순열과 치환 : 수학영재를 위한 창의수학

아리T

저자 : 아리T
아리T라는 이름으로 활동하고 있다. 고려대학교 철학과를 졸업한 뒤 우연한 기회에 수학올림피아드를 접하면서 수학의 새로운 세계에 매료되었다. 이후 20년 이상 KMO와 영재학교 입시를 준비하며 수많은 학생들과 함께 수학을 공부해 왔다.
그가 수학을 가르치면서 가장 중요하게 생각하는 것은 수학을 대하는 태도이다. 어려운 문제를 만났을 때 쉽게 힌트나 풀이를 찾기보다 스스로 고민하고, 실패하고, 다시 도전하는 과정을 통해 자신의 한계를 넘어서는 경험이 수학 실력을 키우는 가장 느리면서도 가장 확실한 방법이라고 믿는다. 그리고 그 힘겨운 과정마저 즐길 수 있을 때 비로소 수학의 진정한 재미를 발견할 수 있다고 생각한다.
수학올림피아드는 수학을 좋아하는 학생들이 마음껏 도전하고 실패하며 성장할 수 있는 안전한 놀이터라고 생각한다. 오랜 시간 수학을 공부하고 가르쳐 온 수학자와 교육자들이 만들어 온 이 공간에서 학생들이 수학을 즐기고 스스로 생각하는 힘을 키우기를 바라는 마음으로 교육 현장을 지켜 왔다.
20년이 넘는 시간 동안 수많은 영재학생들과 함께 공부하며 그들의 성장 과정을 가까이에서 지켜보았다. 미래에 큰일을 해낼 인재들의 어린 시절에 함께할 수 있다는 사실에 자부심을 느끼는 동시에, 그들에게 어떤 영향을 주는가에 대한 책임감도 깊이 느끼고 있다. 특히 치열한 영재입시교육의 현실 속에서 때로는 좌절하고 실수하기도 하지만, 자신과 함께 공부한 학생들이 수학뿐 아니라 사람으로서도 올곧게 성장하기를 바라는 마음으로 교육을 이어가고 있다.
그는 교과서에서 배운 방법만으로는 해결할 수 없는 문제를 만났을 때 기존의 사고에서 벗어나 스스로 새로운 길을 찾아가는 경험이 중요하다고 말한다. 정답이 그려진 지도에서 벗어나 아무것도 주어지지 않은 세계에 한 발 내딛는 순간, 학생들은 비로소 자신의 힘으로 생각하기 시작하기 때문이다.
‘아리T’라는 이름에는 이러한 교육철학도 담겨 있다. 예전에 만든 유튜브 채널의 이름이 ‘병아리’였던 것에서 비롯된 이름이다. 알을 깨고 세상으로 나온 병아리처럼, 학생들이 익숙한 사고의 껍질을 깨고 나와 수학의 새로운 세계를 만나기를 바라는 마음이다.
오늘도 그는 학생들과 함께 고민하고 부딪히며, 수학의 어려움을 넘어 그 안에 숨겨진 진정한 즐거움을 발견하도록 돕는 선생님이 되고자 노력하고 있다.

1단원 치환의 기본 구조
1-1 치환과 합성
1-2 순환: 반복되는 움직임의 최소 단위
1-3 순환분해와 고정점: 복잡한 치환의 지도를 그리기
1-4 항등치환과 역치환: 움직임을 되돌리는 구조

2단원 교환과 홀짝성
2-1 호환: 모든 치환을 만드는 두 자리 교환
2-2 짝치환과 홀치환: 교환 횟수에 남는 불변의 홀짝
2-3 역전: 배열에서 홀짝성을 눈으로 세는 방법

3단원 치환의 성질과 분류
3-1 대합과 가환: 특별한 반복과 서로 간섭하지 않는 움직임
3-2 순환형과 켤레: 번호를 지우고 구조만 보기
4단원 실전종합문제

경시대회, 창의사고력 문제, 영재학교 입시 문제에는 배열의 위치를 바꾸거나 일정한 규칙에 따라 이동시키는 상황이 자주 등장한다.
이러한 문제는 조합이나 그래프, 대응의 관점에서도 살펴볼 수 있지만, 전체 배열의 이동 관계를 파악해야 하는 경우에는 치환의 관점에서 접근하는 것이 효과적이다. 따라서 치환의 개념과 구조를 이해하고, 이를 문제에 적용하는 방법을 익히는 것은 다양한 배열 문제를 해결하는 데 큰 도움이 된다.
이 책에서는 순열을 단순히 배열의 결과로 바라보는 데서 나아가, 이동 규칙으로서의 치환이라는 관점에서 살펴본다. 여러 번의 이동을 하나의 치환으로 표현하고, 그 치환에 나타나는 구조와 규칙을 읽어 내는 데 초점을 둔다. 전문적인 용어는 필요한 경우 그대로 사용하되, 중·고등학교 교육과정 밖의 개념은 문제를 해결하는 데 필요한 의미를 중심으로 간결하게 소개하였다.
각 소단원은 이론, 기본 예제, 응용문제로 구성하였다. 기본 예제는 새롭게 배운 개념을 직접 확인할 수 있는 짧은 문제로 구성하였으며, 응용문제에서는 계산과 판정, 간단한 논증 등을 통해 개념을 실제 문제에 적용하도록 하였다.
각 대단원의 끝에는 해당 단원에서 다룬 이론을 한 단계 더 깊이 적용할 수 있는 심화문제를 수록하였다. 또한 4단원 실전종합문제에는 본 교재에서 다룬 치환의 개념과 구조를 활용하여 해결할 수 있는 영재학교 기출문제의 변형문제와 심화문제를 배치하였다. 이를 통해 앞에서 익힌 개념을 종합하고 실제 입시 문제에 적용하는 경험을 할 수 있도록 하였다.
예제의 풀이는 본문에서 바로 확인할 수 있도록 구성하였으며, 응용문제와 심화문제, 영재학교 기출변형문제의 풀이는 별도 판매합니다.
문제를 먼저 스스로 해결한 뒤 풀이를 확인하면서 자신의 접근 방법을 점검하고, 치환의 관점에서 문제를 바라보는 방법을 익힐 수 있도록 구성하였다.

수학의 답을 찾는 것보다, 수학적으로 생각하는 법을 배우는 책
수학 문제를 풀다 보면 익숙한 유형과 풀이 방법만으로는 해결하기 어려운 순간을 만나게 된다. 특히 경시대회나 영재학교 입시에서 만나는 문제들은 단순히 배운 공식을 적용하는 것을 넘어, 문제 속에 숨어 있는 구조를 발견하고 새로운 관점에서 상황을 바라볼 것을 요구한다.
이 책은 그 가운데에서도 배열의 이동과 변화를 ‘치환’이라는 관점에서 바라보는 방법을 다룬다. 여러 번의 이동을 하나의 치환으로 표현하고, 그 안에 숨어 있는 구조를 읽어 내는 과정을 통해 복잡해 보이는 문제를 보다 간결하고 체계적으로 바라볼 수 있도록 안내한다.
특히 이 책의 장점은 치환을 단순한 이론으로 설명하는 데 머물지 않는다는 점이다. 이론을 익힌 뒤 기본 예제를 통해 개념을 확인하고, 응용문제와 심화문제를 통해 실제 문제에 적용하도록 구성하였다. 마지막에는 영재학교 기출문제의 변형문제와 종합문제를 배치하여 앞에서 배운 개념을 하나의 문제해결 도구로 활용할 수 있도록 하였다.
이 책에서 다루는 치환은 단순히 하나의 수학적 개념을 배우는 데 그치지 않는다. 복잡하게 얽힌 상황에서 무엇이 변하고 무엇이 변하지 않는지를 관찰하고, 반복되는 과정 속에서 규칙을 찾아내며, 전체 구조를 한눈에 바라보는 사고법을 익히게 한다.
따라서 이 책은 치환을 처음 접하는 학생에게는 새로운 수학적 언어를 소개하는 책이 될 수 있고, 이미 경시수학이나 영재학교 입시를 준비하고 있는 학생에게는 자신이 알고 있는 문제해결 방법을 한 단계 확장해 주는 책이 될 수 있다.
무엇보다 좋은 수학 공부는 정답을 빠르게 찾아내는 데서 끝나지 않는다. 어려운 문제 앞에서 쉽게 포기하지 않고, 여러 방법을 시도하며, 마침내 문제의 구조를 스스로 발견했을 때 느끼는 즐거움이 수학 공부의 본질에 가깝다.