“3년동안일요일마다”
보이텔슈파허는아무리어려운이야기도쉽고재미있게풀어가는놀라운재주가있다.수학에흥미를유발하는수준이아니다.이책을읽어나가는사이독자들은금광을캐듯학교에서좀처럼가르치지않는수의본질적속성에눈뜨게된다.여러자연수와무리수,소수,음수,분수,소수점,초월수,허수,무한(∞)등에관한이야기를따라가다보면,어느순간무미건조하게만보이던숫자들이고유한생명을얻는다.비유만은아니다.생존율을높이기위해7년,13년,17년등소수주기로세상에등장하는매미와피보나치수열을해바라기씨앗의배열을보라!보이텔슈파허의말마따나,수는세상을여는열쇠다!
경이로운것은수들의속성만이아니다.수의속성을찾고자하는수학자들의집념과인내력도경이롭다.이를테면수학자구스타프메르헤스는이미가우스에의해작도가가능하다고증명된정65,537각형의작도에도전한다.그는그일을10년만에해낸다.그리고그과정을기록해괴팅겐대학에논문으로제출한다.이런논문을쓴다는것도상상하기어렵지만,그논문을읽어검증한다는것도상상하기어렵다.“이과업을실행한사람은아직없다.”(<65,537:궤짝안의수>)
1903년10월31일수학자프랭크넬슨콜은강단에올랐다.이미소수가아님이증명되었지만아무도그약수가무엇인지몰랐던수267-1의약수를자신이발견했다는것을입증하기위해서였다.콜은자리에서일어나먼저왼쪽칠판으로가서칠판위쪽에267-1이라고적고아무말없이그값을칠판위에계산해갔다.그런다음또아무말없이오른쪽칠판으로가서193,707,721과761,838,257,287을계산했다.꼼꼼하고참을성있게계산한끝에콜은왼쪽칠판에적혀있는수와똑같은수를얻었다.강연내내콜은침묵했다.그럼에도청중은기립박수로이강연에경의를표했다.훗날그는그약수들을어떻게찾아냈냐는질문을받고이렇게대답했다.“3년동안일요일마다.”(<267-1:말없이>)
왜음수곱하기음수는양수일까?
이책은음수나,π등우리가그냥원래그런것이라고자연스럽게받아들이는수들의새로운면모를보여준다.
먼저음수.“교수가강의실앞에서있다.그는학생다섯명이강의실에들어가는것을보고얼마후에여섯명이나오는것을본다.교수는생각한다.‘이제한명이들어가면강의실이다시텅비겠군.’”이수학적재담은음수가그렇게간단히취급할수있는문제가아님을은연중에드러낸다.수천년동안사람들은음수를받아들이기를꺼렸다.아무것도없는상태에서또무언가를뺀다는것을상상하기가어려웠기때문이다.그래서1544년저서『종합산술Arithmeticaintegra』에서최초로음수가존재할권리를인정한수학자미하엘슈티펠도음수를“터무니없는수”라고불렀다.
어려운질문하나.음수곱하기음수는왜양수인가?이를테면(-1)곱하기(-1)은왜+1인가?초등학교저학년도코웃음칠문제이지만,그이유를설명해보라면대부분의사람들은눈을동그랗게뜨며놀란표정을지을것이다.이에대한납득할만한설명은19세기에이르러서야수학자헤르만항켈에의해이루어졌다.(<-1:터무니없는수>)
보이텔슈파허는이책에서플라톤의대화편『메논』을인용하여가등장하게되는순간을설명한다.그러고나서가어째서무리수인지유클리드의증명방식을보여준다.증명과정을따라가는것은어렵지않지만,경탄이절로나온다.마지막으로“어떤종이전체와그종이의4절지,8절지,16절지가모두닮은꼴이되려면,종이의규격이어떠해야할까”라는물음의답에서는다시등장한다.는우리의일상생활어디에나있다.A4용지는이아이디어에서탄생한것이기때문이다.(<:탁월한무리수>)
π값알아내기
π의근삿값이3.14라는것은누구나알고있다.하지만그값은어떻게구하는가,라는질문에자신있게답변할사람은많지않을것이다.
그런데π의값은왜알아야할까?약6,000년에혁명적인발명이하나이루어졌다.바로바퀴다.바퀴덕분에엄청난노력을들여조금씩끌어움직일수있었던짐을사람들은수레에실어쉽게옮길수있게되었다.그런데바퀴를제작하려면그둘레와면적을알아야한다.그래야바퀴제작에필요한재료의양을구할수있기때문이다.문제는그값을정확히계산하고자할때그문제가영원히해결되지않는다는것이다.
사람들은그값을구하려면지름에특정한수를곱해야한다고생각했다.그특정한수가바로π의값이다.세계여러곳에서채택된최초의근삿값은π=3이었다.기원전1900년에바빌로니아인은π=25/8=3.125를채택했다.기원전1650년이집트의린드파피루스에는π=(16/9)2？3.1605가등장한다.기원전4세기에인도수학자들은π=339/108？3.139를채택했다.
그러고나서우리는아르키메데스의놀라운사고의전환을만난다.“아르키메데스(기원전288-212)의연구는수π를간단히표현할수있다는생각을완전히추방했다.그는이렇게생각했다.‘원의둘레를알아내기가어렵다면,원과비슷한다른도형의둘레를알아내는것을첫걸음으로삼자.’구체적으로그는원안에정육면체를그려넣었다.”정육각형의둘레는원의반지름의6배,바꿔말해지름의3배이다.이로부터π가3보다크다는결론을얻을수있다.마찬가지로아르키메데스는원을둘러싼정육각형을그리고그둘레를계산했는데그값은약3.46이다.따라서π는부등식3<π<3.46을만족시킨다.아르키메데스는정육각형에서멈추지않고각의개수를계속두배로늘려정96각형까지그렸다.그값은3.1408<π<3.14286이다.
이후π의근삿값을더정확하게제시하는것을목표로하는경쟁이시작되었다.그렇다면오늘날π의값은어디까지계산되었을까?π의값은1947년에719자리까지계산되었고,1957년에1만자리,1961년에10만자리,1974년에100만자리,1989년에는10억자리까지계산되었다.그이후에어디까지나아갔는지는책에서확인하기바란다.그렇게구한π값에는어떤실용적인가치가있을까?하나도없다!나사가우주선의궤도를계산할때사용하는π의값은겨우15자리에불과하기때문이다.그렇다면수학자들은도대체무슨생각으로그런계산에매달리는걸까?
해외서평
이책은모든수가세상을여는열쇠임을증명한다.환상적인책이다!-벨트암존탁
고등학교졸업이후속도계나영수증의숫자만봐온사람들도부담없이즐길수있는경쾌한수학책.-프랑크푸르터알게마이네차이퉁
수학을성공적으로가르치려면역사적맥락이뒷받침된광범위한전문지식만이아니라수학문외한이스스로생각하도록고무하는즐거움이있어야한다.알브레히트보이텔슈파허는이두가지를모두갖추고있다.-노이에취르허차이퉁
