피타고라스 생각 수업 : 수학자는 어떻게 발견하고 분석하고 활용할까, 개정증보판

이광연

저자:이광연
성균관대학교수학과를졸업한뒤같은학교대학원에서박사학위를받았다.미국와이오밍주립대학교에서박사후과정을마치고아이오와주립대학교에서방문교수를지냈다.지금은한서대학교자유전공학부교수로있으며,2007,2009,2015,2022개정교육과정중·고등학교수학교과서집필에참여했다.
어릴때부터수학을좋아했다.어려운문제와씨름하다가어느순간정답을맞혔을때느끼는쾌감과감동때문에수학에빠져살았다.수학자로살면서세상을더재미있게볼수있는눈이생겼다.수학을가르치는사람으로서사람들에게재미있는수학을알려야한다는소명을가지고동분서주중이다.그일환으로역사,신화,영화등다양한분야에서수학원리를도출해내는글과강연을통해수학이우리삶과밀접하게맞닿아있음을설파하고있다.
지은책으로《개념있는수학자:공통수학편》,《개념있는수학자:대수·미적분·확률과통계편》,《웃기는수학이지뭐야》,《밥상에오른수학》,《신화속수학이야기》,《수학자들의전쟁》,《멋진세상을만든수학》,《이광연의수학블로그》,《이광연의오늘의수학》,《시네마수학》,《수학,인문으로수를읽다》,《수학,세계사를만나다》등이있다.

들어가며수학적사고,인공지능시대의화음을설계하는지혜

1장문제에대한생각,보이지않는것을발견하기
세상을문제로보는시선외판원문제
때로는추측이문제를해결한다페르미추정
옛것을알아야새것을안다온고이지신
80억개의생각을1로만드는능력축소
점,선,면을넘어n차원으로확장
[피타고라스의생각]보이지않는세계를잇는다리

2장논리에대한생각,일상을분석하기
일상을문제별로분류하는법기호와분류
방탄소년단도이용한메타버스비트맵과웨이브
천재수학자허준이의생각연결과구조
가우스처럼논리적으로생각하는법생각의끈
[피타고라스의생각]깨우치는사람에게필요한것

3장창의에대한생각,상상하고질문하기
자동차번호판을보고하는상상배수
별은얼마나밝게빛날까역제곱의법칙
병뚜껑에숨어있는각도약수
바이오리듬은진짜일까?최소공배수
60갑자의비밀진법
문제속숨은공통점찾기배열
반복이무한하면무엇이될까?프랙털
[피타고라스의생각]수로세상을알아가는법

4장발명에대한생각,발상을전환하기
짝을이루는생각의발견일대일대응
위대한숫자0,'없음'의발명수
곱하기를나타내는기발한방법곱셈
공평함을위한수학적생각분수
유클리드는옳았고,옳지않았다기하학
오차범위를줄이는법작도
아인슈타인의사랑방정식위상수학
[피타고라스의생각]인생을바꾸는격언의발견

5장공부에대한생각,기초에서확장하기
기초가튼튼해야완성된다수리력
개념만알아도반이다계산능력
수학은어렵지않다는생각추상화
수학을잘하는의외의방법이해력
하나를알았다면열이보인다규칙성
[피타고라스의생각]수학으로철학을했던사람

6장활용에대한생각,수학자처럼생각하기
죄수의딜레마와치킨게임응용수학
이세돌이알파고에게진이유몬테카를로탐색
인구수를예측하는손쉬운방법지수함수
평면을완벽하게채울수있을까?힐베르트문제
풀리지않는수학계미제사건리만가설
[피타고라스의생각]통합하고적용하는삶

7장미래에대한생각,인공지능과공존하기
인공지능은어떻게문장을만들까?확률과통계
기계가세상을데이터로보는법벡터와행렬
유튜브알고리즘이내마음을읽는이유패턴인식
무엇이진짜인지어떻게증명할수있을까?불변량과증명
인공지능은어떻게혼자서공부할까?함수와미분
[피타고라스의생각]인공지능시대의수학적사고력

나가며수로세상을읽을때꼭필요한생각

“빠른두뇌회전,명확한선택,기발한상상은
어떻게하는것일까?”
수학자들은이미답을알고있다!
수학자처럼세상을발견하고,분석하고,활용하는법!

우리는일상에서수학을셀수없이마주한다.물건을살때,게임점수를계산할때,화분에물을줄때,요리할때,자동차연비를계산할때,여행지에가기위해집에서출발시간을계산할때등수없이많다.그렇기에수학은우리가세상을이해하고,상황을인식하고결정하는데많은영향을미친다.수학을알면알수록두뇌가빠르게돌아가고,결정도빨라지며선택이명확해진다.이러한수학적생각은어떻게하는것일까?
이책은피타고라스,유클리드,페르미,가우스,힐베르트,허준이등고대수학자부터현대수학자까지그들의수학적생각을38가지로다양하게다뤘다.그가운데일대일대응,분수,함수,기하학,피보나치수열,페르미추정,프랙털,리만가설등초등수학부터고등수학까지개념과이론을두루접할수있다.

수학은생각을확장시키는도구이며,동시에세상에대한이해를돕는도구이다.저자이광연교수는‘생각의끈’을강조한다.수학에서는하나를알게되면나머지를연결해알아가는과정이중요하기때문이다.읽다보면복잡한생각을하나로묶는여러이론적끈을발견할수있고,생각을짜임새있는틀로자리잡게할수있는방법도발견할수있다.이책을읽으면읽을수록수학자들이실생활의여러문제를어떻게합리적이고논리정연하게해결하는지흥미롭게보일것이다.

"주변의소음을지우고나만의‘최적의해’를도출하라!"
세상의본질을‘인식적좌표’에그려내는'벡터적사고'

인공지능은각종이미지를받아들일때‘픽셀’이라고하는수많은사각형의집합으로세상을바라본다.복잡한이미지속에서각픽셀의밝기와색상을숫자로쪼개어거대한행렬과벡터로변환하는것이다.
이처럼보이지않는세상을좌표에그리는‘벡터적사고’의핵심은현실의복잡다단한현상을방향과크기를가진독립된축으로분리하여,세상의본질을명확한좌표위에올려놓는데있다.인공지능이픽셀의규칙을찾아내사물의본질을파악하듯,인간역시벡터적사고를장착할때무질서해보이는현실너머의질서를꿰뚫어볼수있게된다.

이강력한‘수학적처세술’은복잡한비즈니스상황에서전략을수립하고최적의의사결정을내릴때압도적인힘을발휘한다.만약당신이음식점을운영한다면가게의경쟁력을분석할때,비즈니스를구성하는핵심요소(맛,가격,인테리어)를독립된축으로나누어수치화해보는것이다.각요소에점수를부여하고,그점수들을모아우리가게의고유한특징을하나의화살표(벡터)로나타내보면앞으로의전략을좀더쉽게세울수있다.
인생의중대한결정을내릴때도마찬가지다.감정적요소를제거하고,나에게중요한가치들을행렬의칸에배치해수치화해보자.누군가에게는그변수가‘돈’일수도있지만,누군가에게는‘시간’이나‘성취감’일수도있다.중요한것은복잡한현실을나만의상수와변수로정의내리는그자체에있다.
결국벡터적사고를배운다는것은단순히시험문제를풀기위한공식암기가아니라,인생과비즈니스의복잡한욕망과현상을나만의기준으로명료하게재정의하는훈련이다.이시선을갖추게되면막연한불안감이나타인의시선에서벗어날수있다.나에게가장중요한가치들을행렬의칸에배치하고수치화하는순간,우리의뇌는비로소이성적으로작동하며데이터사이의숨겨진관계를분석하고‘최적의해’를도출해낼수있다.

"인공지능처럼3V로세상을읽고,
인간답게가치를질문하라!”
빅데이터의폭포수속에서진리를찾는법

오늘날쉴새없이쏟아지는빅데이터는단순한정보의나열을넘어인공지능이라는최첨단엔진을돌리는가장중요한연료,즉‘새로운원유’로기능하고있다.
과거의데이터가도서관의책처럼정적이었다면,오늘날우리가마주하는대량의정보는상상할수없는엄청난규모(Volume)를자랑하며,SNS피드나센서정보처럼실시간으로생성되고유통되는압도적인속도(Velocity)를지닌다.여기에엑셀처럼정리된숫자뿐만아니라사진,영상,음성등정해진형식이없는정보까지아우르는데이터의다양성(Variety)까지더해져이른바‘3V’라는거대한폭포수를이룬다.
서울시가수십억건의통신및대중교통데이터를분석해심야의‘올빼미버스’노선을최적화하거나,위기징후데이터를통해복지사각지대의고위험군가구를선제적으로찾아내는사례가바로이3V의흐름속에서사회적자원을효율적으로이끌어낸결과물이다.

하지만이처럼엄청난양의데이터가언제나완벽한정답만을말하는것은아니며,바로이지점에서우리는수학너머의인문학적가치를마주해야한다.철학자베이컨이말한‘동굴의우상’처럼,인공지능역시자신이학습한데이터라는좁은동굴안에서만세상을바라보기때문에과거의편향과차별이섞인데이터를그대로학습하면남성위주로지원자를선별하거나특정인종에게불리한판정을내리는치명적인오류를범하게된다.
데이터속에숨겨진‘차별의DNA’를바로잡기위해구글이편향없는피부톤척도를도입하고,의료알고리즘에서경제적변수를제거하며,수식의가중치를투명하게설명해주는‘설명가능한AI(XAI)’기술을개발하는등다방면의노력이이어지는이유가여기에있다.
생성형AI가화려한픽셀의렌즈와문장으로수많은‘가짜’를쏟아내더라도,수학적사고력을갖춘인간은데이터밑에흐르는편향의뼈대를추적해낼수있다.
인공지능의데이터처리능력이아무리정교해져도알고리즘이지향해야할투명성과도덕적가치를질문하는‘촉수’는오직인간만의성역이며,숫자로이루어진차가운알고리즘에따뜻한인문학적가치를불어넣어인간의존엄성을잊지않는것이야말로이시대를살아가는우리에게필요한가장중요한지혜일것이다.