대학 때 놓친 수학 (2 판)

토마스 A. 개리티

(Thomas A. Garrity)
메사추세츠 주 윌리엄스 대학의 수학과의 1921년 졸업반 웹스터 앳웰 석좌교수로서 효과적인 강의를 위한 윌리엄스 대학 프로젝트의 감독을 여러 해 동안 역임했다. 그의 수상 실적은 라이스 대학교(Rice University)의 니콜라스 살고 우수 강의 상(Nicolas Salgo Outstanding Teaching award)과 미국수학학회(MAA)의 하이모 상(Haimo award)이 있다. 그가 저술한 다른 책으로는 『Algebraic Geometry: A Problem Solving Approach』(2013 공저)와 『Electricity and Magnetism for Mathematicians』(2015)가 있다.

1장. 선형 대수학
1.1 개요
1.2 기본 벡터 공간
1.3 벡터 공간과 선형 변환
1.4 기저, 차원, 행렬로서의 선형 변환
1.5 디터미넌트
1.6 선형 대수의 핵심 정리
1.7 닮음 행렬
1.8 고유값과 고유벡터
1.9 쌍대 벡터 공간
1.10 참고 서적
연습 문제


2장. ϵ, δ 실해석학
2.1 극한
2.2 연속성
2.3 미분
2.4 적분
2.5 미적분의 기본 정리
2.6 함수의 점별 수렴
2.7 균등 수렴
2.8 바이어슈트라스 M - 판정법
2.9 바이어슈트라스의 예제
2.10 참고 서적
연습 문제


3장 벡터 함수의 미적분
3.1 벡터 함수
3.2 벡터 함수의 극한과 연속
3.3 미분과 야코비안
3.4 역함수 정리
3.5 음함수 정리
3.6 참고 서적
연습 문제


4장. 점 집합 위상 수학
4.1 기본 정의
4.2 상의 표준 위상
4.3 거리 공간
4.4 위상의 기저
4.5 교환 링의 자리스키 위상
4.6 참고 서적
연습 문제


5장. 고전적 스톡스 정리
5.1 벡터 미적분 예비 지식
5.1.1 벡터장
5.1.2 다양체와 경계
5.1.3 경로 적분
5.1.4 표면 적분
5.1.5 기울기
5.1.6 발산
5.1.7 회전
5.1.8 방향성
5.2 발산 정리와 스톡스 정리
5.3 발산 정리의 물리적 해석
5.4 스톡스 정리의 물리적 해석
5.5 발산 정리의 개략적 증명
5.6 스톡스 정리의 개략적 증명
5.7 참고 서적
연습 문제


6장. 미분 형식과 스톡스 정리
6.1 평행 육면체의 부피
6.2 미분 형식과 외미분
6.2.1 기초적 k - 형식
6.2.2 k - 형식의 벡터 공간
6.2.3 k - 형식 다루기 규칙
6.2.4 미분 k - 형식과 외미분
6.3 미분 형식과 벡터장
6.4 다양체
6.5 접선 공간과 방향
6.5.1 내재적 다양체와 매개변수적 다양체의 접선 공간
6.5.2 추상 다양체에 대한 접선 공간
6.5.3 벡터 공간의 방향
6.5.4 다양체의 방향과 경계
6.6 다양체의 적분
6.7 스톡스 정리
6.8 참고 서적
연습 문제


7장. 곡선과 곡면의 곡률
7.1 평면 곡선
7.2 공간 곡선
7.3 곡면
7.4 가우스 - 본네 정리
7.5 참고 서적
연습 문제


8장. 기하학
8.1 유클리드 기하학
8.2 쌍곡선 기하학
8.3 타원 기하학
8.4 곡률
8.5 참고 서적
연습 문제


9장. 가산성과 선택 공리
9.1 가산성
9.2 소박한 집합론과 역설
9.3 선택 공리
9.4 측정 불가능한 집합
9.5 괴델과 독립 증명
9.6 참고 서적
연습 문제


10장. 기초적 수론
10.1 수의 유형
10.2 소수
10.3 나눗셈 알고리듬과 유클리드 알고리듬
10.4 모듈러 산술
10.5 디오판토스 방정식
10.6 피타고라스의 삼중 수
10.7 연분수
10.8 참고 서적
연습 문제


11장. 대수학
11.1 그룹
11.2 표현이론
11.3 링
11.4 필드와 갈루아 이론
11.5 참고 서적
연습 문제


12장. 대수적 수론
12.1 대수적 수 필드
12.2 대수적 정수
12.3 단위
12.4 소수와 고유한 인수분해 문제
12.5 참고 서적
연습 문제


13장. 복소 해석학
13.1 극한으로서의 해석성
13.2 코시 - 리만 방정식
13.3 함수의 적분 표현
13.4 멱급수로서의 해석 함수
13.5 공형 사상
13.6 리만 사상 정리
13.7 다수 복소 변수: 하르톡의 정리
13.8 참고 서적
연습 문제


14장. 해석적 수론
14.1 리만 제타 함수
14.2 리만의 통찰력
14.3 감마 함수
14.4 함수방정식: 숨겨진 대칭
14.5 π(x)와 ????(s)의 영점 연결
14.6 참고 서적
연습 문제


15장. 르베그 적분
15.1 르베그 측도
15.2 칸토어 집합
15.3 르베그 적분
15.4 수렴 정리
15.5 참고 서적
연습 문제


16장. 푸리에 해석학
16.1 파동과 주기 함수 그리고 삼각 함수
16.2 푸리에 급수
16.3 수렴에 관한 쟁점
16.4 푸리에 적분과 변환
16.5 미분 방정식의 해 구하기
16.6 참고 서적
연습 문제


17장. 미분 방정식
17.1 기초
17.2 상미분 방정식
17.3 라플라스 작용소
17.3.1 평균값 원리
17.3.2 변수 분리법
17.3.3 복소 해석학에의 응용
17.4 열 방정식
17.5 파동 방정식
17.5.1 유도
17.5.2 변수 변환
17.6 해의 실패: 적분 가능 조건
17.7 레비의 예
17.8 참고 서적
연습 문제


18장. 조합론과 확률론
18.1 셈법
18.2 기본 확률 이론
18.3 독립
18.4 기대값과 분산
18.5 중심 극한 정리
18.6 n!에 대한 스털링의 근사화
18.7 참고 서적
연습 문제


19장. 알고리듬
19.1 알고리듬과 복잡성
19.2 그래프: 오일러 회로와 해밀톤 회로
19.3 소팅과 트리
19.4 P=NP?
19.5 수치 해석학: 뉴턴의 방법
19.6 참고 서적
연습 문제


20장. 범주론
20.1 기본 정의
20.2 예제
20.3 함자
20.3.1 동등성 문제와의 연결
20.3.2 함자의 정의
20.3.3 함자의 예
20.4 자연 변환
20.5 수반
20.6 수반으로서 ‘존재한다’와 ‘모든 …에 대해’
20.7 요네다 보조 정리
20.8 화살표, 화살표들, 모든 곳의 화살표들
20.9 참고 서적
연습 문제
부록
연습 문제

수학 과학과 물리학 컴퓨터 과학 공학과 관련된 분야의 대학원 신입생들은 수학의 벅찬 폭에 익숙할 것이라 기대되지만 그러한 배경을 가진 사람은 거의 없다. 많은 독자들의 선택을 받고 있는 이 책은 학생들의 지식의 간격을 채우는 데 도움이 될 것이다.

◈ 이 책에서 다루는 내용 ◈

◆ 선형대수학
◆ 벡터 미적분학
◆ 미분기하학
◆ 실해석학 및 복소해석학
◆ 위상학
◆ 미분방정식
◆ 추상대수학
◆ 범주론

◈ 이 책의 대상 독자 ◈

수학 과학과 물리학, 컴퓨터 과학, 공학과 관련된 분야의 대학원 신입생들은 수학의 폭넓은 범위에 익숙할 것이라 기대되지만 그러한 배경지식을 가진 사람은 거의 없다. 가장 잘 팔리고 있는 이 책은 학생들의 지식의 간격을 채우는 데 도움이 된다.

◈ 옮긴이의 말 ◈

우연히 이 책 제목을 들었을 때 기존에 만났던 정확한 주제를 다루는 많은 수학 책 제목과는 상당한 괴리가 있었다. 어떻게 All the Math를 다루겠다는 것인지? 중요한 정의들과 공식들을 나열하는 그저 뻔한 요약이지 않을까? 염려와 선입견들은 수학의 큰 틀을 동등성 문제로 바라보고, 관념적 수학이 아니라 물리학과의 연계를 바라보게 하는 저자의 탁월함으로 완전히 해소됐다. 이 책 전반에 걸쳐 저자의 수학 전 분야에 대한 깊이와 애정이 다양한 표현 가운데 드러나며, 이론들의 발전이 역사적인 배경과 함께 엮어 있어 철학적 사고까지 느껴진다.

저자의 말대로, 수학은 흥미진진하다, 그러나 힘들다. 수학을 배우고 창조하는 것은 진실로 한 사람의 인생을 쏟아부을 가치가 있는 길이다. 이 책은 수학과 대학원생들의 입문서로 쓰여졌지만 물리학, 전자공학, 기계공학, 산업공학, 컴퓨터과학, 최근의 AI, 양자컴퓨터 등의 분야의 진지한 연구자라면 도전해 볼 만한 책이다. 책 제목이 제시하듯이 대학 기간에 배운 수학 교과목들은 타분야에서는 응용을 전제로 하고, 수학과에서도 관심 분야로 세분돼 있어 놓치는 부분들이 많았다. 이제 이 책을 통해 한국 독자들도 수학의 모든 분야를 맛보는 재미에 빠져들기를 바란다. 이 책은 계산적 능력보다는 이론의 배경이 되는 수학적 직관에 중점을 두고 있다. 정확한 정의와 이를 뒷받침하는 정리들과 예제들과 연습 문제들이 이론을 균형 있게 확립하게 한다. 또한 보다 깊은 연구를 위해 해당 주제에 대한 폭넓은 참고문헌들을 제공한다.

역자도 전자공학도로서 유학 중 수학과, 통계학과 과목들을 10과목 이상 수강했고 대학에서 오랫동안 응용 관련 수학 과목들을 강의해 왔지만 한글 교재를 사용하지 않아 한글 용어와 설명이 낯설었다. 그러나 이것도 새로운 도전이라 흥미로웠다. 수학자들이 일상적으로 사용하는 평범한 용어에도 번역이 적절한지 자주 망설였다. 한글 용어 표현을 위해 대한수학회 수학 용어를 참고했고 수학적 용어 번역 시 원어를 병기해 이해를 높였다. 현재 수학 교재 등에서 사용 중인 일부 한글 용어와 실제 현장과의 조화는 늘 어려웠다. 고민 끝에 용어를 발음대로 사용하고 원어를 병기했다. 예를 들면 디터미넌트, 그룹, 링, 그래프 등이다.