경제가 쉬워지는 최소한의 수학 : 합리적 선택과 문제 해결력을 위한 수학적 사고법

경제가 쉬워지는 최소한의 수학 : 합리적 선택과 문제 해결력을 위한 수학적 사고법

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Description
수학, 경제의 비밀을 풀다
우리가 그동안 몰랐던 경제 속 수학 이야기
● 적금을 중간에 해지하면 이자율은 어떻게 될까?
● 과세표준에 따라 내는 세금이 왜 다를까?
● 소비자의 만족감을 숫자로 표현할 수 있을까?
● 가게가 성공하면 생산량을 얼마나 늘려야 할까?

우리 삶은 온갖 선택의 연속이다. 그중에서도 현명한 경제적 선택은 삶을 꾸리는 데 필수적이다. 예ㆍ적금 이자 비교부터, 연말정산 공제액 계산, 투자 정보를 얻기 위한 노력까지 경제는 우리 삶의 많은 부분을 좌우한다. 더불어 경제적 자유가 삶의 새로운 목표로 떠오르고, 저성장의 시대가 계속되는 불확실성의 시대에 합리적 선택을 내리는 일은 더욱 중요해졌다. 《경제가 쉬워지는 최소한의 수학》은 그 방법으로 ‘수학적 사고법’을 제안한다.

고등학교 수학교사인 저자 오국환은 2015년 개정 교육과정에서 신설된 〈경제 수학〉 과목을 맡으면서, 복잡한 인간 세상을 설명하는 언어로서 수학이 지닌 가치를 새삼 깨달았다. 수학적으로는 새롭게 가르칠 내용이 크게 없는 반면 경제에 관련된 다양한 개념이 등장하다 보니, 맥락을 이해하기 위해 우물을 파는 심정으로 하나하나 공부해나가야 했고, 그 과정에서 오히려 ‘수학이란 무엇인가?’라는 본질적 질문과 변화무쌍한 경제 현실이 맞닿은 접점에 눈을 뜬 것이다. 그 경험을 바탕으로 ‘경제에 관련된 여러 복잡한 현상을 수학의 눈으로, 수학의 언어로 이해하고 표현하여 문제를 해결하는 경험’을 제공하고자 이 책의 집필을 결심하고 세상에 내놓았다.

‘경제학’과 ‘수학’이 전문가의 전유물이 아니라, 일상 속에서 경제적 사고와 수학적 사고가 만나는 순간 앎의 기쁨을 누리고 문제를 해결할 수 있다는 용기를 주는 책이다. _한진수ㆍ경인교육대학교 사회과교육과 교수, 《청소년을 위한 경제학 에세이》 저자

총 4장으로 구성된 이 책은 각 장마다 경제를 이해하는 데 길잡이가 될 최소한의 수학적 사고법을 제시한다. ‘변화와 규칙성(수열)’, ‘상대적인 크기(비와 비율)’, ‘모델링(수학적 모형)’, ‘합리적 선택(최적화)’라는 프레임을 통해, 변화하는 돈의 가치를 계산하는 문제부터 시장 참여자들의 이익을 극대화하는 방법까지 두루 살펴본다. 저자는 수학이 ‘언어’와 같다고 거듭 강조하는데, 이는 곧 문자 언어가 추상적인 관념을 구체화하여 고차원적 소통을 가능케 하듯이, 수학 또한 복잡한 세계를 표현하는 언어로서 직관 너머의 영역을 사고할 수 있게 돕는다는 의미이다. 수학이라는 언어로 때로는 넓게, 때로는 깊게 경제 문제를 탐구하다 보면, 책을 덮을 때 즈음에는 은행 상품을 고르다가도, 할부와 일시불을 고민하거나, 별점 리뷰를 남기면서도 그 속에 숨은 수학적 사고를 발견하고 문제를 스스로 해결해나갈 수 있을 것이다.
저자

오국환

저자:오국환
서울대학교수학교육과와동대학원을졸업하고박사과정을수료하였다.수학수업과수학교사전문성,그리고비판적수학교육에관심이많다.현재파주운정고등학교에서수학교사로학생들을가르치며더불어많이배우고있다.
2015년개정교육과정고등학교수학교과서(교학사)와경제수학교수학습자료집필에참여하였고,KDI·경인교대·교원대등에서경제수학연수강사로참여하였다.

목차

머리말일상속경제문해력을키우는수학적사고의힘

1.돈이불어나는원리를찾아라!:변화와규칙성

변화무쌍한돈의흐름을간파하는수열의비밀

이자:돈이돈을버는원리를찾아서
돈을빌리는게오히려가성비가높을때가있다?
나열한숫자에숨은합리적의사결정의열쇠
경제리터러시:‘72의법칙’은얼마나실현가능할까?

예금과적금:나눠서굴릴까,한번에굴릴까?
아는것이힘?아는만큼돈이된다!
같은것을다르게표현하여해답을찾는방법
경제리터러시:예금과적금속숨은그림찾기

대출과할부:한달에얼마씩내놓으라고요?
현명하게빚을내는방법이있다?
현재가치와할인율을알아야하우스푸어를면한다

연금:‘가늘고길게’와‘굵고짧게’의차이
1년용돈을한꺼번에준다고제안을받는다면?
죽을때까지받는연금은계산법이다르다
경제리터러시:투자의시대,직장은어떤가치가있을까?

누구나경제적자유를꿈꿀권리가있다

2.숫자로파악하는경제:상대적인크기

비와비율로복잡한변동을한눈에보여주는비결

비율과지표:거대한양의변화를쉽게이해하는법
실업률과고용률의합은왜100%가아닐까?
경제상황을통계로알려주는다양한경제지표

경제지수:오르락내리락숫자로읽는경제
코스피지수가떨어지면나라가위험하다?
GDP는무엇이며왜중요할까?
세계각국GDP와경제성장률이말해주는것
경제리터러시:복잡하고다양한주식시장의세계

환율:살때와팔때가다른이유
환율시세표,제대로읽는법

세금:피할수없다면알고활용하기
연말연시에검색량이증가하는단어가있다?
직접세와간접세,얼마나내고있을까?
경제리터러시:경제지표로국제사회문제드러내기

줌인과줌아웃으로경제를들여다보는이유

3.복잡한경제를단순하게:수학적모델링

경제현상을설명하는수학적모형

효용함수:소비자의만족감을수치로표현할수있을까?
별점에담긴수학,순서와점수의차이
같은만족감을느끼는사탕과젤리의조합
다양한변수는더복잡한함수로

생산과비용:생산자는얼마나,얼마에만들어야할까?
생산을늘리고비용을줄이는최적의방법
도넛을한개더만들때의추가비용과평균비용

수요와공급:가격을결정하는보이지않는손?
코로나19로마스크가격이폭등한이유
균형가격과거래량은어떻게정해질까?
경제리터러시:마셜은왜그래프축을반대로사용했을까?

탄력성:반값치킨과고가명품이같은전략이라고?
치킨과휘발유,비싸다고어떻게안사나요?
경제를살리고싶다면탄력성을알아야한다
경제리터러시:많이수확하면무조건좋을까?농부의역설

행렬:더많은변수를다뤄보자
생산자와소비자너머경제를움직이는손새로운언어,행렬

수학의언어로직관을넘어서기

4.한정된자원으로최선의결과를:합리적선택

가성비를수학적으로계산하는최적화문제

이윤극대화:더높은최댓값을구하는법
기업은어떻게목적을달성하는가?
들이는돈보다버는소득이더높아지려면?
경제리터러시:이윤만이목적이아닌기업도있다

효용극대화:미분으로설명하는“기왕이면다홍치마”
소비자가가장행복해지는순간을찾아서
최대효용을위한수학적접근법
경제리터러시:시장에서소비자권익을보호하는방법

선형계획법:원한다고모든것을다만들수는없다
베이글과크루아상완판을위한최적의조합
더많은추가조건을고려해야한다면?

경사하강법:반복을통한최적화알고리즘
안개낀날산을오르거나내려오는방법
경사하강법의실제와한계

합리적의사결정의결과로실질적이득을얻기까지

맺음말수학의아름다움과실용성을생각하며
미주

출판사 서평

책속에서

돈의가치변화를고려하여합리적의사결정을내리려면단순히‘돈이불어나는구나’하는정도의추상적인이해를넘어설필요가있습니다.즉,돈의가치가어떤식으로증가하거나감소하는지,시기에따라돈의가치는어떻게변하는지,원금의크기는이자에어떤영향을미치는지등을구체적으로생각할수있어야한다는말입니다.가장먼저이해해야할것은바로‘이자’입니다.원금의크기나돈을빌리는기간에따른이자가돈의가치를변화시키기때문입니다.
---「1.-이자:돈이돈을버는원리를찾아서」중에서

이함수는실제로돈을2배로불리는기간과72의법칙으로예측한기간의차이를의미합니다.의그래프로나타내면아래와같습니다.그래프를통해알수있듯,이함수는정도의값을가질때오차가가장적게나타납니다.8%정도의수익률을가질때72의법칙이가장잘적용된다는뜻이지요.
---「1.-경제리터러시:‘72의법칙’은얼마나실현가능할까?」중에서

현재가치를기준으로계산할때갚아야할금액은원금그대로입니다.현재,즉지금을기준으로계산하게때문에대출금에아직이자가붙지않았다고생각하면됩니다.대신월상환액을원이라고하면,각각의원에는할인율을적용해야하겠지요.한달후에내가낼원의가치는현재원보다작을테니까요.당연히먼미래에낼원일수록할인율을적용하여그값이작아집니다.그러므로현재가치를기준으로계산할때는각각의월상환금에할인율을적용하여이를모두합한값이현재의대출금과같도록계산하면됩니다.
---「1.-대출과할부:한달에얼마씩내놓으려고요?」중에서

이러한문제를해결하기어려운근본적인이유는문제에‘무한’의개념이포함되어있기때문입니다.직관으로는쉽게해결하기어려운부분이문제에포함되어있다는말이지요.이를해결하는방법으로무한등비급수문제의풀이에서는문제를직관이닿을수있는부분으로끌고옵니다.즉,무수히많은항의합을구해야하는본래의문제를항까지의합을구하는문제로일단바꾸고,무한을상상하기쉬운형태()로만든후이무한히크면어떤값이될지를상상한다는말이지요.이는곧전체를생각하기어려울때문제를축소하여풀어본뒤,그결과를이용해원래의문제를해결하는아이디어이기도합니다.
---「1.-연금:‘가늘고길게’와‘굵고짧게’의차이」중에서

이렇게계산한GDP는한나라의생산능력을정확하게나타내는데한계가있습니다.GDP계산에는생산량과가격이변수로작용하는데,상품의가격이바뀌면생산량에변화가없더라도GDP가변화하기때문입니다.그래서GDP는명목GDP와실질GDP로구분합니다.명목GDP는당해연도의생산량에당해연도의가격을곱해서구하고,실질GDP는당해연도의생산량에기준연도의가격을곱해서구합니다.물가변동의영향을제거하므로,생산능력의변화를정확하게파악할수있겠지요.
---「2.-경제지수:오르락내리락숫자로읽는경제」중에서

소득세에는누진세율을적용해야합니다.만약모든사람에게같은금액의소득세를부과한다면소득이낮은사람에게는상대적으로조세부담이커질거예요.(···)우리나라에서는아래표와같이과세표준에구간을두어구간에따라차등적으로세율을적용합니다.

누진세를적용하는방법은단순누진세율과초과누진세율이있습니다.단순누진세율은높은과세표준에따라높은세율을일괄적으로적용하는방법이고,초과누진세율은과세표준의구간을나누어초과금액에대해서만해당구간의세율을각각적용하여더하는방법입니다.
---「2.-세금:피할수없다면알고활용하기」중에서

사실우리는복잡한경제지표가사용된기사도대략적으로는의미를파악할수있습니다.글에서사용된어휘나글의뉘앙스를살펴보면경제가위기인지호황인지정도는보이니까요.문제는용어의의미를명확히알지못하면글에서그이상의정보를파악하거나비판적으로해석하기가어렵다는겁니다.가령환율이올라가서경제가위험하다는식으로기사가나오는데,애초에환율이어떤원리로오르내리는지모른다면이경제위험이어떤식으로구체화되어나에게다가올지생각할수없겠죠.
---「2.-줌인과줌아웃으로경제를들여다보는이유」중에서

주목할부분은같은현상을설명하더라도가정이달라지면서로다른수학적모형이나접근방식이생긴다는점입니다.한계효용이론이나무차별곡선이나결국설명하려는것은소비자가상품이나재화를소비할때의행동입니다.이를위해한계효용이론은효용을수치화할수있다고가정했고,무차별곡선은효용의순서만을매길수있다고가정했어요.

여기서하나의이론화된수학적모형을접할때,개에담긴가정이무엇인지염두에두어야한다는점을생각해볼수있을것같습니다.앞의사례처럼,수학적모형은어떤가정을바탕으로어떤변수를어떻게통제하느냐에따라서로다른모습으로나타나니까요.
---「3.-효용함수:소비자의만족감을수치로표현할수있을까?」중에서

생산량은노동량을늘린다고해서정비례하게늘어나지않습니다.도넛가게에서직원을계속늘리다보면초반에는생산량이늘어나겠지만가면갈수록가게가복잡해져오히려효용이떨어지겠지요.이를‘수확체감의법칙’이라고부릅니다.한편으로는직원을계속채용하다보며,인건비를비롯한여러비용이급격히불어납니다.생산량은점차변화가줄어드는데비용만늘어나니생산자입장에선별로속이좋지않겠죠.결국생산자는직원을적당한수로유지하면서이윤을최대로만드는생산량과비용의균형을찾기위해노력할것입니다.
---「3.-생산과비용:생산자는얼마나,얼마에만들어야할까?」중에서

풍년이들면공급곡선이오른쪽으로이동하면서가격은떨어지고거래량은증가합니다.그런데농산물의경우수요곡선이비탄력적이기때문에,가격이많이떨어지는데비해거래량증가는크지않아요.그러니결국가격과생산량의곱으로계산되는총수입은줄어듭니다.반면흉년이들면공급곡선이왼쪽으로이동하면서가격이올라가고거래량이떨어집니다.하지만가격이많이올라가는데비해거래량은크게떨어지지않지요.이경우결국총수입은예전보다증가합니다.이러한원리때문에풍년이들면총수입이낮아지고흉년이들면총수입이높아지는농부의역설현상이나타나는것입니다.
---「3.-경제리터러시:많이수확하면무조건좋을까?농부의역설」중에서

일반적으로소비자가여러재화를소비하는경우,각재화의1원에따른한계효용이같아지도록소비할때효용은최대가됩니다.이를한계효용균등의법칙이라고합니다.흔히뷔페에갔을때의상황으로이법칙을설명하는데요.뷔페에가서스테이크가좋다고계속스테이크만먹으면곧물리죠.스테이크의한계효용이떨어졌기때문입니다.이때고집을부리며스테이크로만배를채우고식당을떠나려면뭔가아쉬움이남겠죠?먹지못한디저트가눈에아른거린채로식당을떠난다면식사만족도가높지않을겁니다.그러니스테이크가물릴때는이보다한계효용이높은음식,새로운음식을찾아먹어야전체적인효용이높아집니다.이렇게반복해서새로운음식을먹다보면결국뭘먹더라도효용이높아지지않는순간이옵니다.이제뭘더먹어야겠다는아쉬움이없는상황이죠.만족도가최대가되었으니,식당을기분좋게떠나면되겠지요?
---「4.-효용극대화:미분으로설명하는“기왕이면다홍치마”」중에서