미적분 직관하기 2: 눈으로 푸는 적분의 비밀

미적분 직관하기 2: 눈으로 푸는 적분의 비밀

$22.00
Description
기호의 의미를 ‘직’접 ‘관’람하는 신개념 미적분 통합서
EBS 《수능 특강》 대표 저자가 알려주는 수학 공부의 새로운 패러다임!

역사 속으로 사라질 뻔한 아르키메데스의 ‘방법(The Method)’이
2025년 서울의 한 고등학교에서 되살아난다!
2028학년도 수능 개편 2년 전, 현재 고등학교 1학년부터 수능에서 미적분Ⅱ가 평가 영역에서 제외되며 수학 학습의 격변이 예고되었다. 미적분이 AI 기술의 기초가 되는 미래 사회를 앞두고, 정작 입시 현장에서는 수학적 기초 체력이 약화될 수 있는 역설적인 상황이 펼쳐진 것이다. 그 와중에 일부 대학은 자연 계열 지원 시 미적분Ⅱ를 권장과목으로 안내하는 등 가중되는 혼란과 함께 전략적 수학 공부의 필요성이 급부상하고 있다. 이러한 전환기의 요구에 맞춰, 교육계의 찬사와 함께 혜성처럼 등장한 《미적분 직관하기》가 ‘눈으로 푸는 미분’에 이어 ‘눈으로 푸는 적분’으로 돌아왔다.
이 책을 쓴 박원균은 고등학교에서 30년 가까이 학생들을 가르친 수학 교사이자 수능 연계 교재 EBS 《수능 특강》 현직 최장기 집필자다. 매년 교사들을 대상으로 수능형 문제 출제 연수를 이끌고 있다. 책에서는 실제로 평가원 문제와 수능 문제를 다루면서 출제자가 문제를 낸 의도에 기반해 미적분을 설명하는 것은 물론, 직접 개발한 수학 교구로 독자를 어디서도 본 적 없는 미적분 수업으로 초대한다.
수능 개편은 단순히 문항 몇 개가 바뀌는 정도가 아니라 학생들이 앞으로 어떤 방식으로 수학을 사고하고 접근해야 하는지 전체 방향이 달라지는 문제다. 시험이 바뀌더라도 개념의 본질은 변하지 않는다. 지금은 변화의 중심부에 놓인 학생들이 미래의 경쟁력을 스스로 설계할 수 있도록 돕는 안내서가 가장 필요한 때다. 《미적분 직관하기》는 학생들이 ‘이해하도록’ 돕는 것을 넘어 학생이 스스로 ‘발견하도록’ 돕는 저자의 목표와 함께 교육과정 변화 이전과 이후에 반드시 정리해야 할 개념 구조와 사고 체계를 붙잡기 위한 가장 직관적이고 확실한 안내서가 되어준다.
저자

박원균

서울대학교 사범대학 수학교육과를 졸업하고 서울시 성남고등학교에서 30년 가까이 수학 교사로 근무하고 있다. 2001년부터 2025년까지 매년 EBS 수능 교재를 집필하고 있으며, 특히 대표 교재인 《수능 특강》 시리즈 집필에 20회 넘게 참여하고 있다. 2007, 2009 개정 교육과정 고등학교 수학 교과서 집필에 참여했으며, 《쎈 수학》(신사고) 시리즈의 초판본 저자이자 현재 《일품 수학》(신사고) 저자다.
다양하고 풍부한 교재 집필과 문항 출제 경험을 바탕으로 2020년부터 현직 교사들을 대상으로 교육청이 주관하는 〈수능형 문항 출제 역량 강화 연수〉에 강사로 매년 참여하고 있다. 평소에는 재미있는 수학사를 곁들여 ‘논리와 직관’을 모두 아우르는 수업을 위해 노력하고 있다.

목차

[1부 분할과 통합을 직관하다: 적분]
1 한 여름날의 특강
2 지레의 원리
3 아르키메데스의 수학 서커스
4 아르키메데스의 ‘방법’
5 평면도형의 넓이를 어떻게 구할 것인가
6 원주율을 구하는 여정
7 아르키메데스의 엄밀한 적분
8 입체도형의 부피를 어떻게 구할 것인가
9 수열의 일반항과 합
10 라이프니츠의 망원합
11 급수, 무한개의 수를 더하다
12 자기닮음과 프랙털
13 적분의 재등장

[2부 미분과 적분의 통합을 직관하다: 미적분]
1 현대적 적분의 시작
2 다항함수의 그래프의 넓이가 정복되다
3 수학의 대혁명이 눈앞에 아른거리다
4 뉴턴의 현란한 적분법
5 라이프니츠의 심오한 적분 기호
6 미적분의 기본 정리
7 적분이 진화하다
8 미적분의 창시자들
9 미적분의 기본 정리 직관하기
10 넓이의 변화율 직관하기

[3부 문제 해결의 혁명을 직관하다: 미적분의 활용]
1 정적분 기호 가지고 놀기
2 넓이를 구하는 새로운 방법
3 입체도형의 부피
4 곡선의 길이, 그리고 미적분과 차원
5 적분, 말 그대로 조각의 넓이를 쌓다
6 다항함수 그래프의 필연성
7 적분으로 이런 것도 구할 수 있다고?
8 무한소만큼의 변화가 탄생시킨 새로운 방법
9 뉴턴, 우주의 법칙을 증명하다

나가며: 미적분 직관하기를 마치며

[부록]
더 깊이 들어가기
도판 출처
참고 문헌

출판사 서평

책속에서

“이제우리가마지막으로직접확인해보고싶은지레의균형은무엇일까?”
“오른쪽끝에는포물선도형을놓고,왼쪽에는받침점에서2/3만큼떨어진지점에삼각형도형을놓으면균형이맞아야합니다.”
두도형을학생이말한대로놓자정확하게균형이맞았다.교실에서는2,300년전으로보내는함성과박수소리가터져나왔다.-1부3장〈아르키메데스의수학서커스〉,36쪽.

아르키메데스의방법은오늘날적분법의정신,즉전체를작은조각으로나누어분석한후,그것들을다시결합해전체를이해하는방식의모태라할수있다.그래서적분법의역사맨처음에는언제나아르키메데스가등장한다.그런데놀라운사실은적분법을완성한뉴턴과라이프니츠조차아르키메데스의방법의존재를몰랐다는것이다.이방법이자칫인류의기억속에서영영사라질뻔했던아찔한위기가있었기때문이다.-1부4장〈아르키메데스의‘방법’〉,41~42쪽.

수학에서적분이미분보다개념적으로먼저등장할수밖에없었던근본적인이유는인간의본성이부분보다전체에더많은관심을갖기때문이고,동적(動的)인것보다정적(靜的)인것을탐구하는것이훨씬쉬웠기때문이다.적분은‘정적인전체’를탐구하는과정에서탄생했고,미분은‘동적인부분’을탐구하는과정에서시작되었다.-1부8장〈입체도형의부피를어떻게구할것인가〉,74~75쪽.

고대의유클리드는‘선은폭이없고,면은두께가없다.’라고했지만,카발리에리는‘무한히가늘지만폭이있는선’과‘무한히얇지만두께가있는면’을상상한것이다.카발리에리는이러한선의폭과면의두께를‘더이상나눌수없는(indivisible)양’,즉‘불가분량(不可分量)’이라불렀고,이개념은본격적인적분의등장을알리는마중물이되었다.-1부13장〈적분의재등장〉,127쪽.

“우와!”“멋지다.”
이그림을처음보는학생들도이그림의의미를직감하는모양이다.역시아름다운것은누구에게나통하는법이다.
“이제선생님이진짜로구하려고하는것이단순히직사각형들의넓이의합이아니라는것을눈치챘지?”
“예,곡선아래의넓이를구할수있을것같아요.”
“어떻게하면곡선과x축사이의넓이A를알수있을까?”
“n의값을한없이증가시켜요.”
학생들이스스로극한을떠올리기시작한다.
“그렇지.사실17세기수학자들도이런방법으로곡선으로둘러싸인도형의넓이를구했단다.”-2부1장〈현대적적분의시작〉,134쪽.

16세기까지만하더라도3+3+3과3X3은서로다른양으로취급되었다.3+3+3은9만큼의길이라고여겼고,3X3은9만큼의넓이라고본것이다.x^2과x^3을각각정사각형의넓이나정육면체의부피로보지않고일반적인수로여기는생각이정착된것은17세기에이르러서다.-2부6장〈미적분의기본정리〉,170~172쪽.

드디어나에게큰의미가있는수능문제를소개할시간이다.어쩌면이책을쓰게된첫계기를만들어주었다고도할수있다.어느날모임에서만난한교수님이무심하게한마디를던졌다.
“이건눈으로푸는문제잖아!”
그말은익숙한방식대로만문제를풀고있던나를깨웠고,그의미를스스로깨우치려탐구하는과정에서미적분을직관적으로도바라보게하는눈을뜨게했다.-2부10장〈넓이의변화율직관하기〉,211쪽.

정적분에항상등장하는라이프니츠의미분소dx와dy를단순히‘무한히작은폭’을상징하는것으로만생각한다면그것은dx,dy를너무나도홀대하는것이다.dx,dy의진짜위력은한없이가느다란폭의비를서로비교할수있게해미분과적분을자유자재로변환하거나치환
할수있게하는데에있기때문이다....미적분에입문한지거의40년만에,서로대응하는두조각의넓이비를이용해다항함수의그래프와x축사이의넓이를구하는방법을발견했다.그리고이방법을통해학생들로하여금라이프니츠의눈으로치환적분법을직관하게할수있겠다는희망도생겼다.-3부2장〈넓이를구하는새로운방법〉,239~243쪽.

적분할수록차원이증가한다고했다.그리고미분은적분의역연산이라고했다.그렇다면미분할수록차원이낮아져야할것이다.그런데직사각형을아무리잘게나누어도선분이되지않고아주가느다란직사각형이끝까지남아있지않은가?원기둥을아무리작게나누어도아주얇은원기둥이여전히남아있지않은가?그럼에도불구하고미분할때마다차원이낮아지는이유는무엇일까?
그이유는바로미분은단순히잘게나누는데그치지않고잘게나눈결과와기준이되는변화량사이의비를구하는것이기때문이다.즉,무언가(y)를미분한다는것은그와관련된또다른어떤것(x)이무한소dx만큼변할때그무언가의변화량dy를dx로나눈비,즉dy/dx
를구하는것이다.이때비를구하기위해‘dx로나누는과정’에서차원이하나씩낮아지는것이다.-3부4장〈곡선의길이,그리고미적분과차원〉,263쪽.

미적분의기본정리가발견되기전에는넓이나부피와같은‘무엇’을구하기위해서는대상을한없이작고무수히많은조각으로나누고그조각들을단순한도형으로재구성해다시합하는구분구적법을이용했다.하지만미적분의기본정리가발견된후에는그‘무엇’을직접구하려고시도하는대신,먼저그것의변화를분석해도함수를구한뒤부정적분을통해‘무엇’을구하는새로운방법이등장한것이다....이제수학자들은복잡한문제상황과맞닥뜨렸을때,무작정문제를직접해결하려고시도하기보다는문제를일으킨요인이나문제에영향을주는요소의‘변화’를분석하는것이더쉬울때가많음을깨닫게되었다.-3부8장〈무한소만큼의변화가탄생시킨새로운방법〉,305쪽.