피타고라스학파의 집단살인 (무리수는 무엇인가)

박영훈

저자박영훈은서울대수학교육과와미국몬태나주립대수학과(석사)를졸업하고,서울대대학원에서교육학박사과정을마쳤다.서울대를비롯한대학과중고등학교에서수학을가르쳤으며,비영리법인인나온교육연구소를설립해유럽,미국,일본등지의수학교육교수법을연구해옴.수학능력시험출제위원,교육개발원학교교육평가위원,교과서집필위원으로활동하는한편,‘초등수학르네상스’등의커리큘럼을통해2만명에이르는교사연수를진행.수학교육이즐거운삶의한부분이될수있도록방송(KBS라디오,EBS,두산TV),신문(경향신문)의장에서도폭넓게활동해옴.《기호와공식이없는수학카페》《기적의유아수학》《아무도풀지않은문제》등다수의저서를출간하였으며,2017년봄부터수학의넓은대지를문명사적으로종횡으로누비며수학의본령에다가가는‘잃어버린수학을찾아서’프로젝트와새로운패러다임의수학교육지도서《초등수학어떻게가르칠것인가》(전12권,공저)를펴내는프로젝트를시작하였다.

프롤로그:집단살인을부른무리수

1.도형에서수를생각하다
제대로된숫자도없던고대그리스
기하학적으로수를접근하다
제곱근기호와그의미
수학공포증의시초인수학기호
유리수는무엇인가
연역적추론에근거한수학적증명
우리삶에들어있는증명

2.피타고라스는왜자연수에집착하였을까
그리스신화속의수학
신화에서학문으로
피타고라스학파의탄생
자연수에집착한피타고라스학파

3.무리수를인정하지않은진짜이유
분수를알고있을까
분수는무엇인가
유리수까지수의세계를확장하다
유리수의본질:공통단위가존재한다
음악도자연수의비로나타낼수있다
직선위점의개수를세어본다
낙원에서추방된피타고라스

4.무리수의아름다움이빛을발하다
A4용지에서발견한무리수
A4용지크기결정이수학문제인가
동그라미에들어있는무리수π

에필로그:이름에황금이붙은숫자

일찍이없었던수학교양서
무리수는무엇인가

국내대표수학교육전문가박영훈선생님의‘잃어버린수학을찾아서’시리즈는수학의넓은대지를문명사적으로종횡으로누비며수학의본령에다가가는기획물이다.요리책레시피수준의학교수학,창의성을상실한내비게이션수학을넘어새로운수학의패러다임을10권으로구성된야심찬프로젝트속에담아낼것이다.
우리는12년동안학교에서수학을배운다.그렇게긴시간동안엄청난노력을기울이건만숱한학생들이수포자가되고만다.어려운문제를척척풀던아이들이어느순간좌절하게되고,수학을잘해대학수학과에진학한학생들도대부분수포자의길을간다.왜그럴까?문제풀이요령만죽어라외웠기때문이다.
저자는길을몰라도목적지로데려다주는내비게이션을닮았다하여이를‘네비게이션수학’이라고부른다.수학은교과서에담겨있는공식이나문제를모아둔것이아니라패턴을발견하는지적활동이다.시인예이츠는“교육은양동이를채우는것이아니라,불을지피는일”이라고말했다.학생들이스스로사고할수있도록이성의불을지펴주어야하고,머릿속에서인류의고귀한지적유산인인지지도가개념화될수있어야한다.
‘잃어버린수학을찾아서’시리즈는초등학교에갓입학하며배우는아라비아숫자와간단한곱셈구구에서부터미적분과확률에이르는수학의궤적을새로운패러다임으로되짚어가는기획물이다.수학지식이어떻게만들어졌으며,수학자가어떤패턴을발견하여그지식을창조했는지를문명사적으로풀어낸장대한이야기에빠져들다보면저도모르게수학의본질을몸에체득하게될것이다.
‘잃어버린수학을찾아서’시리즈의둘째권인이책의주제는무리수의본질을추적하는내용이다.도대체무리수가무엇이길래고대그리스시대에무리수를둘러싸고집단살인이발생한것일까?그것도그유명한피타고라스학파의내부에서.추리소설을읽듯흥미진진하게고대그리스인들의수개념과자연수에집착했던피타고라스학파의세계를들여다볼수있다.자연스럽게유리수와제곱근이무엇인지그리고수학에서증명이무엇인지그실체를이해할수있게된다.또다른무리수인원주율과황금비에대한이야기,그리고A4용지같은실생활에적용된무리수의사례를통해무리수가교과서속에만존재하는게아님을알수있으며,우리가사용하는수체계에대한높은이해에이르게될것이다.

잃어버린수학을찾아서

12년동안수학을배운다.그렇게긴시간과많은노력을들여고생했건만,그내용이실제수학이라는학문의본질과는거리가멀다는사실을깨닫게된다면정말허탈할것이다.하지만사실이다.일반인에게는잘알려져있지않지만,대학의수학과에서도적지않은수포자가나온다.그들은고등학교때까지수학을잘한다고부러움을사던학생들이다.학문으로서의수학이그전까지배운수학과너무달라서끝내좌절하고만것이다.
문제는학교수학에있다.학교에서가르치고배우는수학지식의대부분은2천년이전의것으로고리타분그자체이다.새로운내용은미적분과확률정도인데,그마저도3,4백년전의것이다.음악으로치면고대바빌로니아의음악이나기껏비발디나헨델시대의바로크음악에머무는셈이다.모차르트나베토벤의음악조차만나지못하는것과진배없다.
반드시새로운것을가르쳐야한다고주장하는것은아니다.비발디의〈사계〉나헨델의〈오라토리오〉가여전히고전이듯이,유클리드의기하학과8,9세기아랍에서유래한대수학은오늘날에도유용하다.문제는이들옛날수학의대부분이회계나토지측량같은실용적인필요에의해탄생했다는점이다.그래서‘이렇게저렇게따라하면답을구할수있다’는마치요리책에담긴레시피를알려주는수준에불과하다.
냉정하게말하면오늘의학교수학은여전히요리책수준에머물러있다.그러니사람들이수학학습을요리레시피를익히는것쯤으로인식하는것은지극히당연하다.‘이공식에대입하여이렇게식을조작하면답이나온다’는기계적인문제풀이를수학이라고생각하는것이다.그결과많은시간을들여수학을공부했건만정작수학이무엇인지는알지못한다.분수계산은할수있어도분수가유리수와어떻게다른지,삼각형의세가지합동조건은줄줄암송해도그의미가무엇인지는모른다.나는이를‘내비게이션수학’이라고규정한다.내비게이션의지시대로운전해정확하게목적지에도착했건만,정작어떤길을따라운전했는지알지못하는것과같다.
물론수학은문제를해결하는학문이다.표준적인풀이방식의습득은필요하다.적용할공식이나따라야할절차를찾아보는것도필요하다.하지만거기에그쳐서는안된다.실제수학
문제는숫자를대입하면되는공식이나풀이가유사한문제를찾아서해결할수없는경우가더많다.
문제가무엇인지를생각하는것,그것이답이다.누군가가분류해놓은문제의유형에주목하기보다는,문제가말하는것이무엇인지를제대로파악하고생각해야한다.수학지식의의미를파고드는‘수학적사고’야말로수학의본질이고핵심이다.이제는내비게이션수학에서탈피해야할때다.내비게이션이지시하는대로따라가다가무심코지나쳤던길이어떤길이었
는지되돌아볼수있어야한다.도중에왜마을이들어섰는지도잠시살피고,전망좋은곳에들러멋진경치를감상하는여유도만끽하자.
‘잃어버린수학을찾아서’시리즈는초등학교에갓입학하며배우는아라비아숫자와간단한곱셈구구에서부터미적분과확률에이르는수학의궤적을새로운패러다임으로되짚어가는야
심찬기획물이다.수학의넓은대지를문명사적으로종횡으로누비며수학의본령에다가가는이같은시도는국내에서는물론처음이거니와해외에서도사례를찾기어려울것이다.이시리즈가더나은가르침을주고싶은교사들과교과서너머의지식에목말라하는학생들,그리고삶의여정속에서수학지식의유용함을믿는신실한이들에게귀한자양분이되었으면좋겠다.부디비틀스의음악에서베토벤의선율을발견할수있기를!

책머리에

중학교수학시간에유리수와무리수를배운다.교과서는유리수를정의한다음무리수는단지‘유리수가아닌수’라고기술하고있을뿐이다.실제무리수가무엇인지알려주지않는다.무리수의본질에접근하는것이이책의주제이다.피타고라스의제자였던히파수스의죽음을배경으로다음과같은순서로구성하였다.
먼저피타고라스가살았던고대그리스인들의수개념을들여다본다.그들은오늘날의우리와는달리기하학적관점에서수를바라보았다.그배경과논리를추적해가다보면유리수와제곱근이무엇인지그리고수학에서증명이무엇인지실체가떠오를것이다.이어서피타고라스학파가왜수에그토록집착했는가를밝힌다.초등학교학생은물론이고남녀노소누구라도읽을수있다.
이책의중심주제인무리수의본질을추적하는내용이뒤를잇는다.초반부는초등학교학생도이해할수있지만,중반을넘어서면중학교3학년수준의이해도에적합한내용이다.실생활에적용된무리수의사례로서우리에게친숙한A4용지를살펴본다.용지제작과정이수학적이어야하는이유를통해무리수가교과서속의이야기만이아님을알수있다.중학교에서배우는이차방정식을풀수있다면수학적문제해결이무엇인지이해할수있다.또하나의무리수인원주율의근삿값을고대이집트인들이어떻게구했는지,그리고숫자이름에황금이들어간‘황금비’에대한이야기는무리수에대한이해를더욱심화시켜줄것이다.
아무쪼록이책을통해무리수와유리수를포함한실수라는수체계의완성이이루어질수있기를기대한다.