수학의 언어로 세상을 본다면 : 수학은 세상을 보는 가장 강력한 도구다

오구리히로시

저자:오구리히로시
세계적이론물리학자로양자장론과양자중력이론,초끈이론의수학적구조를연구하여물리학의근본적인문제들을해결하는이론적도구를개발하고있다.
현재캘리포니아공과대학교카블리관석좌교수,월터버크이론물리학연구소소장,도쿄대학교특별교수로재직중이다.도쿄대학교국제고등연구소카블리수학물리연계우주연구기구기구장과아스펜물리연구센터이사장을역임했다.
미국예술과학아카데미와미국수학회회원,아스펜물리연구센터의종신명예회원이며,프랑스고등과학연구소의루이미셸강좌를주재하고있다.
교토대학교이학부를졸업하고동대학원에서석사학위를,도쿄대학교에서박사학위를취득했다.도쿄대학교에서조교,프린스턴고등연구소에서연구원을지낸후시카고대학교,교토대학교에서조교수,캘리포니아대학교버클리캠퍼스에서교수를역임했다.
소립자론과수리물리학연구로미국수학회의레너드아이젠버드상,사이먼메모리얼상,구겐하임펠로십,훔볼트상,함부르크상,이휘소박사석좌교수프로그램상,자수포장,니시나기념상,기초과학회의첨단과학상등을수상하였다.과학감수를맡은3D영상작품〈9차원에서온사나이〉는국제플라네타리움협회최우수교육작품상을수상했다.
지은책으로는《중력우주를지배하는힘》《오구리선생님의초끈이론입문》《강력과약력,힉스입자로우주의마법을풀다》《소년은어떻게과학자가되었나》등이있다.

역자:서혜숙
서울대수학교육과를졸업하고일본쓰꾸바대학에서수학교육학으로석박사과정을수료했다.현재마곡중학교에서수학을가르치고있다.

머리말_아버지가딸에게전하는수학

제1장불확실한정보를가지고판단한다
O.J.심슨재판,변호측교수의주장│우선주사위를던져본다│도박에서지지않는방법│조건부확률과베이즈의정리│유방암검진을받을의미가있는가│‘경험으로배운다’를수학적으로배운다│원자력발전소중대사고가다시발생할확률│O.J.심슨은부인을죽였을까

제2장기본원리로되돌아가본다
기술혁신을위해서필요한것│덧셈,곱셈그리고세가지규칙│뺄셈,그리고영의발견│(-1)×(-1)은왜1이되는가?│분수가있다면무엇이라도나눌수있다│가분수→대분수→연분수│연분수로달력을만든다│정말인정하고싶지않았던‘무리수’│2차방정식의화려한역사

제3장큰수도무섭지않다
세계최초의원자폭탄실험과페르미추정│대기중이산화탄소는어느정도증가했을까│큰수가나와도두렵지않다│천문학자의수명을2배로늘린비밀병기│복리효과를최대로하는예금방법은?│은행예금이배가되려면몇년이나맡겨야할까?│자연법칙은대수로간파한다

제4장소수의불가사의
순수수학의꽃으로│‘에라토스테네스의체’로소수를발견하다│소수는무한개있다│소수의출현에는패턴이있다│파스칼의삼각형으로소수를판정한다│페르마테스트에합격하면소수?│통신비밀을지키는‘공개열쇠암호’란?│공개열쇠암호가열쇠,오일러의정리│신용카드번호주고받기

제5장무한세계와불완전성정리
호텔캘리포니아에잘오셨어요!│‘1=0.99999…’는납득할수없다?│아킬레우스는거북이를따라잡을수없는걸까?│‘지금나는거짓말을하고있다’│‘알리바이증명’은‘귀류법’│이것이괴델의불완전성정리다!

제6장우주의형태를측정하다
고대그리스인은지구의크기를어떻게측정했을까?│기본중의기본,삼각형의성질│데카르트좌표라는획기적인아이디어│6차원이라도9차원이라도10차원이라도│유클리드공리가성립하지않는세계│평행선공리만이성립하지않는세계│외부에서보지않아도형태를알수있는‘경이로운정리’│한변이100억광년인삼각형을그린다

제7장미적분은적분부터
아르키메데스로부터의편지│왜‘적분부터먼저’일까?│원래면적은어떻게계산하지?│어떤도형이라도OK,‘아르키메데스의구적법’│‘적분’에서는무엇을계산하고있을까?│여러가지함수를적분해보자│날아가고있는화살은멈춰있는가?│미분은적분의역│지수함수의미분과적분

제8장정말로존재하는‘공상의수’
공상의수,공상의친구│어떻게해도나오는‘제곱하여음수가되는수’│1차원의실수에서2차원의복소수로│복소수의곱셈은‘돌려서늘인다’│곱셈으로이끄는‘덧셈정리’│기하의문제가방정식으로풀린다!│삼각함수와지수함수를연결한오일러공식

제9장‘어려움’과‘아름다움’을측정한다
갈루아,20년의생애와불멸의공적│도형의대칭성이란무엇인가?│‘군’의발견│2차방정식‘해의공식’의비밀│3차방정식은왜풀수있을까?│‘방정식을풀수있다’란어떤것인가?│5차방정식과정20면체│갈루아로부터의편지│식의어려움과형태의아름다움│또하나의혼을얻다

후기

“수학은우리일상어디에나있다”
수학을통해세상을보는법

고대그리스시대부터성장해온수학은우리일상어디에나있다.따라서수학을이해하는것은세상을읽는새로운언어를획득하는것과마찬가지다.오구리히로시는‘제1장불확실한정보를가지고판단한다’에서확률이아주조금유리할때도박에서의승률이얼마나높아지는지계산한다.가령내가상대방보다3퍼센트정도로확률이유리할때충분한돈을가지고내기를계속하면판돈을두배로만들확률은99.75퍼센트까지올라간다.즉,도박에서는‘아주조금이라도유리할때충분한돈을가지고시작하면거의확실하게이긴다.’이사실은우리가얼마나오래사는가에도적용할수있다.이를테면균형잡힌식생활,적당한운동,규칙적인생활등매일의습관을건전하게개선하는것은오래살확률을‘아주조금유리하게’만들어우리가장수할확률을대폭높일수있다.이확률이얼마나높아지는가숫자로확실하게표현할수있는것이바로수학의힘이다!
결국수학은필요에의해탄생한학문이다.고대부터문명이발달한곳에는항상수학이있었고문명의기틀이되어왔다.아주멀고낯설게만느껴지는수학이실상은우리의삶과직접결부되어있는것이다.가령분모를다시분수로만들어단위분수를이어만든‘연분수’는달력을만드는데사용되어왔다.1년을대략365.24219일로두고분수근사계산을하면365.24219는365+0.024219≒365+1/4이므로4년에한번2월29일까지있는달력을생각할수있다.하지만이경우오차가0.00781일이있다.따라서‘4로나누어지는해는윤년으로하지만100으로나누어지고400으로나누어지지않는해는윤년으로하지않는다’는규칙에따라만든달력이지금우리가쓰고있는그레고리력이다.
수학자들만의전유물같은‘소수’도우리생활깊숙이자리잡고있다.수의비밀을품고있어‘수의아톰’이라고도불리는소수는고대그리스부터현대까지수학자들을매료시킨개념이다.수학자들은소수의출현패턴이나소수판정법을연구하고있지만아직까지도소수에는풀리지않은문제가많다.그럼에도소수는우리생활에서긴요히쓰이고있다.바로인터넷상에서쇼핑이나결제를할때사용되는암호시스템이소수의성질을응용해개발된것이다.그동안암호기술은아무리복잡해도암호화의규칙이노출되면금방풀수있었다.그런데소수를이용한암호는암호화의규칙을알고있어도풀수없다.예컨대자물쇠는그것을푸는방법을알고있더라도열쇠가없으면풀지못한다.마찬가지로소수를이용한암호체계도큰수는소인수분해가어렵다는소수특유의성질을이용해각사용자에게고유한‘열쇠’를제공할수있도록한기술이다.이처럼오구리히로시는수학이우리생활을크게바꾼사례를통해일상과는동떨어진것같은수학이실제로는얼마나우리일상과가까운지,그리고세상을보는강력한도구인지보여준다.

적분을왜미분보다먼저배울까?
왜배우는지알면수학도친절해진다

모든학문의여왕,수학.인간이생각을하게된때부터등장한수학에는수천년에걸친인간지성의정수가담겨있다.수확물을분배하고이자를계산하는일부터지구의크기를구하는문제까지,수학은우리일상과밀착되어있다.하지만지금수학은우리가가장멀고낯설게느끼는학문이되었다.수학책은의미를알수없는기호와도형들로가득하고,우리가수학시간에하는것도공식에맞춰기계적으로문제를푸는일밖에없다.하지만수학은우리가21세기를살아가기위해꼭필요한도구고언어다.캘리포니아공과대학교수로세계적수리물리학자인오구리히로시는자신의딸또한수학의묘미를느끼길바라는마음으로이책을썼다.수학교과서에나오는개념들을따라가면서때로는수학자들의흥미로운역사를곁들이고때로는일상의이야기들도덧붙이며수학의재미를돋운다.
왜미분보다적분을먼저배워야할까?고등학교수학교과서에서는보통미분을먼저설명한후그역연산으로적분을도입한다.이러한순서는완성된수학을논리적으로가르치기위해서지만,역사적인발전순서로보면정반대다.적분계산을위해아르키메데스가구적법을발명한것은기원전3세기지만뉴턴과라이프니츠가미분법을고안한것은17세기다.적분은면적이나부피등눈에보이는양을계산하기위해필요한개념이었기때문이다.반면미분을이해하려면극한에대한개념을먼저알고있어야한다.그렇다면어려운미분을공부하기전에직관적으로이해하기쉬운적분부터익히는것이더쉽지않을까?이책은수학의역사를따라우리가직관적으로알기쉬운것부터차근차근설명하면서독자들이흥미의끈을놓지않는동시에수학적내용을깊이있게이해하도록돕는다.


세상으로나가는딸에게들려준가장강력한무기,수학

학교에서처음수학을배웠을때느낀당혹감을누구나기억하고있을것이다.말로풀어서설명해주는다른과목과는달리수학에서는무엇이든기호로압축해버리기때문이다.손가락으로셈을할수있는수들을넘어음수,분수,그리고소수를배우면서덧셈뺄셈만기계적으로하는동안과연이게실생활에얼마나도움이될까의심해본사람도있을것이다.이런당혹감은학년이올라갈수록더심화된다.삼각형과원,지수와로그,미분과적분등무의미해보이는기호와도형들은자꾸만늘어난다.언젠가는도움이된다는선생님의말을믿으며기계적으로문제를풀어나갈뿐이다.
하지만수학적개념이왜만들어졌는지알고나면수학도좀더친밀해질수있지않을까?가령많은사람들이음수와음수를곱하면양수라고외우면서왜그렇게되는지는이해하지못한다.애초에음수는머릿속으로떠올리기힘든개념이기때문이다.음수를받아들이기어려웠던것은저명한수학자도마찬가지다.17세기까지도수학계는음수를받아들이길주저해수학자블레즈파스칼은‘0에서4를빼면0그대로다’라고주장하고,르네데카르트도방정식을풀었을때음수가나오면‘무보다작은수는없다’라고하며거부했다.무리수는더욱받아들이기힘들었다.피타고라스는정사각형의한변과대각선의비에서무리수를발견한히파소스를바다에빠뜨려죽였다고한다.
납득하긴어렵지만음수와무리수는분명자연계에존재하는수이고자연현상을설명하기위해꼭필요한개념이다.인류는이런수들을이용해보다강력한계산방법을활용할수있었다.단순한셈을위한자연수에서시작해뺄셈을자유롭게하기위해0과음수를생각해냈고,나눗셈을자유롭게하기위해분수를생각했고,도형을작도하기위해무리수를발견했다.이처럼수의세계가넓어지면서자연현상에대한이해도깊어졌다.2차방정식의해의공식을발견함으로써대포의포탄이어디에떨어질지예측하게되었고,대수함수의도입으로지구의공전주기를계산할수있게되었으며,이것은뉴턴의중력법칙으로이어진다.
이처럼수학을통해자연현상을해명하는것을오구리히로시는“말할수없었던것을말하고풀수없었던문제를풀수있는”언어를얻은것과같다고말한다.사물에대한정확한표현을위해서만든언어가바로수학이다.수학은이제세상으로나갈딸에게아버지가준비해준가장강력한도구인것이다.이책은딸에게전하는간곡한목소리로21세기에의미있는생을살아가기위한도구로서수학의중요성을역설한다.