미적분의 쓸모 : 보통 사람들도 이해하는 새로운 미래의 언어 (증보개정판) (양장)

한화택

평생미적분을다뤄온기계공학자.서울대학교기계공학과를졸업하고,같은대학원에서공학석사,미국미네소타대학교에서공학박사학위를받았다.현재는국민대학교기계공학부교수로재직중이다.마르키스후즈후,국제인명센터,미국인명정보기관,세계3대인명사전에모두등재되어있으며,미국기술사(PE)와대한상사중재원의중재인으로등록되어있다.또한미국냉동공조학회펠로우,대한설비공학회석학회원,한국공기청정협회편집위원장등을맡고있다.

《공대생이아니어도쓸데있는공학이야기》《공대생도잘모르는재미있는공학이야기》를집필하고,《너도엔지니어가되고싶니?》등을번역했다.2022년에는저술및강연활동을통해공학문화확산에기여한공로를인정받아한국공학한림원에서제17대해동상을수여했다.

들어가며
세상의변화를이해하고미래를예측하는언어,미적분·005

I.혁명의시작,순간속도를계산하라:가속도·011
세상에움직이지않는것은없다·015│세기의발견과가속도의관계·017│물리학자인뉴턴은왜미분을고안했을까?·020│도로의무법자를잡는미분·029│뛰는캥거루운전자,그위를나는미분·034│통과지점은중요하지않다,새로운가속도측정법·036│가속도의법칙으로떠나는우주여행·040│스페이스X의성공비결,회전운동과미분·045
미적분이만든미래│새로운배송시대의도래,드론을제어하라·050

II.자연의곡선을구현하기위한인간의언어:기울기·059
극한과무한의역사·063│한계가없는수를설명하는미적분학·068│기울기로이해하는미분·071│도시를연결하는곡선기하학·075│세상을구성하는나선의종류들·080│자연의아름다움을담아내는곡선디자인·084
미적분이만든미래│자연의곡선을그리는컴퓨터회화,CG·088

III.인공지능이빅데이터를학습하는방법:최적화·093
현실적인타협점을구하라·096│최적화를어렵게만드는조건,다변수·102│아마존과인공지능의연결고리,최적화·105│복잡한현실을반영한모델,인공신경망·110│인공지능을학습시키는최적화방법,경사하강법·115│우리는언제만능AI비서를만나게될까?·123
미적분이만든미래│인공지능이발달할수있었던또다른요인들·127

IV.작은움직임을모으면변화의축이보인다:기하학·131
원의면적을구하는고대수학·134│특명,코로나확진자발생률을파악하라·141│적분을활용한오늘날의측정방법들·147│적분이이끈의학발전,CT촬영·155
미적분이만든미래│대용량데이터압축이가능해진비결,푸리에변환·162

V.디즈니영화가전세계를사로잡는법:나비에-스토크스유동방정식·171
유체변화를가장잘표현한방정식·175│해가없는방정식을활용하라!전산유체역학·179│유동방정식을활용한수학자,오스카상을받다·183
쓸모있는미적분개념│자연현상을설명하는미분방정식들·188

Ⅵ.우리는어떤미래를향해나아가고있는가?:미적분의예측하는힘·197
한계효용,가장만족스러운결과가나오는순간·199│재난지원금을어느계층에지급해야효용을극대화할수있을까?·201│미래는어떻게움직이는가·203│미적분으로이해하는경제의흐름·210│내미래자산은언제2배가될까?근사법·219│단타vs장투,미적분이알려주는안전한투자전략·224
쓸모있는미적분개념│미적분으로읽는‘인생곡선’·236

미적분으로열린새로운시대,미적분으로예측하는미래
변화를읽는힘을길러주는수학교양서

인간이미적분을이해하지않았더라면,그쓸모를제대로이용할줄몰랐다면오늘날과같은시대는상상하기어려웠을것이다.이책은그러한미적분을이용해미래를읽고움직인사람들의이야기를담았다.

스페이스X의로켓추진체재활용사업은그동안많은실패를겪고드디어성공을거두기시작했다.(중략)무엇보다도마지막순간에로켓추진체를안전하게착륙시키는기술이중요한데,바로하강속도제어와자세제어기술이다.질소분사장치가소량의질소를수평으로분사하여미세한회전력을만들어내면,일종의소형날개인그리드핀이각도를조정해서방향을미세하게조절한다.모두회전운동을미분적으로파악해야가능한일이다._Ⅰ.혁명의시작,순간속도를계산하라

인공신경망모델은기존의미분방정식모델과달리과학법칙이나규칙이아니라현실데이터에기반한모델이다.하지만인공신경망의알고리즘은손실함수를최소화하는과정에서미분의개념을사용한다.앞서이야기한뉴턴의법칙또는질량보존의법칙등물리법칙에기반하여수식화된미분방정식을이용하지만않을뿐,인공신경망을엄청난양의데이터로학습시키는데미분의개념은필수불가분의관계다._Ⅲ.인공지능이빅데이터를학습하는방법

해일이치는장면이나물이튀어오르는유동과같이서로충돌하거나물체표면과상호작용하는불규칙한운동을정확하게모사하기위해서는오일러방법보다흩어지는입자들을따라가면서모사하는라그랑주방법이더적합하다.디즈니영화<겨울왕국>에서는이와관련된수학모델을이용해생동감있는눈의움직임을표현했다.주요하게사용된MPM알고리즘은입자를개별적으로보지않고연속체로해석하는데,눈이녹은정도에따라눈이가지는물성의변화를고려하기에최적의모델이다._Ⅴ.디즈니영화가전세계를사로잡는법

또한적분의원리를통해인체에칼을대지않고도염증및암의위치를알수있게되었고,한줄의미분방정식을통해애니메이션제작사픽사는전세계를사로잡았다.이밖에도도로설계,데이터압축등을통해엿본미적분의쓸모는무궁무진하다.변화의최전선에는수학의꽃미적분이있다.
오늘날미적분의쓸모는고속연산이가능한컴퓨터를만나더욱확장되고있다.훨씬똑똑해질인공지능부터무인자동차,게임,AI펀드등미적분이우리에게선사할미래는예측불가능하다.이렇게급변하는사회에서미적분을이해하는것이야말로새로운교양이아닐까.

이제는미적분수식을풀필요가없다
미적분으로사고하는것이중요하다

그동안의미적분교양서는‘미적분을얼마나쉽게이해하고풀수있는가’에초점이맞춰져있었다.《미적분의쓸모》는다르다.이책은수학의쓸모에눈뜬사람들그리고여전히‘계산’이라는말만들어도머리가지끈지끈한사람들도쉽게읽고이해할수있는미적분활용법을담았다.무엇보다도통읽기조차어려운수식이보이더라도직접풀일이없도록했다.반갑게들릴지는모르겠지만,미적분계산은너무복잡해서컴퓨터에맡길수밖에없는것이현실이다.

CT의적분원리를알아보기위해서단순화된신체단면을생각해보자.신체를4X4의격자로나누었을때뼈(2)와장기(1)가(그림과같이)분포되어있다고가정하고광선을신체의네방향으로투과하면네장의필름을얻을수있다.필름상에나타난영상을사이노그램이라한다.사이노그램은광선방향으로합산된광량의적분결과를보여준다.여기서네장의사이노그램에나타난적분결과를수학적으로계산해서신체내부의16개격자값f(x,y)를알아낼수있다.쉽게얘기해서16개의방정식을풀어16개의미지수를계산하는과정이라생각하면된다._Ⅵ.작은움직임을모으면변화의축이보인다

이외에도인공지능이빅데이터를학습하는방법인경사하강법을설명할때는산에서내려오는일에빗댄다거나미분의기초개념을설명할때는과속방지카메라를이용하는등일상속사례를끌어와최대한이해하기쉽게설명한다.또한알아야할수식이있다면최대한그래프와다양한그림자료를통해직관적으로이해할수있도록해놓았다.
이책은평생미적분을다뤄온공학자가썼다.미적분활용의최전선에있는저자가금융공학,의료공학,항공우주공학,천체물리학등의최신경향들과함께일상속에서보통사람들도미적분을어떻게활용할수있는지보여준다.2020년교양과학베스트셀러였던《수학의쓸모》와마찬가지로수학적사고가얼마나쓸모있는지보여주는책이다.그동안미적분에막연한동경과두려움을가진채제대로그쓸모를만나보지못했던사람에게이책을추천한다.세상의변화를읽는눈을가지게될것이다.