음악 수학 : 음악에게 수학의 헌정

데이비드벤슨

저자:데이비드벤슨
영국애버딘대학교순수수학과의6대의장교수다.조지아,옥스포드,노스웨스턴,예일에서경력을쌓았고전세계여러곳을방문하며연구했다.열렬한아마추어가수이며많은오페라에서공연했다.

역자:추정호
KAIST에서수학및기계공학을공부하고이론유체역학으로박사학위를받았다.증권사에서퀀트로서금융공학분야의일을하고있으며,클라우드컴퓨터를금융권에도입했고세계인명사전에등재됐다.현실세계를수학으로모델링한후에컴퓨터로시뮬레이션하는것을좋아한다.양자컴퓨터,인공지능,음악수학,게임이론에관심이많다.
삭막한정서로피아노를연습하고굳은몸으로단전호흡을하고있다.

1장.파동과배음
1.1소리란무엇인가?
1.2인간의귀
1.3귀의한계
1.4왜사인파인가?
1.5조화운동
1.6진동하는현
1.7사인파와주파수스펙트럼
1.8삼각함수의관계식과맥놀이
1.9중첩
1.10감쇠조화운동
1.11공명

2장.푸리에이론
2.1들어가며
2.2푸리에계수
2.3우함수와기함수
2.4수렴조건
2.5깁스현상
2.6복소수계수
2.7페예르정리의증명
2.8베셀함수
2.9베셀함수의성질
2.10베셀방정식과멱급수
2.11FM피드백과행성운동의푸리에급수
2.12펄스스트림
2.13푸리에변환
2.14역변환공식의증명
2.15스펙트럼
2.16푸아송의합공식
2.17디랙델타함수
2.18합성곱
2.19켑스트럼
2.20힐베르트변환과순간주파수

3장.관현악단을위한수학
3.1들어가며
3.2현에서파동방정식
3.3초기조건
3.4활로켜는현
3.5관악기
3.6드럼
3.7라플라스연산자의고윳값
3.8호른
3.9실로폰과관모양의벨
3.10엠비라
3.11징
3.12종
3.13음향학

4장.협음과불협음
4.1배음
4.2단순정수비율
4.3협음과불협음의역사
4.4임계대역폭
4.5복잡한음
4.6인공스펙트럼
4.7결합음
4.8음악적역설

5장.음계와음률:다섯가지방법
5.1들어가며
5.2피타고라스음계
5.3오도권
5.4센트
5.5순정률
5.6장조와단조
5.7딸림7화음
5.8콤마와시스마
5.9에이츠의표기법
5.10다양한순정률음계
5.11고전화성
5.12가온음률
5.13불규칙음률
5.14평균율
5.15역사에관하여

6장.또다른음계
6.1해리파트치의43음과다른순정음계
6.2연분수
6.353음계
6.4다른평균율
6.531음계
6.6웬디카를로스의음계
6.7볼렌-피어스음계
6.8동음벡터와주기성블록
6.9셉티멀화성

7장.디지털음악
7.1디지털신호
7.2디더링
7.3WAV와MP3파일
7.4미디
7.5델타함수와샘플링
7.6나이퀴스트정리
7.7z변환
7.8디지털필터
7.9이산푸리에변환
7.10고속푸리에변환

8장.합성
8.1들어가며
8.2포락선과LFO
8.3가산합성
8.4물리적모델링
8.5카르플루스-스트롱알고리듬
8.6카르풀루스-스트롱알고리듬에대한필터해석
8.7진폭변조와주파수변조
8.8야마하DX7와FM합성
8.9피드백또는자기변조
8.10CSound
8.11CSound를이용한FM합성
8.12간단한FM악기
8.13CSound의기타
8.14기타합성방법
8.15위상보코더
8.16체비쇼프다항식

9장.음악의대칭
9.1대칭
9.2은자카라의하프
9.3집합과군
9.4종소리바꾸기
9.5케일리의정리
9.6시계산술과옥타브등가
9.7생성자
9.8음렬
9.9데카르트곱
9.10이면체군
9.11궤도와잉여류
9.12정규부분군과몫군
9.13번사이드의보조정리
9.14음높이등급집합
9.15포여의열거정리
9.16마티외군M12

부록A.베셀함수
부록B.평균율
부록C.주파수와MIDI차트
부록D.음정
부록E.순정률,평균율,가온음률의비교
부록F.음악이론
부록G.녹음

청소년시절에는음악에별관심없었다.그후에도아무런상관없이지내다가40대중반에불현듯동네에있는조금큰피아노학원에갔다.집에서가까워서찾아간이학원은서울에서유명한대입전문학원이었고레슨을맡아주신선생님은연주학박사학위를가지신분이었다.
문제는초등학생보다못한내음악감성과굳은손가락에있었다.연습을해도별로진전이없었다.다행히계속음악에노출되다보니음악에대한관심은높아졌다.그러다가우연히동네도서관에서알게된대니얼J.레비틴의『뇌의왈츠』(마티,2008)을읽은후에음악을새롭게생각하게되었다.
미국MIT대학교교수인스티븐핑커는『마음은어떻게작동하는가』(동녘,2007)에서음악은“청각적치즈케이크”에불과하다는주장을했다.비유를하자면안경을걸기위해서코가진화적응한것이아니라진화의부산물이라는것이다.이런주장에반대하면서레비틴은인류생존을위해서음악이필요했다는증거들을뇌과학,진화생물학등다양한분야에서제시했다.
개인적인생각으로는음악은진화적응인것같지만본인이전공했던수학은진화의부산물인것같다.수학은역사적으로동양보다서양이더발달했고,시험을준비하는학생들만관심을갖는다.이렇게음악과수학은뚜렷한차이가있지만,그럼에도피타고라스,아인슈타인,하이젠베르크,파인만등과같이음악에도능통한유명한수학자와과학자들이많다.분명히음악과수학에는공통점이있는것같다.
호프스태더의『괴델,에셔,바흐』(까치,2017)은(미술까지포함한)이런공통점에대해자세히설명한다.무한을다루는수학,무한히상승할수있는2차원계단,영원히반복되는캐넌을생각하면공통점이느껴진다.특히,바흐의“그랩캐넌”을“뫼비우스띠”를이용해시각화한유명한유튜브영상을보면말로표현하기어렵지만음악과수학의공통점을알수있다.
호프스태더가언급한바흐의작품집은“Musicaloffering”이다.독일의피아노산업을장려했던프리드리히대왕이바흐를궁중으로초청해소장하고있던여러대의피아노를보여주었다.바흐는이에대한답례로각각의피아노에서즉흥연주를했고집에돌아간후에연주한곡을정리해서대왕에게헌정하는작품집에이제목을사용했다.
인터넷에서이책의원서를처음본순간,『Musicaloffering』을패러디한책제목부터심상치않은내공이느껴졌다.이책은기대를저버리지않았다.귀의해부학에서시작해음향학,음계의역사와원리,디지털음악,무조음악을모두수학적관점에서상세하게설명하고있다.가히“Mathematicaloffering”이라할만하다