넘버스 : 미드로 보는 수학 프로파일링

Name: 넘버스 : 미드로 보는 수학 프로파일링
Brand: 바다출판사 - 키스 테블린, 게리 로든
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Vendor: 바다출판사 - 키스 테블린, 게리 로든

Type: 수학이야기

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Tags: 과학_수학 넘버스미드로보는수학프로파일링

Description

범죄 해결하는 살아 있는 수학을 만나다

미국 CBS TV에서 6시즌 동안 인기리에 방영된 범죄수사물 〈넘버스〉. 최초의 수학자 슈퍼히어로인 주인공은 수학을 무기로 연쇄살인범에서 테러리스트까지 각종 범죄자들을 잡는 일을 돕는다. 과연〈넘버스〉의 수학은 얼마나 사실일까? 수학을 이용하여 정말로 범죄를 해결할 수 있을까? 이 책은 DNA와 지문 감식에서 안면 인식, 영상 화질 개선까지 현재 경찰, FBI, CIA가 범죄와의 전쟁에서 실제로 이용하고 있는 주요 수학적 기법의 원리를 밝히고 있다. 학교에서 이론적으로만 배우는 수학이 아닌 우리의 생활에 깊숙이 침투해 있는 수학의 실제 응용 사례들을 통해 살아 있는 수학을 만난다.

저자

키스테블린,게리로든

세계에서가장인기있는수학저술가.영국브리스틀대학에서수학박사학위를받은후,다양한미디어를통해대중에게수학을알기쉽게전달하기위해노력해왔다.특히미국공영라디오방송NPR의인기수학해설자‘매스가이MathGuy’로유명하다.스탠퍼드대학H-STAR연구소의공동설립자이자상임이사,미디어X연구네트워크의공동설립자,언어정보연구소CSLI선임연구원이며,미국수학회,미국과학진흥...

출판사 서평

범인잡는흥미진진한수학프로파일링의세계
경찰,FBI,CIA가실제사용하는첨단수학수사기법

LA에서연쇄살인이일어난다.범인은젊은여성을대상으로폭행과강간을저지른뒤살해한흉악범이다.FBI특수요원돈엡스가사건을맡는다.그러나수사는이렇다할단서없이정체상태다.돈은LA시가의대형지도를펼쳐놓고가위표로표시해놓은범행장소를지켜본다.고민하는그를보고동생찰리가도와주겠다고제안한다.어린나이에수학과교수가된동생의천재성을인정하면서도돈은딱잘라거절한다.“수와관련있는사건이아니야.”그러나찰리는고집스레말한다.“모든건수야.”

돈은납득하지못한다.지도에마구잡이로흩어져있는범행장소를보고다음번범행장소를예측하는건아무리수학천재라도불가능한일이아닌가.하지만찰리는역발상의해법을제시하며,마침마당에서돌아가고있던스프링클러를예로든다.스프링클러가흩뿌리는물방울의패턴을이용해서다음번물방울이떨어질곳을예측할수는없지만,그출발점즉스프링클러가어디에있는지는역추적할수있다.마찬가지로범행장소의패턴을이용해서다음번범행이일어날장소를예측할수는없지만살인자가사는곳,곧‘핫존’은알아낼수있다.

연구실에돌아간찰리는수학공식과방정식으로칠판을뒤덮으며작업하기시작한다.마침내하나의방정식을도출해낸다.연쇄살인범은범행장소를고를때특정한경향을보인다.항상자신의집과멀지않은곳에서주로범행을저지르지만,너무가까우면불안하기에자신의거주지주변에는범행을저지르지않는일종의안전지대,완충지대를둔다.찰리의공식은이러한범행패턴을반영한다.이공식은범죄자의거주지에서완충지대를지나멀어질수록범죄확률이증가하다가나중에는감소하는모양을지도위에그리게도와준다.연쇄살인범은정체를드러내지않으려고자기딴에는무작위로희생자를고르지만공식은범인이사는핫존을매우높은확률로말해준다.찰리의수학덕택에수색해야할범위가좁아졌다.돈과팀원들은감시와미행을통해드디어범인을붙잡는다.이것이바로미드〈넘버스〉시즌1의첫번째에피소드다.

이에피소드는실화에바탕을둔다.실화의주인공은캐나다경찰출신의수학자킴로스모다.1991년그가열차를타고가다아이디어를떠올리고급히냅킨에끼적인것이바로‘로스모공식’으로알려진공식이며수사관들이범인의심리적특성을분석해특정해내는‘심리적프로파일링’기법과대비해,연쇄범죄자가사는곳을수학을이용해예측하는로스모의기법을‘지리적프로파일링’이라부른다.그렇다.수학은‘실제로’범인을잡는다.

사진속숨은진실을드러내는수학
이미지화질을개선하는공식

1992년LA폭동은수많은인명과재산피해를낸불행한사건이었다.사건이발발하고불과몇시간되지않아TV시청자들은앞으로5일간벌어질끔찍한사태를상징하는폭행사건을목격했다.일군의폭도들이트럭을세우고운전사를끌어내려집단린치를가하는장면을하늘에서방송국의헬기가여과없이생중계한것이다.피해자는두개골이함몰되고안구가튀어나오는중상을입었고,사태가진정된후경찰은TV뉴스비디오를근거로용의자들을체포했다.

문제는가장중요한증거인그영상이소형카메라로찍은탓에너무거칠고흐릿해서폭행범의얼굴을제대로알아볼수없었다는것이다.전체적인체격과외모는비슷했지만다른폭도들이아닌바로그들이범인이라고특정하기에는부족했다.이때검찰측증인으로레오니드루딘박사가나섰다.그가설립한‘코그니테크’사는군사위성에서찍은감시사진의화질을개선하는수학적기법의개발로명성높았다.코그니테크팀은문제의영상에서폭행자중한명의팔뚝에있던흐릿한자국을수학적으로처리하여식별가능할정도로선명화하는데성공했고,그자국이용의자중한명의팔에있는장미문신과동일함을보여주었다.

CCTV화면의흐릿한부분을컴퓨터로확대해선명하게만드는‘이미지화질개선imageenhancement’기술은CSI유의드라마를통해우리에게도친숙한기술이지만,포토샵과같은프로그램으로명암과콘트라스트를조절하는식의단순한방법이아니다.픽셀하나하나의색상값을찾고경계를인식하기위해서는여러다항식과함수,미적분법을이용하는‘전변동totalvariation’방법이라는,수치로이미지를재구성하는대단히복잡한수학적과정을거쳐야한다.

코그니테크팀의화질개선기술은여러형사재판에서결정적인증거를제공해유무죄를가리는데도움을주었을뿐아니라,기름유출탐지,MRI영상을통한조직이상식별등에도기여하고있다.또한최근에는역사적논란의사진들을분석해애리조나주의유명한UFO영상이사실은미공군이사용한조명탄이라는사실과,케네디대통령암살사건에서수수께끼의‘두번째총격범’의정체가사실은사진속잡티에불과함을밝히기도했다.오늘날누구나손쉽게할수있는사진위조뿐아니라,우리눈에보이지않는사진속숨은진실을되살려내는작업도모두수학에의해가능해지고있다.

수학으로범행을사전에막을수있을까?
베이즈추론에의한미래예측

영화〈마이너리티리포트〉는예지력을이용해범죄가일어나기전에미리예방하는가상사회를그리고있다.모든사법기관이꿈꾸는미래겠지만,수학을이용하면현재에도어떤사건이일어날가능성을수치로추정해볼수있다.실제로수학은9/11테러가있기1년전펜타곤이테러리스트들의공격대상이될가능성이크다고예측했다.수학자들은테러위험을가늠해주는‘위치프로파일러SiteProfiler’라는소프트웨어시스템을개발해모의실험을하던중이러한결론에이르렀는데,불행히도미정부는이경고를심각하게받아들이지않았고아무런조치도취하지않았다.

위치프로파일러는분석모형,시뮬레이션,역사적자료,사용자의판단등다양한정보를수집해서베이즈추론을통해수치화한거대한위험포트폴리오다.여기서핵심인‘베이즈추론’이란새로운정보를얻을때마다가능성(확률)에대한신뢰도를바꾸는계산법을말하는데,18세기영국의성직자이자아마추어수학자였던토머스베이즈가생각해냈다.베이즈분석의원리를간단한예를들어살펴보자.

어떤도시에파란택시회사(15대)와검은택시회사(75대)가있다.어느날밤,택시뺑소니사건이일어난다.택시90대는그시각에모두거리에있었으며,목격자는파란택시였다고증언한다.경찰이그날밤과비슷한조건에서파란택시와검은택시를무작위로보여주자목격자는택시색깔을5번중4번꼴로맞춘다(나머지한번은파란택시를검은택시로,검은택시를파란택시로오인한다).과연뺑소니사건을낸것은어느회사일까?

우리는목격자가5번중4번이정확했으니파란택시였을확률도5분의4즉0.8이라고보통생각한다.그러나베이즈추론은상당히다른진실을들려준다.결론부터말하면,파란택시가뺑소니차일확률은9분의4즉0.44에불과하다.검은택시였을가능성이더큰것이다.이는이도시의택시가검은색일가능성이파란색에비해5배많다는‘사전확률’을감안한결과다.검증을위해,90대의택시를차례로내보내서목격자에게색깔을맞춰보게해보자.15대의파란택시를보았을때그가맞출확률은80퍼센트이므로,12대는‘파란색’으로보이고3대는‘검은색’으로보인다고말할것이다.75대의검은택시를내보내면그중20퍼센트를잘못볼것이므로,15대는‘파란색’으로보이고60대는‘검은색’으로보인다고말할것이다.목격자가‘파란색’이라고말하는택시는총27대인데,그중실제로파란색인것은12대에불과하다.즉뺑소니차가실제로파란택시일확률은27대중12대,9분의4(44퍼센트정도)인것이다.

〈넘버스〉1시즌13화‘범인추적’에서찰리가탈출한죄수들을검거하도록도울때이용하는것이이러한베이즈통계분석이다.찰리는무수한목격자들의신고중어느것이정확한정보이고어느것이잘못된정보인지어떻게판별했을까?먼저그는확실한정보들로부터(탈출한죄수중붙잡힌이들의자백이있었다)사전확률을할당하고,물리적이동거리와신고자의신뢰도등도고려했을것이다.물론이것은인간의판단과평가에좌우되는부정확한부분이다.그러나여기에베이즈추론을수차례반복적용하면수많은목격담에확률이부여되고,확률이높을수록그목격담이정확할가능성도높아져점차인간적평가의모호함을극복하게된다.베이즈분석은모든시간,모든장소를동시에고려할수있는합리적이고정량적인방법을제공하며,그리하여찰리는형에게자신있게이렇게말할수있게된다.“당장그곳으로요원을보내!”

범인에맞서어떻게보안을강화할것인가
리만가설과암호해독

어느수학자의다섯살난딸이납치된다.그의연구실화이트보드에쓰여있는공식들을보자마자찰리는즉각그수학자가연구하는것이‘리만가설Riemannhypothesis’임을알아챈다.찰리의설명을듣고,납치범중한명의신원을알아내자돈의머릿속에사건의전모가그려진다.납치범들은수학자의딸을납치해그가발견한리만가설의해법을털어놓도록협박한뒤은행컴퓨터에침투해수백만달러를훔치려는계획인것이다.

〈넘버스〉첫시즌의다섯번째에피소드인‘주요용의자’는150년이넘도록풀리지않은유명한수학문제를다룬다.리만가설은2000년국제전문가들이뽑은7가지미해결수학문제인‘새천년문제’의하나로,문제를푸는사람에게는100만달러의상금이수여된다.하지만정말로리만가설을푼다면인터넷보안시스템을무너뜨릴만능키를얻어전세계인터넷거래를붕괴시킬수있을지도모른다.그위험을이해하기위해서는먼저현재의암호체계가어떤원리로작동하는지살펴보아야한다.

제2차세계대전이후안전한암호체계를설계하는일은수학자들의몫이었다.암호를깨기위해강력한컴퓨터로무장하고있는해커들의공격을이겨내기위해서는암호체계자체가대단히복잡해야한다.현대의암호체계는대개암호화프로그램과‘키’(비밀번호)라는두가지요소로구성돼있는데,메시지의발신자와수신자가사용할키를미리합의하여공유하고비밀로유지하는한안전하다.하지만이시스템에는명백한결점이있는데,발신자와수신자가최소한한번은만나서서로키를교환해야한다는점이다.인터넷뱅킹이라면근처은행을찾아가서개인용키를받아오면그만이지만,지구반대편의전혀만난적없는사람들끼리는안전하게전자상거래를하거나이메일을주고받을길이없다.

1976년스탠퍼드대학의두수학자가‘공개키암호화’를제안하면서돌파구가열렸다.이시스템에서는한개가아니라두개의키(암호화키와해독키)를사용한다.A라는사람이먼저두개의키를만든다.해독키는자신이안전하게보관하고,암호화키는네트워크사용자들에게공개한다.B가A에게메시지를보내고싶다면,A가공개한암호화키를찾아서메시지를암호화한다음A에게보내면된다.다른사람은A의암호화키를알더라도B의메시지를해독할수없다.해독용키는오직A만알고있기때문이다(심지어B조차도자신의메시지를암호화한뒤에는해독할수없다).

곧MIT의세연구자가이아이디어를실용화할방법을찾았다.컴퓨터를이용해150자리의큰소수를찾아내는것은어렵지않다.또그런소수들을곱해300자리의수를만들어내는것도쉽다.하지만300자리의수를두개의소수로인수분해하는것은사실상거의불가능하다(현재가장빠른컴퓨터로도수십년에서수백년이걸린다).이에착안해그들은두개의큰소수를비밀해독키로,두소수의곱을공개암호화키로사용하는오늘날가장널리쓰이는RSA암호체계(세연구자의이름에서땄다)를만들어냈다.결국큰수를인수분해하는효율적방법을아직찾아내지못한수학자들의무능력때문에현재전세계인터넷보안시스템이유지되고있는셈이다.어쨌든RSA알고리듬이광범위하게이용되면서소수를찾아내고큰수를인수분해하는방법에대한연구가활발해졌고,소수의분포와밀접한연관이있는리만가설이‘세상에서가장큰금융비밀’을풀열쇠로주목받게되었다.

재판에서는수학과통계를어떻게이용해야하는가?
유죄입증을둘러싼수학적증거논쟁

어느야간병동의간호사가심장정지환자들을조기에발견하고제때응급조치하여여러생명을구함으로써‘죽음의천사’라는명성을얻는다.하지만동료간호사들은그녀가근무할때심장정지사망자가유독많다는의혹을제기하고,병원이진상조사에착수하지만전체심장발작비율은다른병원과엇비슷한정도다.그럼에도풀리지않는의혹은급기야법정으로향하고,검찰측증인으로통계학자가나서게된다.

이것은드라마속이야기가아니라1998년실제로있었던‘미국정부대크리스틴길버트사건’의개요다.길버트의기소여부를판단하기위한사전재판의쟁점은간단했다.그녀가근무중일때환자가유의미하게더많이사망했는가?한두명더사망했다면우연일수도있다.길버트의근무시간에환자들이그저좀더불운했을지도모른다.길버트를기소하기에충분할정도로‘유의미한’수준이려면몇명이나더사망해야할까?MIT의통계학교수스티븐겔바흐는이를검사하기위해‘가설검정’이라는기초통계분석을이용했다.

먼저그는길버트가근무한18개월동안간호사들의교대근무횟수와사망자수를조사했다.총1641회의교대근무중사망자는74명이었다.만일사망이무작위로일어났다면,임의의근무시간중사망자가발생할확률은1641분의74,즉0.045정도다.그중길버트가교대근무한횟수는257회였다.만일길버트가환자를살해하지않았다면,그녀의근무시간중사망자수는즉11~12명정도라고예상할수있다.하지만실제사망자는40명이나되었다.이런일이일어날가능성은얼마일까?겔바흐의계산에따르면,전체사망자74명중40명이길버트의근무시간에사망할확률은1억분의1보다작았다.동전을10번던져모두다앞면이나올확률이1000분의1임을감안한다면,이러한사망이자연적으로발생할확률이얼마나낮은지짐작할수있다.
이러한결론에힘입어사전재판의대배심원단은길버트를기소하기에충분하다고판단했다.하지만놀랍게도본재판에서연방판사는이러한통계적증거를법정에제시해서는안된다고판시했는데,이것은또다른통계학자조지캅의의견때문이었다.

사전재판의목적은길버트를용의자로볼근거가있는지를가리는것이었고,겔바흐의분석은길버트의근무시간중사망자수의증가가우연한변동이아니라는의혹을뒷받침했다.그러나본재판의목적은그녀가정말로이런사망증가를일으켰는가를판단하는것이었고,조지캅은통계적상관관계가있다고해서인과관계가있다고말할수는없다고주장했다.즉의심스러운사망이우연히발생했을확률이1억분의1이라는사실이곧길버트가환자들을죽이지않았을확률이1억분의1이라는의미는아니라는것이다.어떤다른원인에의해서전자의확률이발생했을수도있으며,상관관계뒤에숨은변수가존재할가능성은언제나있기때문이다.(이러한이유로겔바흐의통계분석은비록채택되지못했지만,그럼에도길버트는종신형을받았다.)

길버트사건에서보듯,통계학과확률론은용의자를식별하는데는상당히효과적이지만유죄를입증하기에는부족함을알수있다.1964년‘미국검찰대콜린스사건’은법정에서수학(특히확률)을증거로채택할때신중을기해야한다는선례를남긴역사적재판이다.어느날한노파가들치기를당했다.피해자와목격자의증언에따르면범인은말총머리의금발백인여성이었으며,수염이덥수룩한흑인남자가모는노란색차를타고달아났다고한다.경찰은즉시용의자커플을체포했고,피해자도목격자도그들을알아보지못했지만절도죄로기소했다.검찰은유죄입증을위해이번에도수학자를불렀다.검찰은무작위로선택된커플이이사건의6가지특징(턱수염을기른흑인,콧수염을기른남성,금발머리백인여성,말총머리를한여성,한차에탑승한다인종커플,노란색차)을모두갖출확률을수학자에게물었다.수학자는각각을독립사건으로간주하면곱셈법칙을이용해아주보수적으로계산해도1200만분의1이라고답했고,배심원은이에힘입어유죄판결을내렸다.

그러나대법원은피고인의유죄여부를확률로판단해서는안된다며원심을파기했다.1200만분의1이라는확률의호소는통상적증거보다신뢰도가떨어지는데도,마치무죄일가능성을방정식을이용해수치로(‘과학적으로정확하게’)산정하는양배심원을현혹할수있기때문이다.검찰은6가지특징이‘독립적’이라는정당화되지않은가정을했을뿐아니라,무작위커플이6가지특징을가지고있을확률인‘P(일치)’와용의자커플이무고할확률인‘P(무고)’를동일시하는오류를범했다.그래서대법관들은직접P(무고)를계산해봤다.목격자들이진술한특징을가진커플이LA에적어도두쌍있을확률은얼마일까?이것은앞면이나올확률이1200만분의1인동전을N개던져서둘이상앞면이나올확률과같다.대법원이당시LA인구수인N=1200만으로계산하자확률은40퍼센트가넘었다.보수적으로N=300만으로잡더라도다른유죄후보쌍이존재할확률은12퍼센트나된다.이렇듯수학은올바로이용하면범죄해결의강력한도구가될수있지만,부적절하게이용하면진실을오도하는마법의주문이될수도있다.

수학프로파일링으로음미하는살아있는수학

많은사람들이수학에흥미를느끼지못한다.여기에는여러이유가있겠지만수학이란현실과동떨어져있는학문이라는인식이큰역할을한다.결국수학을배운다고우리현실의문제를해결할수있는것은아니지않는가?〈넘버스〉는이런우리의통념을뒤엎는다.일련의사례를통해수학자인동생찰리는어째서모든것이수일수있는지를보여준다.책《넘버스》는FBI인형을도와범죄사건을해결하는천재수학자의활약상을그린인기미드〈넘버스NUMB3RS〉를바탕으로DNA프로파일링에서디지털지문검색,흐릿한CCTV영상의화질개선처럼우리에게낯익은기법들은물론이고,인공지능신경망을이용한안면인식시스템,통화·구매내역같은자료더미에서유용한정보를걸러내는‘데이터마이닝’,생물학적공격이나전염병의발생징후를조기에포착해내는‘변화시점탐지’,통신감청을통해비밀범죄조직의핵심인물을특정하는‘사회연결망분석’등최신기법들에이르기까지경찰,FBI,CIA가범죄수사에실제로활용하고있는주요수학적기법에대한원리와방법을알기쉽게설명하며결코수학이우리의삶과동떨어져있지않다는사실을보여준다.

흥미진진한드라마속가상의사건뿐아니라드라마보다더드라마같은실제범죄사건과재판들을통해,수학이여러범죄의해결과예방에서얼마나중요한역할을하는지알려주며,인터넷상거래에서카지노도박에이르기까지수학이우리의실생활과얼마나밀접한관련이있는지도보여주어,‘패턴을식별하고분석하고예측하는학문’으로서수학의경이로운세계를더탐험해보고싶도록자극한다

책속에서

로스모는과거의사건들을재분석하는데서초기성과를거두었고,박사학위를받고경위로승진한후에는‘범죄자의지리적표지criminalgeographictargeting’(CGT)라고훗날스스로명명한것을개선한수학적방법을개발하겠다는개인적관심사를계속추구했다.다른이들은이방법을‘지리적프로파일링’이라고불렀는데,수사관들이범죄자의동기와심리적특성에근거하여범인을찾아내는데활용하는널리알려진‘심리적프로파일링’기법을보완해주기때문이다.지리적프로파일링은범죄장소를분석하여범죄자의예상활동근거지를찾아내려고시도한다.로스모는1991년어느날일본에서초고속열차를타고가다가이마법처럼보이는공식의기본아이디어를떠올렸다.적을공책이없었기때문에냅킨에끼적였다.
---「1장핫존찾기_연쇄범죄의지리적프로파일링23쪽」중에서

찰리는그무기거래상과관련된모든총기거래에대한자료를얻어서,그곳에서시작된모든거래사이의관계를분석한다.찰리는실제사법기관에서도자주이용하는방법인,전화연결망에서통화패턴을분석할때이용하는것과유사한수학적기법을채택했다고설명한다.여기까지가2006년11월24일첫방송된,〈넘버스〉세번째시즌의‘브루투스’(CIA암살자육성계획을가리키는가공의암호명)에피소드에서시청자들이보는내용이다.늘그렇듯이드라마에서찰리가이용하는수학은실생활에바탕을두고있다.찰리가총기유통을추적하기위해사용하는방법은일반적으로‘연결고리분석linkanalysis’이라불리는데,‘데이터마이닝datamining’이라는포괄적인주제아래묶이는여러방법중하나다.현대사회에서(종종공개적으로)가용한데이터더미로부터유용한정보를얻어내는것이데이터마이닝이다
---「3장데이터마이닝58쪽」중에서

2001년5월‘위치프로파일러SiteProfiler’라부르는소프트웨어시스템이세계전역의미국군사시설에보급되었다.이소프트웨어는현장지휘관에게테러의위험도를가늠하고,그위험을통제하며,표준화된반테러계획을수립하는걸돕기위해제공된도구였다.이시스템은여러가지출처의자료들을결합하여베이즈추론이라부르는수학적기술을이용하여테러위험에대한추론을이끌어내는방식으로동작한다.
---「6장미래예측하기143~144쪽」중에서

근래법원에서는일치가확실하다는지문전문가증인의주장을관행처럼수용하는것에반대하는목소리가커져왔다.찰리엡스와마찬가지로많은수학자,통계학자및다른과학자들과,판사들을포함하는저명한법조인들은법정및공개석상에서지문증거에대한표준과전문조사관의업무수행인증이부족하며,가장중요하게는무엇보다도지문대조에대한과학적으로통제된검증연구가부족하여오류의빈도를판단할근거가빈약하다며불평했다.
---「9장지문증거는얼마나믿을만한가?222쪽」중에서

이대결의한쪽은비밀스럽고은밀한‘카드카운터cardcounter’들이차지하는데,보통은팀을짜서활동하며카지노로부터거액을따기위해정교한수학과고도로발달된기술을적용한다.다른쪽은카지노도박장인데카드카운터들을협잡꾼으로간주하며,카운터로알려진이들의사진이든파일을보유하고있다.카지노의주인들은딜러와피고용인들에게몇시간안에수만달러를따고사라져버릴수있는선수급의신예들을살펴보라고지시해두었다.
---「13장카지노에서의수싸움327-328쪽」중에서