보이는 수학책 : 머릿속에 그림처럼 펼쳐지는 일상의 모든 수학 원리

박만구

서울교육대학교를졸업한후,10년정도초등학교교사로근무하다미국웨스트체스터대학에서수학교육으로석사,조지아대학에서박사학위를받았다.현재는서울교육대학교수학교육과교수로예비교사및현직교사들을지도하고있다.한국수학교육학회회장을역임하고,현재한국초등수학교육학회회장을맡고있다.

서울교육대학교에서미래의초등학교교사들을양성하고현재초등수학교과서를집필하고있는명실상부우리나라수학교육의한가운데에서있는학자이자교육전문가이다.전세계수학교육의흐름을파악하고,우리나라에보다나은수학교육을도입하기위해방법을모색하고연구하고있다.그는수학을잘하는아이들이많아지려면무엇보다아이들이수학을좋아해야한다고말한다.‘즐거운수학’이라는모토아래놀이와교구를활용한수학교육을제안하고,더이상어려운수학이아닌아이스스로재미와흥미를느낄수있는친근한수학,생각하는수학의길을제시하고만들어나가는데앞장서고있다.

여는글:우리가수학을공부하는이유

1부수학으로몸풀기
왜수학을공부해야할까?│간단한계산에도다양한해법이?│숫자를가지고노는창의적인계산법│학교에서도가르쳐주지않는곱셈법│수의묶음으로이해하는진법│넓이문제를푸는색다른사고│도형을해부하며공간감각을키우자│자르고모으면서도형과친해지자│삼각형으로배우는수학의기초

2부수학으로생각하고증명하기
고정관념을깨면해법이보인다│그림만그려도증명이된다│왜1+1=2일까?│왜0으로나누면안될까?│초등학생도이해하는분수셈의원리

3부외우지않고수학공식이해하기
어떤수든지쉽게배수를판정하는법│근의공식을이해하고활용하는법│사다리꼴넓이를구하는공식의비밀│원의넓이를구하는공식의비밀│둥근입체의부피를구하는법

4부일상에서수학의원리발견하기
종이접기로수학과친해지는법│무늬의규칙속에숨겨진수학의비밀│인공지능에활용되는수학의원리│수학과인문학의아름다운만남

5부내가배운수학재미있게알려주기
문제를풀지만말고만들어도보자│문제하나에답은여러개,하나의답에도다양한해법│같은질문이라도다르게해석될수있다│자와컴퍼스로만들어내는도형과수의세계│흔히쓰이는수학용어들의진짜의미

맺는글:문제해결에최적화된도구,수학을배운다는것

주석

“내사전에더이상‘수학포기’는없다!”
외우지않고,눈으로익히며,내머리로생각하는수학시간

“수학공부의비결은근거없는자신감이다”
2022년필즈상수상자허준이교수의통찰

2022년7월한국최초로수학계의노벨상이라불리는필즈상을수상한허준이교수가연신화제에오르고있다.수학자들에게도평생의난제로꼽히는‘11개의수학난제’를해결한허준이교수의업적은우리의미래를책임질매우중요한연구에활용될것으로전망된다.허준이교수의연구성과가정보통신,반도체,통계물리,빅데이터등현대의많은기술에적용된다는사실은,갈수록복잡해지는네트워크와빠른속도로발전하는인공지능에둘러싸인우리의일상에서도수학적사고가필수적인덕목이되어가고있음을여실히보여주고있다.

그럼에도여전히‘수포자’들이넘쳐나는현실에서,허준이교수는수학을잘하는비법으로‘근거없는자신감’을꼽았다.다른어떤학문보다도인과관계와논리적인사고를바탕으로하는수학분야에서어떻게‘근거없는’덕목을내세울수있을까?허준이교수는당장시험문제에서요구하는답을얻을수없을지라도,정해진답을구하는데실패했을지라도,확실한능력이없어미래가불안정할지라도꾸준히공부하는‘용기’야말로수학을잘하는비결임을강조한다.오로지입시만을위해공식을암기하여‘문제은행’에있는수백가지문제를반복적으로푸는것은수학에대한흥미를떨어뜨릴뿐이다.단한문제를풀더라도자신의머리로그문제의원리를이해하고,일상에서도수학의원리를발견하려노력하는것이수학공부의첫걸음이라고허준이교수는강조한다.

“외우지않아도되는,원리로이해하는수학”
눈에보이는대로문제가풀리는신기한수학공부

주입식으로만수학을배우는것을넘어,어떻게수학의원리를이해하고적용할수있을까?수학때문에고통받는사람들을위해오랫동안최적의수학교육방법을개발해온박만구교수는신간《보이는수학책》을통해어른과아이모두에게필요한수학적사고의기초를담아냈다.학교에서한번쯤배워봤을법한수학공식이나개념?용어부터우리의실생활과연결되는수학적아이디어에이르기까지,이책은다양한시각적도구로수학의논리적인바탕을풀이하며그간우리가수학공부에서간과해왔던‘왜’라는질문에집중한다.‘문제풀이집’이나‘수학익힘책’으로풀이과정까지외우며공부해왔던우리에게이책은그저눈으로보고익히는과정속에서‘내머리로’수학원리를단숨에이해하고적용하도록안내한다.

단순한계산부터복잡한공식까지
학교에서도배워본적없는독특한셈의비밀

간단한덧셈이나뺄셈에서도수학적인원리를알면다양한방법으로풀어나갈수있다.예를들어17-8을할때어른들은일의자리끼리뺄수가없으니십의자리에서빌려오는것(받아내림)을당연하게생각하지만,아이들은숫자를구슬의묶음단위로생각해서10개구슬묶음에서8을빼고남은2를7개구슬에더해9라는답을얻기도한다.이책은이러한수학적인사고를발전시켜단순히하나의답으로귀결될수없는,여러가지풀이방법이동원되는다양한문제와명제들을소개한다.4를네번사용하여답을이끌어내는포포스게임,10진법을넘어3진수,5진수의원리를시각적으로이해하기,수를0으로나누면안되는이유,분수의나눗셈이역수의곱셈이되는이유,1+1=2를증명하는법등이책은우리가당연하게만여겨왔던셈의원리를다시들여다보며계산기에게만맡겨둘수없는수학적사고의풍성한비밀을파헤친다.

공간감각을익히는기하학부터인공지능에쓰이는수학까지
일상의다양한분야에서쓰이는수학적사고의원리

기하학은도형들의다양한특징을이해하고2차원이나3차원의영역에서공간적인감각을익히는데쓰인다.설계사나건축가들,수술을하는의사들뿐만아니라거리를어림하거나건물의모양을짐작해야하는운전사들에게도기하학적인공간감각은반드시필요하다.이책은도형을자르고해부했을때어떤모양이나타나는지,원이나사다리꼴등다양한도형의넓이를구하는공식이왜그렇게만들어졌는지,피타고라스의정리를어떻게증명할수있는지등을시각적으로보여주면서‘그림’으로단박에수학을이해하고활용할수있도록안내한다.나아가종이접기나테셀레이션놀이등으로특정한패턴이나규칙속에숨겨진수학을알려주고,인공지능에서활용되는빅데이터학습방법을소개하는등놀이부터첨단산업에이르기까지논리적사고의엔진이되는수학활용법을제시한다.

“수학에서도답은하나가아닌여럿이될수있다”
인생의문제를해결하는창의적인학습법을찾아서

저자는창의적인사고를일으키는수학학습법으로문제를푸는것을넘어다른수학문제를만들어보는것을추천한다(허준이교수도아들에게자주사용하는수학교육법이다).다양한수학영재교육에참여해왔던저자는정해진답을구하는방식을넘어문제의의도와원리를정확하게이해하고이를다양한방법으로표현하는훈련을거쳤을때수학적인사고가한층더발전할수있다고강조한다.교과서에서배운것을그대로적용하는방식으로는고난이도의수학문제를해결할수없다는것이다.우리의고정관념을깨는기상천외하면서도신기한문제들을다루면서이책은스스로생각하고풀어나갈수있는수학적사고의기초를제공한다.

저자는복잡해보이는인생의문제도수학적으로사고하면단순?명확해진다고강조한다.수학의힘은보이는것뿐만아니라보이지않는것까지도논리적인사고를통해추론하는데있기때문이다.이는수학과인문학의아름다운만남을통해가능하다.일례로인생에서최대의행복을얻는공식은우리가배운분수의성질을통해표현할수있다.바로‘행복의크기=내가이미성취한것/내가바라는것’이라는공식이다.이공식에따르면아무리많은것을성취하더라도바라는것이그보다크면만족할수없고,비록성취한것이적더라도바라는것이그보다적다면충분히만족할수있다.이같이수학적인아이디어에근거할때우리는어떤철학자도쉽게정의내리지못한행복의비결을알게되고,어떤어려운문제앞에서도끝내는최적의해결책을제시하는‘근거없는자신감’을가질수있을것이다.