원
수학적사고력과문제해결능력은어떻게길러질까?
수열과조합의의미를깨쳐가는생각여정!
*2017한국과학창의재단선정우수과학도서

작은수학자의생각실험3
비밀번호암호로배우는놀라운정수·소수의세계
고의관지음│236쪽│값15,000원
약수와소수부터오일러함수까지,
정수로만나는수학의기본기와실력다지기!