복소수의 모든 것 (올림피아드, 수학경시대회 대비 필독서)

띠투안드레스쿠,Andrica,Dorin

티투안드레스쿠(TituAndreescu)는루마니아티미소아라의웨스트대학(theWestUniversityofTimisoara)에서학사,석사,박사학위를받았다.그의박사학위논문주제는“ResearchonDiophantineAnalysisandApplications.(디오판틴분석과응용에관한연구)”였다안드레스쿠교수는현재달라스(Dallas)에있는텍사스대학(UniversityofTexas)에서지도하고있다.1998년부터2003년까지미국수학올림피아드의회장을지냈으며,1993년부터2002년까지10년간미국국제수학올림피아드팀코치를,1995년부터2002년까지미국수학올림피아드팀의지도자를역임했다.
2002년,티투는세계에서가장권위있는수학대회의운영기관인IMO자문위원회의회원으로선출되었다.티투는1994년고등학교수학교육으로이디스메이슬리프상(theEdythMaySliffeAward(역자주)이상은EdythMaySliffe상은미국수학협회(MathematicalAssociationofAmerica)에서매년미국의20명의교사에게수여합니다
)을받았고,1995년에수학올림피아드여름프로그램의코치로서미국팀을준비와1994년홍공IMO에서우수한성적을거두는것에대한탁월한공로를인정받아MAA회장으로부터감사장을받았다.수많은교과서와문제집에대한티투의기여는세계적으로인정받고있다.

서문ⅱ
제1판의서문ⅲ
기호표시ⅴ
저자들에대해서ⅵ
역자서문ⅷ

1장.대수형태의복소수1
1.1복소수의대수적표현1
1.1.1복소수정의1
1.1.2덧셈에관한성질2
1.1.3곱셈에관한성질3
1.1.4복소수의대수적형식5
1.1.5허수의거듭제곱6
1.1.6켤레복소수7
1.1.7복소수의절댓값9
1.1.8이차방정식풀이14
1.1.9연습문제17

1.2대수적연산의기하적해석22
1.2.1복소수의기하적해석22
1.2.2절댓값의기하적해석23
1.2.3대수적연산의기하적해석24
1.2.4연습문제27

2장.삼각함수형식으로표현된복소수28
2.1극좌표로표현된복소수28
2.1.1평면에서극좌표28
2.1.2극좌표로표현된복소수30
2.1.3극좌표에서의복소수연산34
2.복소수의거듭제곱35
2.1.4곱셈의기하적해석38
2.1.5연습문제39

2.2(unity)의제곱근41
2.2.1복소수의제곱근정의41
2.2.2의제곱근43
2.2.3이항방정식51
2.2.4연습문제51

3장복소수와기하54
3.1몇가지단순한기하적표현과성질54
3.1.1두점사이의거리54
3.1.2선분,반직선,직선54
3.1.3주어진비율로선분분할하기58
3.1.4각의측정58
3.1.5두직선사이의각61
3.1.6점의회전61

3.2같은직선위,수직그리고동일한원위에있을조건66
3.3닮은삼각형69
3.4정삼각형72
3.5복소평면에서의해석기하학일부78
3.5.1직선의방정식78
3.5.2두점에의해결정되는직선의방정식80
3.5.3삼각형의넓이81
3.5.4점과방향이주어진직선의방정식83
3.5.5점에서직선으로의수선의발84
3.5.6점과직선사이의거리85

3.6원85
3.6.1원의방정식85
3.6.2한점의원에대한방멱(Thepowerofapoint)87
3.6.3두원사이의각87

4장복소수와기하에대한자세한설명90
4.1복소수의내적90
4.2두복소수의외적96
4.3볼록다각형의넓이100
4.4삼각형에서체바선분의교점과중요한몇가지점들104
4.5오일러의구점원(Nine-pointcircle)107
4.6삼각형의중요한몇가지거리112
4.6.1삼각형의기본불변량112
4.6.2외심과내심사이의거리114
4.6.3외심과나겔점사이의거리115
4.6.4외심과수심사이의거리117
4.6.5블런던(Blundon)의부등식118

4.7삼각형의평면에있는두점사이의거리121
4.7.1무게중심의좌표(BarycentricCoordinates)121
4.7.2무게중심좌표에서두점사이의거리122

4.8무게중심좌표계에서삼각형넓이125
4.9수직극삼각형131
4.9.1심슨-월리스직선과페달삼각형131
4.9.2수직극성의필요충분조건138

4.10안티페달삼각형의넓이142
4.11라그랑주의정리와응용147
4.12내접다각형에서오일러의중심154
4.13복소평면에서기하적인몇가지변환156
4.13.1평행이동156
4.13.2실수축대칭157
4.13.3점대칭157
4.13.4회전158
4.13.5복소평면의등거리변환(IsometricTransformation)158
4.13.6몰리의정리(Morley’sTheorem)160
4.13.7중심닮음변환163
4.13.8연습문제164

5장올림피아드문제165
5.1켤레복소수와복소수의절댓값과관련된문제들165
5.2대수적방정식과다항식181
5.3대수적항등식의기하적성질187
5.4기하적문제의풀이196
5.5삼각비문제의풀이218
5.6의제곱근에관한자세한설명225
5.7다각형과관련된문제235
5.8복소수와조합론243
5.9다양한문제들251

6장답,힌트와제시된문제의풀이들261
용어정리390
참고문헌398

이책에는저자들의독특한경험이반영되어있다.또한이책을통해풍부한문제해결방법의핵심을포함한,그렇지만대부분의서구대중에게는잘알려지지않은,방대한수학도서를제공한다.
이책의일부는루마니아버전인2001년밀레니엄에서출판한도린안트리카와타투안드레스쿠의저서“복소수를향한새로운관점”에근거를두고있다.우리는루마니아편집본의제목과약35%의내용을있는그대로사용하고있다.심지어이에해당하는부분도상당히개선되었으며최신자료로내용이더욱강화되었다.
이책은고등학교학생들과그들의선생님,대학생,올림피아드나윌리엄로웰퍼트넘수학경시대회와같은수학경시대회준비생,그들의코치,그리고수학의본질에관심이있는모든이들을대상으로하고있다.
이책은능력있는고등학교교사를위한복소수와유클리드기하와같은강좌를개설하여미래의교육자에게총명한학생이나수학동아리에서그들이할수있는것에대한아이디어를제공할수도있다.
특별히최종원고의교정에도와준DanielVacaretu,NicolaeBisboaca,GabrielDospinescu,와IoanSerdean에게감사한다.또한이출판물의개선에직접적으로기여한적절한제안을해준관계자들에게도깊은감사를보낸다.